2025-2026学年高一下学期数学平面向量 专项训练（30题·校正版）

高一平面向量专题练习卷 (30道精选题·含逐题详解) 本资料由[上海康雅教育]教研组独家编制」适用于上海高一（下） 第一部分题目 一、填空题（共10题，每题4分） 1.己知向量a=(3,-2),乙=(-1,5)，求d+26的坐标。 2.在平行四边形ABCD中，O为对角线交点，AB=d,AD=司，用d、表示B0。 3.已知@=3，=4，a与的夹角为60°，求a+26的值。 4.已知向量a=(-2,1),=(3,4),若d⊥（位+k,求实数k的值。 5.已知a=(2,3),=(-4,-6),若d+t拓与共线，求实数t的值。 6.在△ABC中，D为BC上一点，且BD=2DC,用AB=a,AC=i表示AD。 7.已知a=(1,2),=(m,-1),若a+=a-,求m的值。 8.在△ABC中，AB=(（-2,3),AC=(4,1),求△ABC的面积。 9.己知创=2，=3，a-=√7，求ā与的夹角。 10.己知a=(1,2),6=(3,-1),求d在6方向上的投影向量。 二、选择题（共10题，每题4分） 11.下列命题中正确的是() A.若d.=0,则a=0或i=d B.若a.b=dc,则6= c.(d.而c=a.(6. D.a.6-6.a 12.己知a=(-1,2),=(3,1),则a在方向上的投影数量为() A-流B.而C品D而 13.己知a=(2,-4),=(-3,6),a与的关系是() A.相等B.共线且同向C.共线且反向D.不共线 14.在△ABC中，AB=d,AC=,且@=间=1，ad.石=-，则△ABC的形状为() A.等腰直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形 15.已知平面向量、满足=2，阿=3，a+=4,则a-=() A.V10B.V14C.V22D.5 16.己知d=(c,2),=(-3,1),若d与6的夹角为锐角，则x的取值范围是() Ax<导B.x>号C.<号且x卡-6D.>号且x≠-6 17.下列各组向量中，可以作为平面内所有向量基底的是() A.ei=(0,0),e2=(1,3)B.i=(1,2),2=(2,4) C.Ei=(2,1),2=(3,2)D.Ei=(1,2),2=(-2,-4) 18.已知a=(2,1),石=(-1,2)，则a与的夹角为() A.0°B.45°C.90°D.135° 19.若、为单位向量，且夹角为60°，则2a-等于() A.1 B.V2 C.3 D.2 20.己知ā=(1,0)，石=(0,1)，c=(1,1),则c在a方向上的投影向量为() A.(1,0)B.(0,1)C.(1,1)D.（,) 三、解答题（共10题，第21-25题每题6分，第26-30题每题8分) 21.(6分)已知d=(2,-1),i=(3,2),=(-1,4)。 (1)求2a-36+c的坐标： (2)若a⊥（亿+t闷，求实数t的值。 22.（6分)己知d=4,阿=3，d与的夹角为120°。 (1)求|2a-的值： (2)求向量2a-与的夹角的余弦值。 23.（6分)己知d=(1,3),=(2,-1),=(-3,2) (1)求（位+·（位-的值： (2)若d+d与平行，求实数k的值。 24.(6分)如图，在△0AB中，C为0A上一点，0C:CA=1:2,D为OB上一点，0D:DB=2:1,AD 与BC交于点P。用OA=d,0B=6表示02。 0 A 25.（6分)己知d=(cos0,sim0),i=(sin0,cos)。 (1)证明：d+i与d-垂直： (2)求a+的最大值。 26.(8分)在平面直角坐标系中，A(1,0),B(0,1),C(4,2),D为线段BC上的动点。 (1)用AB和AC表示AD(设BD=XBC): (2)求AD,BC的最小值。 