专题1.3 交集、并集（4大知识点+11大题型+强化训练）-2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义（苏教版必修第一册）

2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题1.3 交集、并集 知识点一、交集 1、定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”。 符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 图示语言： 【要点】A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 2、运算性质： ①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B． ⑥A∩B＝∅（两个集合没有相同元素），⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）． 知识点二、并集 1、定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 【要点】A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素． 2、运算性质： ①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B． ⑥A∪B＝∅（两个集合都是空集）．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）． 知识点三、交集、并集、补集的混合运算 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 　　 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．　　 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．　　 知识点四、Venn图表示 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 知识点五、区间的意义与表示 1、区间的意义：设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 2、区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 3、特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 知识点一、交集与并集运算 题型01：交集的运算 【方法点拨】求集合A∩B的方法与步骤 (1)步骤：①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)． (2)方法：①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集． ②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【例1】已知集合，，0，1，，，，1，2，，则　　 A．， B．，1， C．，，0，1， D．，1， 【例2】已知集合，，则　　 A． B． C． D． 【例3】设集合，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知集合，1，3，，，0，，则等于　　 A．， B．，0， C．，0，1，3， D． 2.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3.设集合，1，，，则　　． 4.已知集合，，则　　 A．，0，1， B．，，0，1， C．，0， D．，，0， 5.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型02：根据交集运算求参数 【方法点拨】（1）确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)、看这些元素满足什么限制条件．(3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【例4】已知集合，，若，则实数的值为 【例5】设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例6】已知集合，若，则的取值范围为 . 【例7】设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}． （1）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围； （2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 【跟踪训练】 1.设集合，，，，，，若，则的值为 　　． 2.已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3.已知集合，．若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.设集合，，若，求实数的取值范围. 题型03：并集的运算 【方法点拨】1.对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解． 2.求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个． 3.对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到． 【例8】若集合，，，，则　　 A． B． C．， D．，2， 【例9】已知集合，，则　　 A． B．，，0，1， C． D． 【例10】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例11】（多选）已知集合，集合中有两个元素，且满足，1，，则集合可以是　　 A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练】 1.设集合，，，则　　． 2.已知集合，集合，则　　 A． B． C． D． 3.（多选）已知集合，，，，，则可能是　　 A．，1， B．，0， C．，2， D．，1， 题型04：根据并集运算求参数 【例12】集合，若，的值组成的集合为 【例13】已知集合，，且，则实数a的所有值构成的集合是（ ） A． B． C． D． 【例14】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知集合，集合，若，则 ． 2.已知集合，25，，，，若，则实数的值为　　 A．0 B． C．0或 D．0或 3.已知集合，，若，则的取值范围是 . 4.已知集合或，，若，则实数m的取值范围是 . 5.（多选）已知集合，，，且，则实数的值可以为　　 A． B． C． D．0 知识点二、交并补混合运算 题型05：交、并、补集的混合运算 【方法点拨】集合的交集与并集 (1)、两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)、对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)、A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 3．集合的运算性质 (1)、A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)、A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【例15】已知全集，集合，集合.