25.3实际问题与一元二次方程（第1课时 代数数字、图形面积问题）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，核心涵盖代数数字（连续整数、两位数）和图形面积问题，通过“数字之谜”“面积之谜”挑战导入，回顾一元一次方程解题六步，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题情境激发“数学眼光”，通过设元技巧、多种解法培养“数学思维”，规范步骤和易错提醒强化“数学语言”。如矩形围栏问题多解法，真题感知提升应用能力，帮助学生克服畏难情绪，教师可高效教学。

25.3实际问题与一元二次方程 第1课时 代数数字、图形面积问题 第二十五章 一元二次方程 人教版2026·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 掌握连续整数、两位数数字问题的数量表示方法；熟练利用规则图形面积公式建立一元二次方程；完整掌握一元二次方程解应用题的六步流程，能根据整数属性、边长为正的实际条件检验并舍去不合理根. 经历“数字/图形情境→梳理等量关系→建立方程模型→运算求解→验证实际意义”的探究过程，提升文字信息转化、几何图形量化、代数建模的能力. 感受数学知识的关联性与实用性，体会数形结合的数学魅力，克服应用题畏难情绪，提升数学解题的严谨性与自信心. 知识回顾 我们列一元一次方程、二元一次方程（组）或分式方程解决实际问题时，一般步骤是什么？ 1. 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系； 2. 设：设未知数； 3. 列：根据等量关系列出方程； 4. 解：解方程； 5. 验：检验解在实际问题中是否有意义； 6. 答：写出实际问题的答案. 有两个连续的正整数，它们的乘积是132。你能快速猜出这两个数分别是什么吗？尝试直接计算，是不是感觉有点无从下手？ 挑战一：数字之谜 挑战二：面积之谜 一个正方形的边长增加2cm后，面积增加了24cm²。试着画个图分析一下，边长和面积的变化藏着什么秘密？原来的正方形边长又是多少呢？ 导入新课 同一元一次方程、二元一次方程（组）一样，一元二次方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多问题。 新知探究 探究点1 代数数字关系问题 活 动1 已知两个连续正整数的乘积为132，求这两个连续正整数. 分析： 未知量是： . 两个连续正整数 等量关系是： . 较小数×较大数=132 设较小的正整数： . x 较大的正整数： . x+1 可列方程： . x(x+1)=132 整理得： . x²+x－132=0 请用合适的方法解这个方程 新知探究 探究点1 代数数字关系问题 活 动1 已知两个连续正整数的乘积为132，求这两个连续正整数. 规范解答 解：设较小的正整数为x，由题意可得： x(x+1)=132 整理得：x²+x－132=0 （x－11） (x+12)=0 因式分解求解 解得： 经检验：∵，不符合正整数条件， ∴不合题意，舍去 当时，x+1=12, 答：这两个连续正整数是11，12 新知探究 探究点1 代数数字关系问题 活 动1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 解方程，得： . 分析： 未知量是： . 等量关系是： . 设较小直角边： . 较大直角边： . 可列方程： . 整理得： . 勾股定理：直角边的平方和等于斜边的平方 直角三角形的三条边长 x 较大直角边： . x+1 x+2 得 x2 +(x+1)2 = (x+2)2 x2 －2x－3=0 x1=3，x2= – 1 不符合题意，舍去 x2= – 1符合题意吗？ 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. x x+1 x+2 解：设其三边长依次为 x－1，x，x+1 新知探究 探究点1 代数数字关系问题 活 动2 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 由勾股定理，得： x2 +(x－1)2 = (x+1)2. 解方程，得 x1=4，x2= 0（不符合题意，舍去）. ∴ 三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 设三个连续正整数中间的数为x ，能列出怎样的方程？ 思考： 整理方程得：x2－4 x =0 新知探究 探究点1 代数数字关系问题 归一归 解决数字问题的关键是用代数式表示出其他数，设未知数时通常采用间接设元法，即设这个数为x，然后将其他数用含x的代数式表示出来，最后根据题中的数量关系列方程. 连续整数的设元技巧 若设较小的数为x，则较大的数为x + 1。整数之间的差值恒为1，是最基础的设元模型。 连续奇数（偶数）的设元技巧 若设较小的奇数（偶数）为x，则较大的奇数（偶数） 为x + 2。相邻偶数之间相差2，需注意数值的奇偶性保持一致。 三个连续整数设元技巧 两位数的代数表示 若十位数字为a，个位数字为b，则该数为10a + b，牢记数位的位值意义。 若设中间的数为x，则桑数可表示x - 1 ，x，x + 1。整数之间的差值恒为1，是最基础的设元模型。 新知探究 探究点2 几何图形面积问题 活 动3 一个正方形的边长6cm，在四周加上等宽的边框后，面积增加28cm²，求边框的宽度 设元： 设边框的宽度为xcm， 则新正方形边长为(6+2x)cm； 等量关系： 新图形面积−原图形面积=增加的面积； 列方程求解： (6+2x)²－6²=28， 6cm (6+2x)cm x x 解：设边框的宽度为xcm，由题意得： 规范解答 (6+2x)²－6²=28 解方程，得 x1=1，x2=－7（不符合题意，舍去）. 