27.（8分)已知d=(1,0),=(0,1),c=(cosa,sina),其中a∈R。 (1)若-=-，求a的值： (2)求c(a-可的最大值。 28.(8分)已知向量a、满足d=阿=1，d.i=是。 (1)求2a+的值： (2)求向量d+26与a的夹角。 29.(8分)已知0为坐标原点，0A=(2,1,0B=(1,3),0C=(,)。 (1)若A、B、C三点共线，求x、y满足的关系式： (2)若0C1AB且0C=2,求点C的坐标。 30.(8分)己知d=(1,1),b=(1,-1),c=(x,)。 (1)用a、表示c: (2)若|=2，求x2+y2的值： (3)若c与a的夹角为60°，且d=2,求c的坐标。 第二部分答案 题号 答案 题号 答案 1 (1,8) 16 c 是6-) 17 c 3 √7 18 19 c 任意实数 场 A 6 à+6 21 (1)(-6,-4),(2)号 7 22 ()7.(2)-V 8 23 (1)14,(2)-11 9 60° 24 身à+6 10 0(3,-1) 25 (1)证明略，(2)2 11 D 26 (1)AD=AB+会AC(2)-3 12 A 27 (1)a=牙+km,(2)V2 13 0 28 (④V7,(2)arccos 14 c 29 (1)2x+y-5=0.(2(9,2)或（←5，-25） 15 A 30 (1)=学a+学i.(2)4:(3)(W2,0)或(0，V②) 第三部分解析 1.解： d+26=(3,-2)+2(-1,5)=(1,8) 考点：向量的坐标线性运算 2.解： 在平行四边形ABCD中，O为BD的中点。 B0=BD=BA+A=(-+而=6-a副 考点：向量在平面几何中的应用 3解： a.i=a间cos60°=3×4×专=6 |d+262=|a2+42+4a.i=9+64+24=97 .a+26=V⑨7 考点：向量数量积求模长 4.解： a⊥(d+k场→a.(a+k⑥=0 |2+ka.i=0,2=(-2)2+12=5 a.6=(-2)×3+1×4=-2 5+k(-2)=0→k=号 考点：向量垂直的充要条件 5.解： a+t拓=(2,3)+t(-4,-6)=(2-4t,3-6)=(1-2)(2,3) =-2(2,3),d+t场=(1-2t)a恒与d共线，故与6也共线。 ∴对任意实数t,均满足条件。 考点：向量共线的坐标条件 6.解： BD=2DC.BD:DC=2:1.D分BC所成比为2。 AD=AB+BD=d+景6-)=d+6 考点：定比分点向量公式 7.解： |a+2=a-2→a.6=0 a.i=1×m+2×(-1)=m-2=0→m=2 考点：向量模长公式 8.解： AB.Ad=(-2)×4+3×1=-5 AB=V13.AC]=V17 血∠BA0=-(高)=益 §=分v⑧V7品=7 考点：向量法求三角形面积 9.解： 1a-2=@2+2-2a. 7=4+9-2a.i→d.i=3 ca0=最=嘉=专→0=60~ 考点：数量积求夹角 10.解： 投影响量=票6 a.6=1×3+2×(-1)=1,2=10 投影向量=(3，-1) 考点：投影向量公式 11.解： A错：a石=0→d⊥，非零向量也可垂直。 B错：不能消去d。C错：数量积不满足结合律。 D对：数量积满足交换律。选D。 考点：向量数量积的性质 12.解： 投影数量=要=兴=一 √10 而·选A. 考点：投影数量公式 13.解： (2,-4)=-(-3,6),d=-6,共线且反向，选C. 考点：向量共线判定 14.解： c08LBAC=品=-支→LBAC=120° a同 △ABC为钝角三角形，选C。 考点：数量积判断三角形形状 15.解： a+2=2+2+2a.6=16 4+9+2a.元=16→d.6=是 |d-2=4+9-2×多=10→a-=√1⑩，选A。 