河南省信阳高级中学（北湖校区）2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 这份高一下期数学月考试卷，通过复数运算、向量垂直等基础题与四棱台综合证明、概率统计应用等能力题，考查数学抽象、空间观念与数据意识，适配高一知识进阶需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、向量、圆锥侧面展开、概率|第7题正方体中点线面位置关系，考查空间观念与几何直观| |多选题|3/18|向量基底、投影向量、分层抽样|第10题结合班级及格率考查分层抽样，体现数据意识| |填空题|3/15|方差、斜二测画法、三棱锥外接球|第14题三棱锥外接球表面积，综合空间想象与运算能力| |解答题|5/77|复数纯虚数、概率应用、频率分布直方图、解三角形、四棱台证明|19题四棱台线面垂直证明及线面角范围，考查逻辑推理与创新意识|

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期06测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z满足（其中是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 2．已知向量， ， ，若与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 4．若，则为整数的概率为（   ） A． B． C． D． 5．已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知甲乙两组按从小到大顺序排列的数据——甲组：25，27，36，m，43，57；乙组：23，n，32，43，47，54．若这两组数据的分位数和分位数分别对应相等，则等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）    A．10 B．15 C． D． 8．在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（   ） A．已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底 B．已知，，则在上的投影向量的坐标是 C．若两非零向量，满足，则 D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形 10．某高中一年级共有甲、乙、丙3个班级，其中甲班40人，乙班50人，丙班40人，在某次数学月考中，甲班的及格率为，乙班的及格率为，丙班的及格率为，则（    ） A．若用简单随机抽样法从一年级所有学生中抽取13人，则甲班应抽取4人 B．若按照各班人数比例用分层随机抽样法从一年级所有学生中抽取26人，则丙班应抽取8人 C．这次一年级数学月考的平均及格率为 D．若从这次一年级数学月考及格的学生中随机抽1人，则该学生来自丙班的概率最大 11．如图，在四棱锥中，，，，，平面，设，，，的中点分别为，，，，则（ ）    A．，，，四点共面 B．平面平面 C．四棱锥的表面积为 D．异面直线与所成角的正切值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，一组数据4，2，，，7的方差为3.6，则________． 13．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知m为实数，设复数． (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)设复数z在复平面内对应的点为，若满足，求m的取值范围． 16．（15分）抛掷一蓝､一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为， (1)求“为偶数”的概率； (2)求“”的概率. 17．（15分）每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)已知落在样本数据的平均值是53，方差是4；落在样本数据的平均值是68，方差是9.求落在样本数据的平均值和方差. 18．（17分）已知，，分别是的内角，，的对边，且. (1)求; (2)若,且的面积为，求的周长. 19．（17分）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)若点P是正方形内的动点（不含边界），且满足，设直线与平面所成角为，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期06测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D D C C B A B BC BC ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．1 13． 14． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出关于的不等式组，解出即可； （2）先得z在复平面内对应的点的坐标，解不等式即可. 【详解】（1）由题意得， 所以； （2）复数z在复平面内对应的点的坐标为， 因为点的坐标满足，所以． 解得或， 所以m的取值范围为. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用列举法求出基本事件总数，两次数字之积为偶数包含的基本事件个数为12，利用古典概型求概率． （2）利用列举法求出基本事件总数，满足包含的基本事件个数为10，利用古典概型求概率． 【详解】（1）由题意知，样本空间，，共16个样本点. 设事件“为偶数”，则 ，共12个样本点. 所以，即“为偶数”的概率为. （2）由（1）知，样本空间包含16个样本点. 设事件“”，则，，共10个样本点. 所以，即“”的概率为. 17．(1) (2) (3)59，60 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可得到的值； （2）再将各区间的中点值乘以对应的频率，并求和，即可得样本数据的平均值； （3）由分层抽样的方差公式求解. 【详解】（1）由题意知，， 解得； （2）根据频率分布直方图， 所以； （3）由频率分布直方图知， 落在､的样本数据的频数分别为60，40， 所以， 所以. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由和差角公式可得求解， （2）根据同角关系可得，进而由面积公式得，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得:，则， 即，即， 由正弦定理得，即; （2）由，,得， 则，得， 由余弦定理得， 即，整理得， 即，解得， 则，     所以的周长为. 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接AC交BD于，则可得，进而得到四边形为平行四边形，利用线面平行的判断即可证得平面； （2）利用等体积法可求线面距离； （3）由空间中垂直关系的转化可得点的轨迹为，根据线面角的定义可知为与面所成的平面角，然后可得的取值范围. 【详解】（1） 连接AC交BD于，连接，则，因为， 由四棱台的性质可得，且，故四边形为平行四边形， 故，平面面，故面. （2）面，直线到平面的距离等价于点到平面的距离， ， ，，，， 取DC中点，连，， 可得，而平面， 故平面，由平面， 故，，得， ，，故， 故，故. （3）连接，因为，由四棱台的性质可得， 故四边形为平行四边形，故， 故平面，而平面，故， 又，，平面，故平面， ，点在面内的动点，点面面， 面，为与面所成的平面角， ，DO最小为，最大为4 则. $