答：边框的宽度是1cm 新知探究 探究点2 几何图形面积问题 活 动4 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m²的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 解:设矩形的一边长为 x m，由题意可得 x(20–x) = 96. 解方程，得： x1= 12，x2=8 当x1= 12时，20–x=8 当x2= 8时，20–x=12 因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m. 一根长为40m的细绳 分析： 矩形区域周长 长×宽=面积=96m² x m (20–x) m 设矩形的一边长为 x m ∵矩形的周长为 40 m ∴长方形另一边长为 (20–x) m 结论： （2）矩形的长与宽的和是20，一条边比20 的一半多，一条边比20少一点，所以可以设一边为（10+x），那么其邻边长为 . 新知探究 探究点2 几何图形面积问题 议一议 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m²的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 思考 （1）若设一边长为 x m，根据面积条件那么其邻边长为 . m (10–x)m 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解吗 新知探究 探究点2 几何图形面积问题 议一议 解：设一边长为 x m， 那么其邻边长为 m. 解：设一边长为 (10+x) m，那么其邻边长为 (10–x) m. 由矩形的周长为 40 m，得 2(x+)=40. 整理方程得：x2－20 x+96=0 解方程，得 x1= 12，x2=8. 由矩形的面积为 96 m2，得 (10+x)(10–x) =96. 解方程，得 x1=2，x2= – 2. 当 x=2 时，边长为 10+2=12m，10–2=8m； 当 x= –2 时，边长为10–2=8m，10+2=12m. 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m²的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 100－ x2 =4. 方程出现分式，去分母化为整式方程， 利用 “和为定值” 设未知数，直接用平方差公式解方程 新知探究 探究点3 归纳列一元二次方程解决实际的通用步骤 活 动5 结 小 纳 归 （1）审题意：审题要弄清已知量、未知量和问题中的等量关系； （2）巧设元：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （3）找等量：提炼等量关系 （4）列方程：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程； （5）解方程：求出所列方程的解； （6）验实际：检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义； （7 ）写答案：根据题意，选择合理的答案作答。 归纳一元二次方程解决实际的通用步骤 典例分析 例1：两个连续偶数的积为168，求这两个连续偶数. 【分析】 连续偶数差值为2，可设x、x+2，且结果需为偶数，进一步细化验根标准. 解：设这两个连续偶数为x、x+2，根据题意得： x（x+2)=168 （x+14）（x－12）=0 解得：. 当 时， x+2=－12 当 时， x+2=14 答：这两个连续偶数分别为12、14或-12、-14. 典例分析 例2.在一块长宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，如图（1）所示的是小明的设计方案，其中花园四周小路的宽度相等，通过解方程，小明得到小路的宽为或．如图（2）所示的是小颖的设计方案，其中在荒地中每个角上的扇形都相同． (1)你认为小明的结果对吗？为什么？ (2)你能帮小颖求出图（2）中的吗？ （取，结果精确到0.1） (3)你还有其他设计方案吗？ （1）解：设小路的宽为，则 ， 整理方程得： 4 解得：． 经检验： 不合题意，舍去 ∴， ∴小明的结果不对． 典例分析 例2.在一块长宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，如图（1）所示的是小明的设计方案，其中花园四周小路的宽度相等，通过解方程，小明得到小路的宽为或．如图（2）所示的是小颖的设计方案，其中在荒地中每个角上的扇形都相同． (1)你认为小明的结果对吗？为什么？ (2)你能帮小颖求出图（2）中的吗？ （取，结果精确到0.1） (3)你还有其他设计方案吗？ （2）解：四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为，由题意得 ， 解得：m（负值舍去）． （3）解：依此连结各边的中点得如图的设计方案． 新知巩固 1.怎样用一根长为 40 m 的细绳围成一个面积为 75 m2 的矩形区域？能围成一个面积为 101 m2 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由. . 解：设矩形的长为 x m，宽为 (20–x) m. 当矩形面积为 75 m2 时，x(20–x)=75， 解方程，得x1=15，x2=5（不合题意，舍去）. 所以，矩形的长为 15 m，宽为 5 m 时，面积为 75 m2. 当矩形面积为 101 m2时，x(20–x)=101， 因为此方程无实数根，所以，不能围成面积为101m2的矩形区域 教材第21页 解：设AE=x，则BE=4–x， 在Rt△ABC和Rt△BCE中， 由勾股定理，得： DE2=12+x2，CE2=12+(4–x)2. 若△DEC为直角，则： DE2+CE2=CD2， ∴ 1+x2+1+(4–x)2=42. 解方程，得： x1=2+，x2=2–. 