求： (1)；(2)；(3). . 【例16】已知集合. (1)求； (2)求 【例17】设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【例18】已知全集集合则集合 . 【跟踪训练】 1.已知全集，1，2，3，4，，集合，2，，，，则　　 A．， B．，2，4， C．，2，4， D．，1，2，4， 2.已知集合 则的元素个数为 . 3.已知全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 4.已知集合，则（ ） A． B． C． D． 5.设全集为，集合，，则 ； . 题型06：根据混合运算结果求参数 【方法点拨】确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【例19】已知全集，若，则实数的值为（　　） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【例20】已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 2.设集合 （1）若，求实数的值； （2）若，．求实数的取值范围． 3. 已知集合. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 知识点三、区间的意义与表示 题型07： 集合用区间表示 【例21】下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【例22】已知集合，若，则B可能是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 2.用区间表示下列数集： (1)； (2)； (3)； (4)R； (5)； (6)或. 题型08：由区间表示求参数 【例23】已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 若确定区间满足，则实数的取值范围为 ． 2．已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为 . 知识点四、综合提升 题型09： Venn图表达集合的关系和运算 【例24】如图，已知全集，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 2.设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2 >4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A.{x|x>2，x∈N} B.{x|x≤2，x∈N} C.{0,2} D.{1,2} 3.图中的阴影部分表示的集合是( ) A．A∩() B．B∩() C． D． 4.已知全集和集合，如图所示，则　　． 题型10：容斥原理的应用 【例25】已知三个集合，，及元素间的关系如图所示，则　　 A．， B．，5， C． D．，4，5，6，7， 【例26】某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为　　 A．7人 B．8人 C．5人 D．6人 【跟踪训练】 1. 高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（    ） A．3人 B．2人 C．1人 D．4人 2. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的有________人． 3. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？ 4.某班45名学生参加“”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”、“合格”2个等级，结果如表： 等级 项目 优秀 合格 合计 除草 30 15 45 植树 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为　　 A．5 B．10 C．15 D．20 题型11：集合运算中的新定义问题 【例27】设A，B是非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D．或 【跟踪训练】 1. 对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C．或， D．或， 2. 定义集合的商集运算为，已知集合A={2，4，6}，B=，则集合∪B中的元素的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3. 设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，则使关系式成立的有序数对总共有（    ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 4. 对于任意两个数，定义某种运算“◎”如下：①当或时，；②当时，.则集合A＝的子集个数是（    ） A．214个 B．213个 C．211个 D．27个 题型12：综合提升 【例28】设集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若全集，，求实数的取值范围． 一、选择题 1.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 3. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4. 若集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 5. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6. 已知集合，，，则为（    ） A． B． C． D． 7. 已知全集，2，3，4，，集合，3，，，3，，则　　 A．， B． C．， D．，3， 8. 设，是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：．若，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 2、 多项选择题 9.若集合，，则集合等于　　 A． B． C． D． 10.下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 11.设全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，则　　 A．， B． C．，1，3， D． 12. 集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题 13.已知集合，，若，则中所有元素之和为______ 14.已知集合则实数的取值集合为 . 15.已知全集，1，2，3，4，，集合，1，2，，，，则　　． 16.某班共40人，其中20人喜欢篮球运动，15人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为 　　． 四、解答题 17.若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 18.已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 19. 已知且，求的取值范围. 20．设，， （1）求; （2）若，求实数a的取值范围 21．