25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根的判别式与公式法，通过回顾配方法解具体方程，提出一般形式方程能否用配方法求解的问题，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以问题驱动推导求根公式，培养抽象能力与推理意识，通过“一化二定三算四求”步骤归纳和实例（如判断三角形边长方程根的情况）强化模型意识。学生能系统掌握解法，教师可提升教学效率，对接中考和拓展延伸增强应用意识。

第二十五章 一元二次方程 25.2.2 公式法 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 一元二次方程根的判别式 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 公式法解一元二次方程 8. 对接中考 1. 了解一元二次方程求根公式的推导过程. 2. 能运用根的判别式判断方程根的情况，能熟练地运用公式法解一元二次方程. 学习目标 知识回顾 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一移（移项）：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 二化（二次项系数化为 1）：左、右两边同时除以二次项系数； 三配（配方）：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 四开（开平方）：利用平方根的意义直接开平方； 五解（解两个一元一次方程）：移项、合并同类项. 新课导入 我们已经会用配方法解像 x2−6x+5=0、2x2+4x−6=0 这样的一元二次方程了，任何一个一元二次方程都可以化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否用配方法得出它的解呢？ 新课讲解 知识点1 一元二次方程根的判别式 探究 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). 能否用配方法得出它的解呢？ 解：移项，得ax2+bx=-c． 二次项系数化为1，得． 配方，得 即． 这里可以直接开平方吗？为什么？ 新课讲解 因为a≠0，所以4a2＞0.式子b2－4ac的值有以下三种情况： 方程有两个不相等的实数根． (1) >0 >0 , 这里用到了 这里用到了 ,与前面的±运算后，结果还是±. 新课讲解 方程有两个相等的实数根． (2) =0 0 因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下三种情况： 方程无实数根． (3) <0 0 新课讲解 一元二次方程根的判别式 式子可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程()的根的判别式，通常用希腊字母“”表示，即. 一元二次方程根的情况与根的判别式之间的关系 对于方程() ， (1) 方程有两个不等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根； (3) 方程没有实数根 . 新课讲解 例 1. 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1) 2x2-3x-=0； (2) 16x2-24x+9=0. 解：(1) ∵ a=2，b=-3，c=-， ∴ Δ=b2-4ac =(-3)2-4×2×(﹣) =21>0. ∴ 方程有两个不相等的实数根. (2) ∵ a=16，b=-24，c=9 ∴Δ=b2-4ac =(-24)2-4×16×9 =0. ∴ 方程有两个相等的实数根. 新课讲解 利用判别式判断方程根的情况的一般步骤： 一化：化一般式，确保二次项系数为正； 二找：找a，b，c，确定其值，注意带前面的符号； 三算：算b24ac的值，判断符号； 四判：判断方程根的情况. 归纳 新课讲解 例 2. 关于 x 的一元二次方程( m － 2)x2+2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是( ) A. m ≤ 3 B. m<3 C. m<3 且 m ≠ 2 D. m ≤ 3 且 m ≠ 2 解：因为方程为一元二次方程，所以m-2 ≠ 0，即m≠ 2. 因为一元二次方程有实数根， 所以Δ ≥ 0，即4-4(m-2) ≥ 0， 解得m≤ 3.故m≤ 3 且m≠ 2. D 新课讲解 练一练 1. 利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况： (1) ； (2) . 解：(1) 方程化为 ， ∵ ，， ， ， 方程无实数根. (2) 方程化为 ， ∵ ，， ， ， 方程有两个相等的实数根． 新课讲解 练一练 2. 若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为 ( ) A. −4 B. −1 C. 1 D. 4 解： 关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， 且， 且， . C 新课讲解 练一练 【变式】若关于 x 的方程 kx2−4x+2=0有实数根，则 k 的取值范围为 ． 解：分两种情况讨论： (1) 若方程为一元一次方程，则k=0， 方程化为−4x+2=0. 解得 (2) 若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0， 即 (-4)2-4·k×2≥0且k≠0， 解得 k≤2且 k≠0， 综上所述，k的取值范围为 k≤2． k≤2 新课讲解 知识点2 公式法解一元二次方程 求根公式 当时，方程()的实数根可写为x 的形式，这个式子叫作一元二次方程()的求根公式. 公式法 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 应用求根公式的前提 公式法是解一元二次方程的通用解法 ( 也称万能法 )，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法 . 