第6章 平面向量及其应用（压轴30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）

第6章 平面向量及其应用（压轴30题专练） 一、单选题 1．（2021·安徽·高一阶段练习）若向量满足，，且当时，的最小值为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量数量积的运算律可得到，根据二次函数性质，利用的最小值构造方程可求得，根据数量积的运算律求得后可得结果. 【详解】， 由二次函数性质知：当时，取得最小值， ，解得：， ， . 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用平面向量数量积的运算律求解向量的模长的问题，解题关键是能够通过平方运算，结合二次函数的性质确定取得最小值时的值. 2．（2021·甘肃·天水市第一中学高一期末）已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，， 令，则， 通过换元可得，所以，当时，可得的 最小值. 【详解】依题意可得，，则， ， ，则， 所以，， 令，则， 令，由得， 则，所以，故 所以，当时，有最小值. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是：令，通过换元得到. 3．（2021·福建·厦门一中高一期中）在中，点是上一点，是的中点，与的交点为有下列四个命题： 甲： 乙： 丙： 丁： 如果只有一个假命题，则该命题为（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】假设甲为假，则丙为真，利用面积的关系得到，利用向量的加减法得到，矛盾，判断出甲正确； 甲为真，推导出，得到丙真； 过Q作QN//AB交CP于N，由是的中点，利用平行线分线段成比例定理得到边长的关系，证明出，即可得到和，可判断出乙正确； 由，得到，可判断出不成立，故丁不正确. 【详解】假设甲为假，其余为真， 所以丙为真. 由丙：知，. 因为,而, 所以， 这与甲为假矛盾，所以甲为真； 同理，甲：为真时，即，所以， 所以，所以，即丙为真. 甲：为真时，有. 过Q作QN//AB交CP于N，由是的中点，得到,. 而，所以,所以. 因为QN//AB，所以, 又，所以，所以， 因为，，所以，故乙正确； 由得到，故丁错误. 故选：D 【点睛】在几何图形中进行向量运算: (1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算. 4．（2021·福建三明·高一期末）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、、，然后根据、、三点共线以及、、三点共线得出，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果. 【详解】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系， 因为，，所以，，， 设， 因为、、三点共线，所以，，， 因为，、、三点共线，所以， 联立，解得，，， 因为，，所以，， 因为， 所以， 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题. 5．（2021·江苏·仪征中学高一阶段练习）在中，分别是的中点，且，若恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出相应的图形，要求的最小值，即要求出的最大值，由的关系，用表示出，由分别是的中点，在中，利用余弦定理表示出，在中，利用余弦定理表示出，并表示出，开方并分离出常数，由为三角形的内角，得到的范围，进而由三角函数的性质可得答案 【详解】解：因为，所以, 因为分别是的中点，所以， 在中，由余弦定理得， ， 在中，由余弦定理得， 所以 所以， 因为当取得最小值时，比值最大， 所以当时，，此时达到最大值，为 ， 则若恒成立，的最小值为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理、余弦函数的定义域与值域，以及不等式恒成立时满足的条件，余弦定理建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查计算能力，属于较难题 6．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围． 【详解】解：在中，由余弦定理得， 且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立得， 解得或（舍去）， 所以， 因为为锐角三角形，所以，，所以， 所以，所以，所以， 设，其中，所以， 由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，； 所以，即的取值范围是． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：由，所以本题的解题关键点