已知集合，或． （1）若，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围． 22.已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题1.3 交集、并集 知识点一、交集 1、定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”。 符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 图示语言： 【要点】 A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 2、运算性质： ①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B． ⑥A∩B＝∅（两个集合没有相同元素），⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）． 知识点二、并集 1、定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 图形语言：． 【要点】 A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素． 2、运算性质： ①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B． ⑥A∪B＝∅（两个集合都是空集）．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）． 知识点三、交集、并集、补集的混合运算 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 　　 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．　　 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．　　 知识点四、Venn图表示 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 知识点五、区间的意义与表示 1、区间的意义：设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 2、区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 3、特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 知识点一、交集与并集运算 题型01：交集的运算 【方法点拨】求集合A∩B的方法与步骤 (1)步骤：①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)． (2)方法：①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集． ②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【例1】已知集合，，0，1，，，，1，2，，则　　 A．， B．，1， C．，，0，1， D．，1， 【分析】利用集合交集的定义求解即可． 【解答】解：因为集合，，0，1，，，，1，2，， 则，． 故选：． 【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题． 【例2】已知集合，，则　　 A． B． C． D． 【分析】解不等式，求出，再求出，的交集即可． 【解答】解：，， ， 故选：． 【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是基础题． 【例3】设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由交集的概念可得结果. 【详解】由题意可得. 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知集合，1，3，，，0，，则等于　　 A．， B．，0， C．，0，1，3， D． 【分析】直接利用交集运算得答案． 【解答】解：，1，3，，，0，， ，1，3，，0，，． 故选：． 【点评】本题考查交集及其运算，是基础题． 2.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合， .故选：C. 3.设集合，1，，，则　　． 【分析】求出集合，利用交集定义求出． 【解答】解：集合，1，， ， ，． 故答案为：，． 【点评】本题考查集合的运算，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.已知集合，，则　　 A．，0，1， B．，，0，1， C．，0， D．，，0， 【分析】求解一元二次不等式化简，再由交集运算得答案． 【解答】解：，， ，0，． 故选：． 【点评】本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题． 5.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合定义可求得集合，由交集定义可求得结果. 【解答过程】当时，；当时，； 当时，；当时，； ，. 故选：B. 题型02：根据交集运算求参数 【方法点拨】（1）确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)、看这些元素满足什么限制条件．(3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【例4】已知集合，，若，则实数的值为 【答案】或 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】由题可得或，并验证是否成立即得. 【详解】集合，，， 则或，解得或， 当时，，则，合乎题意； 当时，，则，合乎题意； 当时，，则，合乎题意. 综上所述，或. 故答案为：或. 【例5】设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据有，利用集合的基本关系即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 【例6】已知集合，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出集合，根据集合，即可求出. 【详解】由题意知，又且，故，即的取值范围为. 故答案为：. 【例7】设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}． （1）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围； （2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 【解析】（1）∵A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}， ∴A＝{x|x≤－1或x≥4}． ∵A∩B≠∅，∴或 ∴或∴a＝2或a≤－. ∴a的取值范围为{a|a＝2或a≤－}. （2）由A∩B＝B知，B⊆A，有三种情况： ①解得a≤－3； ②解得a＝2； ③B＝∅，则2a>a＋2，解得a>2. ∴a的取值范围为{a|a≤－3或a≥2}． 【跟踪训练】 1.设集合，，，，，，若，则的值为 　　． 【分析】由已知可得或，分别求得值，验证集合中元素的特性得答案． 