新课讲解 例 3. 用公式法解方程：(1) x2－4x－7＝0； 解：(1)a＝1，b＝－4，c＝－7． Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0， 故方程有两个不相等的实数根 即. 1.确定系数 2.计算 Δ 3.代入 4.定根 注意符号 提示：方程必须要转化成一般形式才能确定系数 新课讲解 例 3. 用公式法解方程：(2) 2x2−＋1=0； (3) x2＋17=8x． 解：(2) a＝2，b＝，c＝1． Δ＝b2－4ac＝-4×2×1＝0． 故方程有两个相等的实数根， 即 (3)原方程化为x2－8x＋17＝0． a＝1，b＝－8，c＝17． Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0． 故方程无实数根． 当∆<0时，直接下结论无实根． 新课讲解 用公式法解一元二次方程的步骤 一化：将一元二次方程化为一般形式() ； 二定：确定a，b，c 的值，不要漏掉符号； 三算：计算，确定方程根的情况； 四求：若Δ ≥ 0，则利用求根公式求解；若Δ <0，则方程无实数根. 归纳 新课讲解 例 4. 已知 α 是一元二次方程 x2-x-1=0 较大的根，则下列对 α 的值估计正确的是 ( ) A．2＜α＜3 B． 1.5＜α＜2 C． 1＜α＜1.5 D． 0＜α＜1 B 解：解方程 x2-x-1=0，得x1= ，x2= ， 即 α = ， 因为2＜＜3，所以3＜1+＜4， 所以＜＜2，即1.5＜α＜2． 新课讲解 练一练 A A. B. C. D. 1. 下列一元二次方程中，根是 的方程是 ( ) 新课讲解 练一练 2. 小明在解方程 时出现了错误，解答过程如下： ，， ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） ， .（第四步） (1) 小明的解答过程是从第____步开始出错的，其错误原因是______________ ____________________________； (2) 写出正确的解答过程. 一 确定，，的 解：将原方程化为一般形式为 . ，， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ，， . 值时没有将方程化为一般形式 新课讲解 练一练 3. 若 是一元二次方程的根，则 ( ) A. B. 4 C. 2 D. 0 D 课堂小结 公式法解一元二次方程 根的判别式 步骤 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式△=b2-4ac，求根公式 x （b2-4ac≥0） 一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 . 二定：确定a，b，c的值，不要漏掉符号. 三算：计算 △=b2-4ac 确定方程根的情况. 四求：当△>0 时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0 时，方程有两个相等的实数根； 当△<0 时，方程无实数根. 当堂小练 1. 用公式法解下列方程： (1) ； (2) ； (3) . 解：(1) 整理方程得 ， ，， ， ， ， 即， . (2) 整理方程得 ， ，， ， ， ， 即， . (3) 整理方程得 ， ，， ， ， ， 即， . 当堂小练 2. 关于x 的一元二次方程x2+mx － 8=0 的 根的情况是 (   ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 当堂小练 3. 关于的方程 根的情况为 ( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 C 当堂小练 4. 已知关于的一元二次方程，若 的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边 的长为5，当是等腰三角形时， 的值为 ( ) A. 3或4 B. 4或5 C. 5 D. 4 B 当堂小练 5. 已知关于的一元二次方程 . (1) 试判断方程的根的情况； (2) 若该方程有一根大于0且小于1，求 的取值范围. 解：(1) ，，， ， 此方程总有两个实数根. (2) 由(1) 得，，即， . 此方程有一根大于0且小于1， ， . 当堂小练 6. 我们规定：对于任意实数，，， ，有 ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如： . (1) 求 的值； (2) 已知关于的方程 有两个实数根，求 的取值范围. 解：(1) . (2) 根据题意，得 ， 整理得 . 关于的方程 有两个实数根， ，且，解得且 . 对接中考 1. 若关于 的一元二次方程有实数根，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. 且 D. 且 解： 关于的一元二次方程 有实数根， ，且 ， 解得且 . C 对接中考 2. 对于实数，定义运算“ ”为 .例如：，则关于的方程 的根的情况，下列说法正确的是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 解：， , ， ， 关于 的方程 有两个不相等的实数根． A 拓展与延伸 1. 已知关于 的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为， （其中），若是关于的函数，且 ，则 ( ) A. B. C. D. 解：由求根公式，得， 或. ，， ， ， ，解得， . B 拓展与延伸 2. 已知关于 的一元二次方程，其中，，分别为 三边的长. (1) 如果是方程的根，试判断 的形状，并说明理由； (2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由. 解：(1) 是等腰三角形.理由如下： 是方程的根， ， ， ， 是等腰三角形. (2) 是直角三角形.理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形. $