考点：模长公式 16.解： 锐角→a.>0且不共线同向。 d.i=-3x+2>0→x<号 共线条件：号=→心=-6，需排除。 ∴.花<是且x≠-6，选C。 考点：夹角为锐角的充要条件 17.解： 基底要求两个向量不共线。 A中i=0不能作基底：B中(1,2)与(2,4)共线：D中(1,2)与(-2，-4④)共线；C中(2,1)与(3,2)不共线，选C。 考点：平面向量基本定理 18.解： a.i=2×(-1)+1×2=0→a1i 夹角为90°，选C。 考点：向量垂直与夹角 19.解： 2a-2=4a2+12-4a.6 =4+1-4×号=3→|2a-=√5，选C。 考点：单位向量数量积运算 20.解： a=(1,0)为单位向量，c在a方向上的投影向量=（心.a)a=1.(1,0)=(1,0),选A。 考点：投影向量 21.解： (1)2a-36+c=2(2,-1)-3(3,2)+(-1,4)=(-6,-4) (2)a⊥(6+te→d.i+ta.c=0 ad.i=6-2=4,d.c=-2-4=-6 4-6t=0→t=号 考点：向量坐标运算、垂直条件 22.解： (1)a.i=4×3×cos120°=-6 12a-2=4×16+9-4×(-6)=97→12à-=V97 (2)(2a-可.6=2a.6-2=-12-9=-21 cos0=- = 考点：模长与夹角计算 23.解： (1)a+i=(3,2),a-c=(4,1) (d+可.(a-=3×4+2×1=14 (2)a+kd=(1+2k,3-),与c=(-3,2)平行： 赞=3安→2(1+2)=-3(3-) 2+4h=-9+3k→k=-11 考点：向量坐标运算、平行条件 24.解： 0d=a.0i=6 设P在AD上：OP=(1-8)a+号 设P在BC上：Op=专a+(1-t)6 比较系数得=号，t=号 0P=4à+6 考点：平面向量基本定理、三点共线 25.解： (1)(a+(a-可=2-2=1-1=0，.(a+上(d-可 (2)+2=2+2(cos0sin0+sin0 cos)=2+2sin 20 最大值为4，.位+max=2 考点：向量垂直证明、三角恒等变换 26.解： ()A店=(-1,1)，Ad=3,2,Bd=(4,1) AD=AB+BC=(-1+4以，1+刈 设AD=mAB+nAC,解得m=1,n=会 :.AD=AB+合Ad (2)Ad.B元=（-1+4以，1+)-4,1)=-3+17x 入∈0,1，最小值为入=0时，值为-3 考点：向量坐标运算、最值问题 27.解： (1)d-2=2-2cosa,|e-2=2-2sima 2-2cosa=2-2sina→cosa=sina→a=T+kr (2)d.(-6)=cosa-sina=v2cos(a+) 最大值为√2。 考点：单位圆、三角恒等变换 28.解： (1)12a+2=42+2+4à.=4+1+2=7 .l2a+=√7 (2)(d+26·d=2+2a.6=1+1=2 a+26=√a2+42+4a.i=V1+4+2=V7 os0=号0=arco8号 考点：向量数量积与夹角 29.解： (I)A、B、C共线→AC‖AB AC=(e-2,y-1),AB=(-1,2) 学=号今2m十y-5=0 (2)0C⊥AB→(，)·(-1,2)=0→x=2y 10C=2今x2+2=4,代入得y=±2g5 C(5,2)或C(-5,-2) 考点：向量共线、垂直、模长综合 30.解： (1)=ma+nb=(m+n,m-n)=(x,y) →m=,n=字，c=ā+26 (2)1d=2→x2+y2=4 (3)c.d=2×1×cos60°=1，(x,)(1,1)=x+y=1 结合x2+y2=4,解得(e,)=(V2,0)或(0，V2) 考点：平面向量基本定理、模长与夹角 本资料仅供学习交流使用·版权归[上海康雅教育]所有