【解答】解：，，，，，，且， 或， 若，得，当时，，，，，3，，符合题意； 当时，，4，，违背集合中元素的互异性； 若，得，，4，，违背集合中元素的互异性． 故． 故答案为：． 【点评】本题考查交集及其运算，考查集合中元素的特性，是基础题． 2.已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据集合的交集求解即可. 【详解】因为，， 所以，故. 故选：A 3.已知集合，．若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，且， 所以，即；故选：D 4.设集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】当时，，满足. 当时，要使，则B是A的子集 则需. 综上所述，的取值范围是. 题型03：并集的运算 【方法点拨】1.对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解． 2.求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个． 3.对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到． 【例8】若集合，，，，则　　 A． B． C．， D．，2， 【分析】利用并集定义直接求解． 【解答】解：，，，， ，2，． 故选：． 【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【例9】已知集合，，则　　 A． B．，，0，1， C． D． 【分析】求出集合，，利用并集定义能求出． 【解答】解：集合，0，1，， ，， ，，0，1，． 故选：． 【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【例10】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数计算求解集合，再求并集即可. 【详解】集合. 集合. 集合. 集合. . 故选：. 【例11】（多选）已知集合，集合中有两个元素，且满足，1，，则集合可以是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】可以求出集合，，然后根据条件即可得出集合可能的情况． 【解答】解：，，集合有两个元素，且满足，1，， 集合可以是，或，． 故选：． 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 【跟踪训练】 1.设集合，，，则　　． 【分析】进行并集的运算即可． 【解答】解：，，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了集合的区间的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.已知集合，集合，则　　 A． B． C． D． 【分析】利用集合并集的定义求解即可． 【解答】解：因为集合，集合， 则． 故选：． 【点评】本题考查了集合并集定义的理解与应用，属于基础题． 3.（多选）已知集合，，，，，则可能是　　 A．，1， B．，0， C．，2， D．，1， 【分析】含3个元素时可得出或或，然后根据集合元素的互异性求出，或或，然后即可求出，从而得出正确的选项． 【解答】解：若含3个元素，则或或， 时，不满足集合元素的互异性，，或时满足题意， 时，，0，；时，，2，；时，，，． 故选：． 【点评】本题考查了集合的列举法的定义，并集及其运算，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题． 题型04：根据并集运算求参数 【例12】集合，若，的值组成的集合为 【答案】 【分析】依题意有，即，分类讨论求m的值. 【详解】若，则，即， 由，则有或， 若，解得或， 当时，与集合中元素的互异性矛盾，∴． 若，解得. 所以的值组成的集合为. 故答案为：． 【例13】已知集合，，且，则实数a的所有值构成的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 当时，，满足，只有D选项符合. 当时，， 要使，则或或，即或或， 所以实数a的所有值构成的集合是.故选：D 【例14】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由得，再根据子集的定义得不等式求解． 【详解】由得，所以或， 解得或，所以. 故选：D． 【跟踪训练】 1.已知集合，集合，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据集合中元素的互异性和集合并集的运算可求的值. 【详解】因为，所以或. 若，则，此时，集合中的元素不满足互异性，故舍去. 若则或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去； 当时，，，，故符合题意. 故答案为：2 2.已知集合，25，，，，若，则实数的值为　　 A．0 B． C．0或 D．0或 【分析】由已知可得或，求得值，验证集合中元素的互异性得答案． 【解答】解：，25，，，，且， 或，解得或5或0， 当时，，25，，，，符合题意； 当时，，25，，违背集合中元素的互异性，舍去； 当时，，25，，，，符合题意． 故实数的值为0或． 故选：． 【点评】本题考查并集及其运算，考查集合中元素的特性，是基础题． 3.已知集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合并集定义可得，将中所有元素代入计算即可得. 【详解】由，则， 故有，解得，即. 故答案为：. 4.已知集合或，，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】解出集合，由得到实数m的取值范围. 【详解】解得，即， ∵，∴ 故答案为： 5.（多选）已知集合，，，且，则实数的值可以为　　 A． B． C． D．0 【分析】根据可得出，然后讨论显然满足题意；时，可得出或，然后解出的值即可． 【解答】解：，， ①时，，满足题意； ②时，， 或，解得或， 综上得，的值为：0，． 故选：． 【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，并集的定义及运算，分类讨论的思想，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 知识点二、交并补混合运算 题型05：交、并、补集的混合运算 【方法点拨】集合的交集与并集 (1)、两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)、对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)、A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 3．集合的运算性质 (1)、A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)、A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【例15】已知全集，集合，集合.求： (1)；(2)；(3). 【解题思路】（1）利用交集的定义可求得集合； （2）（3）利用并集和补集的定义可求得结果. 【解答过程】（1）因为集合，集合，则. （2）因为全集， 则，故. （3）由题意可得，则. 【例16】已知集合. (1)求； (2)求 【解题思路】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由交并补的混合运算即可求解. 【解答过程】（1）由条件可得：； （2）或， 所以 或. 