第五章 二元一次方程组【章末复习】-课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了二元一次方程组的概念、解法、应用及与一次函数的关系，通过知识结构表将二元一次方程（组）定义、代入与加减消元法、应用题步骤等核心内容分层呈现，结合三元一次方程组拓展，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“核心考点+分层训练+数学思想”复习模式，如设计数学文化“绳索量竿”应用题、航天科技采购方案题，融入新定义运算和结论开放题，培养学生抽象能力、运算能力与模型意识。分层练习覆盖基础到拓展，教师可精准把握学情，助力学生巩固知识并提升解决实际问题能力。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 章末复习 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册 第五章 二元一次方程组 全章同步练习题 本章核心考点：掌握二元一次方程、二元一次方程组的定义及解的概念；熟练运用代入消元法、加减消元法解方程组；理解二元一次方程组与一次函数的关系；能列二元一次方程组解决配套、行程、利润等实际应用题，是八年级计算核心、期末必考大题重点。 全章核心知识点（必背） 1. 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程。一般形式：$$ax+by=c(a eq0,b eq0)$$，有无数组解。 2. 二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组，方程组的解是两个方程的公共解。 3. 代入消元法：变、代、求、写。把一个方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。 4. 加减消元法：当同一未知数的系数相等或互为相反数时，两式相减或相加，消去该未知数；系数不同时，先统一系数再加减消元。 5. 方程组与一次函数关系：二元一次方程组的解，对应两个一次函数图像的交点坐标。 6. 应用题解题步骤：审、设、列、解、验、答。设两个未知数，找准两组等量关系，列出方程组求解。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 二元一次方程含有______个未知数，且未知数项的次数为______。 2. 解二元一次方程组的核心思想是________，将二元转化为一元。 3. 常用两种消元方法：________消元法和________消元法。 4. 两个一次函数图像的交点坐标，对应二元一次方程组的________。 5. 若$$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$$是方程$$ax-y=3$$的解，则$$a=$$________。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程属于二元一次方程的是（） A. $$x+xy=5$$ B. $$2x-y=1$$ C. $$\dfrac{1}{x}+y=2$$ D. $$x^2+y=3$$ 2. 方程组$$\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}$$的解是（） A. $$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$$ 3. 解方程组$$\begin{cases}2x+3y=7\\2x-5y=-1\end{cases}$$，最简便的方法是（） A. 代入消元 B. 加减消元 C. 无法确定 D. 两种方法一样 4. 直线$$y=2x+1$$与$$y=x+2$$的交点横坐标为1，则交点纵坐标为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下列说法正确的是（） A. 二元一次方程只有一组解 B. 方程组的解只需满足一个方程 C. 消元法目的是化二元为一元 D. 所有方程组都有唯一解 三、解答计算题（共60分） 1.（20分）用代入消元法解方程组： $$\begin{cases}y=x+2\\2x+3y=16\end{cases}$$ 2.（20分）用加减消元法解方程组： $$\begin{cases}3x+2y=11\\2x-2y=4\end{cases}$$ 3.（20分）应用题：购买2支钢笔、3本笔记本共花费22元；购买3支钢笔、2本笔记本共花费23元，求1支钢笔和1本笔记本的单价。 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. 两、1 2. 消元 3. 代入、加减 4. 解 5. 2 选择题答案 1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 解答题详细解析 1. 解：代入消元法 将$$y=x+2$$代入$$2x+3y=16$$得： $$2x+3(x+2)=16$$ $$2x+3x+6=16$$ $$5x=10$$，解得$$x=2$$ 把$$x=2$$代入$$y=x+2$$，得$$y=4$$ ∴ 方程组的解为$$\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}$$ 2. 解：加减消元法 $$\begin{cases}3x+2y=11&①\\2x-2y=4&②\end{cases}$$ ①+②得：$$5x=15$$，解得$$x=3$$ 把$$x=3$$代入②得：$$6-2y=4$$，解得$$y=1$$ ∴ 方程组的解为$$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$$ 3. 解：设1支钢笔单价为$$x$$元，1本笔记本单价为$$y$$元。 根据题意列方程组： $$\begin{cases}2x+3y=22\\3x+2y=23\end{cases}$$ ①×3得：$$6x+9y=66$$ ③ ②×2得：$$6x+4y=46$$ ④ ③-④得：$$5y=20$$，解得$$y=4$$ 将$$y=4$$代入①得：$$2x+12=22$$，解得$$x=5$$ 答：1支钢笔5元，1本笔记本4元。 五、易错点总结 1. 方程判定出错：含$$xy、x^2、\dfrac{1}{x}$$都不是二元一次方程，必须是整式、次数为1； 2. 消元计算失误：加减消元时符号出错，负数加减、去括号变号是高频丢分点； 3. 解题不完整：求出一个未知数后，忘记回代求另一个未知数； 4. 概念混淆：二元一次方程有无数组解，方程组有唯一公共解（特殊情况无解/无数解）； 5. 应用题疏漏：找不准两组等量关系、不写解设、最后不写答句，格式不规范扣分。 知识结构 相关概念 解法 应用 二元一次方程组 二元一次方程 二元一次方程组 二元一次方程的一个解 二元一次方程组的解 代入消元法 加减消元法 建立二元一次方程组模型解决实际问题的一般步骤 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数 三元一次方程组 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程组与一次函数的关系 待定系数法 实际应用 三元一次方程 三元一次方程组 三元一次方程组的解 解三元一次方程组 知识结构 知识回顾 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫作二元一次方程. 知识点一：二元一次方程的有关概念 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组. 使这个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作二元一次方程的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. 知识点二：二元一次方程组的解法 代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法. 加减消元法：通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法. （1）审题； （2）找等量关系； （3）设未知数； （4）列方程组； （5）解方程组； （6）检验结果； （7）作答. 知识点三：二元一次方程组的应用 建立二元一次方程组模型解决实际问题的一般步骤: 有直接设未知数，也有间接设未知数. 二元一次方程与一次函数的关系： 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线. 知识点四：二元一次方程（组）与一次函数 知识点四：二元一次方程（组）与一次函数 二元一次方程组与一次函数的关系： 一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解； 解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标. 知识点五：用二元一次方程组确定一次函数表达式 待定系数法： 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法 用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 设 设出函数表达式：y = kx + b 代 把已知条件代入，得到关于k，b的方程组 解 解方程组，求出k，b的值 写 写出一次函数表达式 知识点六：三元一次方程（组） 三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程. 解三元一次方程组的基本思路： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 “代入”或“加减” “代入”或“加减” 三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程. 三元一次方程组的解：三元一次方程组中各个方程的公共解. 考点1 二元一次方程（组）的有关概念 1. 下列方程组： 其中是二元一次方程组的是( ) C A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③ 返回 中考考法 11 2.已知是二元一次方程，则 ___. 0 3. 若关于,的二元一次方程组 的 解为则多项式 可以是____________________ （写出一个即可）. （答案不唯一） 返回 中考考法 考点2 三元一次方程组 4. 下列方程组中是三元一次方程组的是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 13 考点3 方程组的解法 5. 对于任意有理数,,, ，我们规定 ，已知，同时满足 ， ，则 ____. 中考考法 14 【点拨】因为， ，所以联立可得 ，得，解得 .将 代入①，得，解得 .所以 . 返回 中考考法 15 6.解下列方程组： （1） 【解】，得，解得 . 将代入①，得，解得 . 所以原方程组的解为 中考考法 16 （2） ，得 .④ 把④代入③，得，解得 . 中考考法 17 把分别代入①②，得 解得 所以方程组的解为 返回 中考考法 18 考点4 二元一次方程（组）的应用 7. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载 的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用 绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子， 绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的 竿子长为____尺. 15 中考考法 19 【点拨】设绳索长为尺，竿子长为 尺.根据题意，得 解得 所以竿子长为15尺. 返回 中考考法 8. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船 成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国 航天事业的新篇章.二七区某中学为了培养学生科技创新意识， 开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进， 两种航模. 据了解购买1件型航模和2件型航模需800元；购买2件 型 航模和3件 型航模需1300元. 中考考法 21 （1）， 两种航模每件的价格分别为多少元？ 【解】设每件型航模的价格为元，每件 型航模的价格为 元， 根据题意得解得 所以每件型航模的价格为200元，每件 型航模的价格为300元. 中考考法 22 （2）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出 优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费 990元，请问张老师有哪几种购买方案？ 设购买件型航模，件 型航模， 根据题意得 ， 所以 . 中考考法 23 又因为， 均为正整数， 所以或 所以张老师共有2种购买方案： 方案1：购买4件型航模，1件 型航模； 方案2：购买1件型航模，3件 型航模. 返回 中考考法 24 考点5 二元一次方程（组）与一次函数的关系 9. 点在直线上，坐标 是二元一次方 程的解，则点 的位置在( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 返回 中考考法 25 10.［2025西安碑林区月考］已知一次函数 与 的图象的交点坐标为 . （1）关于，的方程组 的解为_ ________； （2）___， ____. 2 返回 中考考法 26 思想1 建模思想 11.［2025上海嘉定区期末］在课余 活动中，小杰、小明和小丽一起玩 飞镖游戏，其落点如图所示，飞镖 30 盘上区域所得分值和 区域所得分值不同，每人各投4次飞 镖，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是32分和34分.则小 丽的4次飞镖总分是____分. 返回 中考考法 27 思想2 整体思想 12.已知关于,的二元一次方程组 的解为 则关于, 的二元一次方程组 的解为_ ________. 返回 中考考法 28 思想3 数形结合思想 13.如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方 体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的 部分.沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下 底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴 或封盖.用长为，宽为 的长方形厚纸片，恰好能做 成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘 ，三处 “接口” 的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 中考考法 29 【解】设长方体纸盒的底面边长为 ，三 处“接口”的宽度为 ，则长方体纸盒的高 为 ， 由题意得 解得 所以 . 所以该茶叶盒的容积是 . 返回 中考考法 30 $