即 当 AE=2+或2–时，使∠DEC为直角. ∴AB上存在点E，使得∠DEC 为直角 新知巩固 2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，DC=4，AB 上是否存在点 E，使得∠DEC 为直角. A B D C 4 1 E 教材第21页 拓展提升 1.如图，某校准备一面利用墙，其余各面用篱笆围成一个矩形花辅．已知旧墙可用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的边长为x． (1)若围成的花圃面积为时，求的长； (2)如图，若计划将花圃面积围成，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 设垂直于墙的边长为x．则 根据题意得： ， 整理方程得： 解得：， 当时，， 当时，， （1）解： ∵墙可利用的最大长度为， ∴＞13，不合题意，舍去． 答：的长为； 拓展提升 1.如图，某校准备一面利用墙，其余各面用篱笆围成一个矩形花辅．已知旧墙可用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的边长为x． (1)若围成的花圃面积为时，求的长； (2)如图，若计划将花圃面积围成，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 不能围成这样的花圃． 理由如下： 依题意可知：， 即 ， ∵， ∴ 方程无实数根， 答：不能围成这样的花圃． （1）解： 真题感知 1．(2025.来安校考)如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 解：设最小数为，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得： ， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， C 真题感知 2．（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为x m，根据题意可列方程（　　） A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40 C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40 解：∵围栏的长度为24m，矩形的宽为x m， ∴ 矩形的长为（24﹣2x）m． 根据题意得：x（24﹣2x）＝40． A 真题感知 3．（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6 解：由题意可得，x（5﹣x）＝6， C 真题感知 4．（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 解：设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形， 根据题意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9， 整理得：2x2﹣17x+8＝0， 解得： x1， x2＝8（不符合题意，舍去）． 答：小路的宽度为m． 真题感知 5．（2025.周口统考）如图，利用一面墙（长度不限），用长20米长的篱笆围成一个矩形场地，并在边上留出一个1米宽的门（不用篱笆），怎样围成一个面积为45平方米的场地？ 解:设矩形的边长， 则边． 根据题意，得：． 解得： ，． 当时，； 当时，． 答：当矩形场地的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为45平方米的场地． 知识与技能 （1）数字问题： 掌握连续整数（差1）、连续偶数（差2）、两位数数位的代数式表示方法，能根据“整数、正数”条件取舍方程根. （2）面积问题：熟练掌握正方形、矩形边长变化、留白裁剪问题的等量关系，依托面积公式建立一元二次方程. （3）通用技能：熟练掌握一元二次方程解应用题六步解题法，解题格式规范完整. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）模型思想：将数字关系、几何面积的实际问题，抽象转化为一元二次方程代数模型. （2）数形结合思想：面积问题通过画图分析图形结构，直观梳理边长、面积等量关系，化几何问题为代数计算. （3）转化思想：文字情境、图形信息转化为代数式、方程，实现几何与代数的互通转化. （4）严谨验证思想：方程的数学解必须结合实际情境的取值限制筛选有效解. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）数字问题：设元错误，混淆连续整数、连续偶数的差值；忽略“整数、正数”要求，不舍去不合理根；两位数数值直接用数位数字代替，计算错误. （2）面积问题：图形边长增减分析错误，混淆单边、双边增减；误用面积公式，等量关系列写颠倒；默认所有方程解都有效，忽略边长为正数的硬性条件. （3）通用问题：解题步骤残缺，漏检验、漏作答、无单位，解题规范性不足. 课后练习 1.两个数的和是 26 ，积是 168 ，求这两个数. 解：设这两个数分别为 x，(26–x).由题意，得： x(26–x)=168， 整理方程得： 解方程，得： x1=14，x2=12. 当 x=14 时，26–x=12； 当 x=12 时，26–x=14. 答：这两个数为12，14. 习题 25.3 教材p24页 课后练习 2.一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24. 求这两条直角边的长. 解：设直角三角形的一条直角边为 x ，则另一条直角边为(14–x). 由题意，得： x(14–x)=24， 整理非常的： 解方程，得x1=6，x2=8. 当 x=6 时，14–x=8； 当 x=8 时，14–x=6. 答：这两条直角边的长分别为 8，6. 习题 25.3 教材p24页 谢谢聆听 $