【例17】设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以，又， 所以，故选：A. 【例18】已知全集集合则集合 . 【解析】 ． 【点拨】关于集合的运算，先看清楚集合的元素，把集合化简成最简单的形式，当涉及到不等式可以借助数轴. 【跟踪训练】 1.已知全集，1，2，3，4，，集合，2，，，，则　　 A．， B．，2，4， C．，2，4， D．，1，2，4， 【分析】先求出，由此能求出的值． 【解答】解：全集，1，2，3，4，，集合，2，，，， ， ，1，2，4，．故选：． 【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.已知集合 则的元素个数为 . 【解析】 则 的元素个数为． 3.已知全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵全集，集合，则， 又∵集合，因此，.故选：C. 4.已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 则， 故.故选：D. 5.设全集为，集合，，则 ； . 【答案】 【解析】由题意，集合，， 可得，所以， 又由或，所以. 题型06：根据混合运算结果求参数 【方法点拨】确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【例19】已知全集，若，则实数的值为（　　） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】先求出集合A的补集，再利用，即可得答案； 【解析】因为方程的判别式，所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 【例20】已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解； （2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 【跟踪训练】 1.已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【解题思路】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围. 【解答过程】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 2.设集合 （1）若，求实数的值； （2）若，．求实数的取值范围． 【答案】 (1) 或 (2) 【解析】由得或，故集合． （1）　，代入中的方程，得， 或; 当时，满足条件； 当时，满足条件； 综上，的值为或． （2），， ①若，则适合； ②若，则时，，，不合题意； 当，此时需且 将代入的方程得； 将代入的方程得 综上，的取值范围是 或或． 3. 已知集合. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或． 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】(1)根据可知，列出不等式组即可求解． (2)分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）∵，∴， ∴， ∴的范围是． （2）(i)若，则，即，此时满足； (ii)若，则， 若，则或，解得或， ∴或； 综上，或 知识点三、区间的意义与表示 题型07： 集合用区间表示 【例21】下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 【例22】已知集合，若，则B可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，四个选项中只有是集合A的子集.故选：A 【跟踪训练】 1.用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 【答案】 【解析】； ； 且； ； . 故答案为：；；；；. 2.用区间表示下列数集： (1)； (2)； (3)； (4)R； (5)； (6)或. 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）或. 题型08：由区间表示求参数 【例23】已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据区间的定义，即可列式求解. 【详解】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 【跟踪训练】 1. 若确定区间满足，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据集合的包含关系求参数、区间的定义与表示 【分析】利用集合关系的区间表示以及区间有意义得出不等关系，解不等式可得结果. 【详解】根据题意可知，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 2．已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得区间长度为，然后分，以及讨论，分别计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，且区间中有4个整数， 易知任意区间的区间长度为， 当时，的区间长度为， 此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有4、5、6、7四个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有5、6、7、8四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有5、6、7、8四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有5、6、7、8、9五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有6、7、8、9这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或. 故答案为：. 知识点四、综合提升 题型09： Venn图表达集合的关系和运算 【例24】如图，已知全集，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据韦恩图得出阴影部分表示的集合是，利用集合的交并补运算即得. 【解答过程】由图知阴影部分表示的集合是, 因， ， 则，故. 故选：D. 【跟踪训练】 1.如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的图形，利用韦恩图，结合集合的运算判断即可. 【解答过程】由韦恩图知，阴影部分不在集合中，在集合中，其集合表示为. 故选：C. 2.设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2 >4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A.{x|x>2，x∈N} B.{x|x≤2，x∈N} C.{0,2} D.{1,2} 【答案】C 【解析】由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁UA)，[来源:学_科_网] ∁UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}， ∵B＝{0,2,3}，∴B∩()＝{0,2}，选C. 3.图中的阴影部分表示的集合是( ) A．