1.3集合的基本运算初高衔接讲义

1.3 集合的基本运算 学习目标 1. 掌握并、交、补的定义，能用数轴法、Venn 图求解集合运算； 1. 熟练运用运算性质简化计算； 1. 能解决与集合运算相关的含参数问题。 一、知识点精讲 1.集合运算定义： 运算 定义 Venn 图表示 并集 A∪B A B A B 两圈合并的区域 交集 A∩B {x|x∈A 且 x∈B} B A 两圈重叠的区域 补集∁ᵤA {x|x∈U 且 x∉A}（U 为全集） 全集中除 A 外的区域U A U A U A 2.核心运算性质： 0. 基本性质：A∩A=A，A∪A=A；A∩∅=∅，A∪∅=A；A∩(∁ᵤA)=∅，A∪(∁ᵤA)=U； 0. 德摩根定律：∁ᵤ(A∩B)=∁ᵤA∪∁ᵤB；∁ᵤ(A∪B)=∁ᵤA∩∁ᵤB； 0. 分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。 二、例题精讲 例1已知全集U=R，集合A={x | -2≤x≤3}，集合B={x | 1<x<5} 求：(1) A∩B (2) A∪B (3) ∁UA 例2 设全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,4}，B={2,3,5} 求：∁U(A∩B) 与 (∁UA)∪(∁UB) 例3 集合A={1,3,5}，B={x | x²-4x+3=0} (1) 用列举法表示集合B； (2) 判断A∪B与A的关系 例4 已知A={x | x²-5x+6=0}，B={x | ax-1=0}，且A∩B=，求实数a的取值 三、课堂练习 1. 设 A={x | x 是偶数}，B={x | x 是奇数}，则 A∩B=________ 1. 已知 U={x | x 是小于 10 的正整数}，A={1,3,5,7}，B={2,3,6,8}，求∁ᵤ(A∪B) 1. 已知 A={x | x²-2x-3，B={x | x<a}，若 A∩B=A，求 a 的取值范围 四、易错点总结 1. 数轴法端点：含等号用实心点，不含用空心点，运算时注意边界是否包含； 1. 含参数运算：漏讨论 B=∅的情况。 五、课后作业 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，，则  (    ) A. B. C. D. 2.已知全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.设集合，则满足的集合的个数是(    ) A. B. C. D. 4.设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为(    ) A. B. C. D. 5.已知全集，集合，集合，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.设，若，则实数的值可以为(    ) A. B. C. D. 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 已知全集，集合，集合． 求：； ； ． 8.本小题分 已知集合，． 若，求 在，，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 集合的基本运算 学习目标 1. 掌握并、交、补的定义，能用数轴法、Venn 图求解集合运算； 1. 熟练运用运算性质简化计算； 1. 能解决与集合运算相关的含参数问题。 一、知识点精讲 1.集合运算定义： 运算 定义 Venn 图表示 并集 A∪B A B A B 两圈合并的区域 交集 A∩B {x|x∈A 且 x∈B} B A 两圈重叠的区域 补集∁ᵤA {x|x∈U 且 x∉A}（U 为全集） 全集中除 A 外的区域U A U A U A 2.核心运算性质： 0. 基本性质：A∩A=A，A∪A=A；A∩∅=∅，A∪∅=A；A∩(∁ᵤA)=∅，A∪(∁ᵤA)=U； 0. 德摩根定律：∁ᵤ(A∩B)=∁ᵤA∪∁ᵤB；∁ᵤ(A∪B)=∁ᵤA∩∁ᵤB； 0. 分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。 二、例题精讲 例1已知全集U=R，集合A={x | -2≤x≤3}，集合B={x | 1<x<5} 求：(1) A∩B (2) A∪B (3) ∁UA 解： （1）交集取公共部分：A∩B={x | 1<x≤3} （2）并集取全部覆盖范围：A∪B={x | -2≤x<5} （3）补集是全集去掉A：∁UA={x | x<-2 或 x>3} 例2 设全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,4}，B={2,3,5} 求：∁U(A∩B) 与 (∁UA)∪(∁UB) 解： 第一步：A∩B={2}，∁U(A∩B)={1,3,4,5,6} 第二步：∁UA={3,5,6}，∁UB={1,4,6} (∁UA)∪(∁UB)={1,3,4,5,6} 结论：∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) 例3 集合A={1,3,5}，B={x | x²-4x+3=0} (1) 用列举法表示集合B； (2) 判断A∪B与A的关系 解： (1) 解方程x²-4x+3=0，得x=1或x=3，所以B={1,3} (2) B中所有元素都在A内，B⊆A，因此A∪B=A 例4 已知A={x | x²-5x+6=0}，B={x | ax-1=0}，且A∩B=，求实数a的取值 解：化简A：x²-5x+6=0，x=2、3，所以A={2,3} 分情况讨论B： ① a=0时，方程ax-1=0无解，B=，空集与任何集合交集为空，符合条件； ② a≠0时，B={1/a}，若A∩B=∅，则≠2且≠3 即a≠ 且 a≠ 综上：a=0 或 a≠ 且a≠ 三、课堂练习 1. 设 A={x | x 是偶数}，B={x | x 是奇数}，则 A∩B=________ 答案： 1. 已知 U={x | x 是小于 10 的正整数}，A={1,3,5,7}，B={2,3,6,8}，求∁ᵤ(A∪B) 答案：A∪B={1，2，3，5，6，7，8}，U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 所以∁ᵤ(A∪B)={4，9} 1. 已知 A={x | x²-2x-3，B={x | x<a}，若 A∩B=A，求 a 的取值范围 答案：因为 A∩B=A，所以A⊆B，A={-1，3}，所以集合B中必须含有-1和3，故a＞3， 所以a的取值范围是{a|a＞3} 四、易错点总结 1. 数轴法端点：含等号用实心点，不含用空心点，运算时注意边界是否包含； 1. 含参数运算：漏讨论 B=∅的情况。 五、课后作业 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，，则  (    ) A. B. C. D. 2.已知全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.设集合，则满足的集合的个数是(    ) A. B. C. D. 4.设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为(    ) A. B. C. D. 5.已知全集，集合，集合，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.设，若，则实数的值可以为(    ) A. B. C. D. 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 已知全集，集合，集合． 求：； ； ． 8.本小题分 已知集合，． 若，求 在，，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 课后作业作业参考答案 1.【答案】  【解析】解：由集合，， 根据集合交集的概念与运算，可得． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了集合的运算，属于基础题． 先求出，再得出即可． 解：由全集，集合，得， 又，则． 故选C． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考察并集运算，属于基础题． 先求出，再利用并集运算列举出． 解：易知，而，故B可以是 故选C． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查图表达集合的关系及运算，属于基础题． 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，根据集合的运算求解即可． 解：由已知，得， 显然，阴影部分的元素属于集合而不属于集合， 所以阴影部分表示的集合为， 故选B． 5.【答案】  【解析】解：因为集合，，所以， 又因为，所以． 故选：． 6.【答案】  【解析】 本题考查集合的交集及集合关系中的参数取值问题，属于基础题． 由题意求出集合，根据   ，可得  ，讨论是否为空集即可求得实数 的值． 解：由，得， 当时，，则，解得，符合题意 当时，若，则；若，则 若，则，无解． 故选BCD． 7.【答案】解：集合，，， ． ． ，或 【解析】本题考查集合交集，并集，补集的运算，属于基础题． 根据集合交集定义求解即可． 根据集合并集定义求解即可． 根据集合补集定义求解即可． 8.【答案】解：当时，，， 则； 选择，， 或， 故实数的取值范围为， 选择，， 则或， ，解得， 故实数的取值范围为， 选择，， 则或， ，解得， 故实数的取值范围为．  【解析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解； 选，结合交集的定义，即可求解， 选，结合补集、交集的定义，即可求解， 选，结合补集、并集的定义，即可求解． 本题主要考查交、并、补集的混合运算，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司 $