A∩() B．B∩() C． D． 【答案】B 【解析】阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集．因此，阴影部分所表示的集合为B∩()． 4.已知全集和集合，如图所示，则　　． 【分析】利用韦恩图求出集合的补集；再求出交集． 【解答】解：有题中的韦恩图知 ，4，7，8，5，，5，，故答案为， 【点评】本题考查利用韦恩图解决集合的交集、并集、补集运算． 题型10：容斥原理的应用 【例25】已知三个集合，，及元素间的关系如图所示，则　　 A．， B．，5， C． D．，4，5，6，7， 【分析】由图象可知，1，2，3，4，5，6，7，，，2，，，5，，根据集合的混合运算法则即可得出答案． 【解答】解：，1，2，3，4，5，6，7，，，2，，，5，， ，4，5，6，7，， ，， 故选：． 【点评】本题考查了集合的混合运算，属于基础题，关键是掌握集合的运算法则． 【例26】某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为　　 A．7人 B．8人 C．5人 D．6人 【分析】设同时报乙、丙职位的人数为，画出对应的韦恩图，进而求解结论． 【解答】解：设同时报乙、丙职位的人数为，则可得对应韦恩图， 由图可知，解得， 故选：． 【点评】本题主要考查韦恩图的应用，属于基础题． 【跟踪训练】 1. 高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（    ） A．3人 B．2人 C．1人 D．4人 【答案】C 【分析】作出图形即可得到方程，解出即可. 【详解】设这三项比赛都参加的有人，则，解得． 故选：C.    2. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的有________人． 【答案】12 【解析】设两项运动都喜欢的人数为x，喜爱篮球的记为集合A，喜爱乒乓球的记为集合B， 画出Venn图得到方程：15－x＋x＋10－x＋8＝30⇒x＝3， ∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12. 3. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？ 【答案】同时参加数学和化学小组的有8人 【解析】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C， 同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 由全班共36名同学参加课外探究小组可得 (26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8， 即同时参加数学和化学小组的有8人． 4.某班45名学生参加“”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”、“合格”2个等级，结果如表： 等级 项目 优秀 合格 合计 除草 30 15 45 植树 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为　　 A．5 B．10 C．15 D．20 【分析】设都合格的人数为，除草合格植树优秀的人数为，除草优秀植树合格的人数为，除草与植树都优秀的人数为，列出方程组，由在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，能求出在两个项目中都“优秀”的人数最多的人数． 【解答】解：设都合格的人数为，除草合格植树优秀的人数为， 除草优秀植树合格的人数为，除草与植树都优秀的人数为， 则， 在两个项目中都“合格”的学生最多有10人， ． 在两个项目中都“优秀”的人数最多为15人． 故选：． 【点评】本题考查集合的运算与应用，考查集合、方程组、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等数学核心素养，是基础题． 题型11：集合运算中的新定义问题 【例27】设A，B是非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】， 所以或. 故选：D 【跟踪训练】 1. 对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C．或， D．或， 【答案】C 【解析】对于集合，，定义且，， 设，， 则，， 或，． 故选：C． 2. 定义集合的商集运算为，已知集合A={2，4，6}，B=，则集合∪B中的元素的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】先求得集合B，从而得到，然后利用集合的并集运算求解.因为集合A={2，4，6}，B=， 所以B={0,1,2}，则=, 所以∪B=， 所以集合∪B中共有7个元素. 故选：B. 3. 设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，则使关系式成立的有序数对总共有（    ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】C 【解析】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0，然后分9种情况讨论即可.由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0， 除以3的余数是0，除以3的余数是0； 除以3的余数是1，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是2； 除以3的余数是2，除以3的余数是0； 除以3的余数是0，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是1； 除以3的余数是0，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是0； 所以满足条件的数对有，共3对， 故选：C 4. 对于任意两个数，定义某种运算“◎”如下：①当或时，；②当时，.则集合A＝的子集个数是（    ） A．214个 B．213个 C．211个 D．27个 【答案】C 【解析】根据条件中的定义可知， 当，且同为奇数或者同为偶数时，有， 当，且为偶数，为奇数时，有， 故集合中， 当同为奇数或者同为偶数时，， 可取，，，，，，，，， 当为偶数，为奇数时， 可取，， 所以可取的情况共有11种， 即集合中有11个元素， 所以集合得子集个数为. 故选：C. 题型12：综合提升 【例28】设集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若全集，，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）；（3） 【解析】（1）由得， 因为，所以， 所以， 整理得，解得或． 当时，，满足； 当时，，满足； 故的值为或． （2）由题意，知． 由，得． 当集合时，关于的方程没有实数根， 所以，即，解得． 当集合时，若集合中只有一个元素， 则， 整理得，解得， 此时，符合题意； 若集合中有两个元素，则， 所以，无解． 综上，可知实数的取值范围为． （3）由，可知， 所以，所以． 综上，实数的取值范围为．故得解. 一、选择题 1.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，所以. 故选：D. 2. 已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，再根据交集的运算即可求出． 【解析】因为，而， 所以． 故选：B 3. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集含义即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 4. 若集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【解题思路】先化简集合B，再求并集，从而可得结果. 【解答过程】因为集合，， 所以， 所以中元素的个数为 故选：C. 5. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先得，再由集合的并集运算可得. 【解答过程】， 故， 故选：D. 6. 已知集合，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集和交集的定义直接运算即可求解. 【详解】由题得， 所以， 故选：C. 7. 已知全集，2，3，4，，集合，3，，，3，，则　　 A．， B． C．， D．，3， 【分析】先利用补集的定义求出，再由交集的定义求解即可． 【解答】解：因为全集，2，3，4，，集合，3，，，3，， 所以，， 则，． 故选：． 【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合补集与交集定义的理解与应用，属于基础题． 8. 设，是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：．若，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】，，故，. 则或. 故选：B. 2、 多项选择题 9.若集合，，则集合等于　　 A． B． C． D． 【分析】将集合在数轴上表示出来，通过集合交集的定义进行分析，即可得到答案． 【解答】解：在数轴上分别表示出集合，，如图所示， 由数轴可知，． 故选：． 【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题． 10.下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合韦恩图，利用交并补的定义表述即得. 【解答过程】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者. 故选：AD. 11.设全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，则　　 A．， B． C．，1，3， D． 【分析】利用集合交集、补集、并集的定义依次求解即可． 【解答】解：因为全集，1，2，3，，集合，1，，，1，， 则，，故选项正确； ，，故选项错误； ，1，3，，故选项正确； 因为，，则，故选项正确．故选：． 【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集、并集以及补集定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 12. 集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】，A错误； ，，B正确； ，C正确； ，D错误. 故选：BC. 3、 填空题 13.已知集合，，若，则中所有元素之和为______ 【分析】由，求出或，再分类讨论由集合的互异性可求出，即可得出答案. 【详解】由得或，解得：或， 若，则，不符合题意； 若，，从而， 所以中所有元素之和为4， 14.已知集合则实数的取值集合为 . 【答案】 【解析】集合2或． ． 若，即时，满足条件． 若，即m≠0时，集合， 要使．则 解得或m． 故或或． 15.已知全集，1，2，3，4，，集合，1，2，，，，则　　． 【分析】进行补集和并集的运算即可． 【解答】解：，1，2，3，4，，，1，2，，，， ，，，4，． 故答案为：，4，． 【点评】本题考查了集合的列举法的定义，并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 16.某班共40人，其中20人喜欢篮球运动，15人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为 　　． 【分析】热爱这两项运动的有32人，有15人喜欢乒乓球运动，20人喜欢篮球运动，从而两项都喜欢的有（人，由此能求出喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数． 【解答】解：因为共40人，有8人对着两项运动都不喜爱，则热爱这两项运动的有（人， 因为15人喜欢乒乓球运动，20人喜欢篮球运动， 则两项都喜欢的有（人 则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为（人， 故答案为：17． 【点评】本题考查喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数的求法，考查集合性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 四、解答题 17.若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解一元二次方程即可； （2）根据并集的结果得到集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）由解得或，所以. （2）因为，所以， 由解得或， 若，则，满足； 若，则，因为，所以， 综上或. 18.已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由集合的交、并运算即可得解. （2）由得列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得，得解得， 所以，故实数的取值范围为 19. 已知且，求的取值范围. 【解析】 由题意 ， (此时画数轴分析下，会清晰很多 则易知是方程的根，且) 是方程的一个根，即并且另一个根在上， (此时还是试试画出满足条件的函数图象，体会下数形结合的威力 ) 设函数则其中 解得. 【点拨】在处理类似本题集合综合运算时，多结合图象进行思考. 20．设，， （1）求; （2）若，求实数a的取值范围 【答案】(1)；或；(2) 【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集； （2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围. 【解析】(1)解不等式可得，， 所以 (2)由可得，且， 所以，解得，即. 21．已知集合，或． （1）若，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据交集的定义，列出关于的不等式组即可求解； （2）由题意，，根据集合的包含关系列出关于的不等式组即可求解； 【解析】(1)∵或，且， ∴，解得， ∴a的取值范围为； (2)∵或，且， ∴， ∴或，即或， ∴a的取值范围是. 22.已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，即可求得答案； （2）根据题意讨论整数元素可能是和，列出相应的不等式求出m的范围，结合集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】（1）由题意， 知或，, 因为，故，解得； （2）中的整数元素为， 而集合中仅有一个整数元素， 当该整数元素为时，， 此时，则； 当该整数元素为时，， 此时，则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $