专题1.2 子集、补集、全集（4大知识点+13大题型+强化训练）-2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义（苏教版必修第一册）

2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题1.2 子集、补集、全集 知识点一：子集 1、定义：一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）． 2、符号语言：若aA，则aB，集合A为集合B的子集 3、韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示： B A 4、规定：空集是任何集合的子集，即． 5、子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集，即． （2）若，且，则． 6、集合的相等与子集的关系 （1）如果A⊆B且B⊆A，则A=B． （2）如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 知识点二、真子集 1、定义：如果__，并且__，那么集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A. 这应理解为：若AB，且存在b∈B，但bA，称A是B的真子集. 2、用Venn表示： 3、真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的真子集． （2）若A B，B C，则A C． 注意：(1)任何集合都不是它本身的真子集. (2)若，且，则. (3)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 知识点三、补集 1、补集定义：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作，读作“A在S中的补集”即={x|}.。 2、Venn图表示： U A 3、性质： (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 知识点四、全集 1、全集：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。全集通常记作． 2、A、∁UA是U的子集： 3、对于不同的全集，同一集合A的补集不相同。∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合。 知识点一、子集 真子集 题型01：子集、真子集的概念 【方法点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法． ②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素． ③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 【例1】对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（　　） A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A 【分析】“A⊆B”不成立，是对命题的否定，任何的反面是至少，即可得到结论． 【解答】解：∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素， ∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B， 故选：C． 【点评】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题． 【跟踪训练】 1. 下列说法正确的是__________. （1）“∈”“⊆”的意义是一样的； （2）空集是任何集合的真子集； （3）若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中； （4）若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B； （5）若A＝B，则必有A⊆B； [答案]（3）（4）（5） 2（多选题）下列命题中，正确的有（　　） A．空集是任何集合的真子集； B．若A⫋B，B⫋C，则A⫋C； C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； D．如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B 【分析】根据集合的相关知识，可以进行判断． 【解答】解：空集是不是空集的真子集，A错； 真子集具有传递性，B对； 空集没有真子集，C错； 如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B，D对， 故选：BD． 【点评】本题考查集合的相关知识，属于基础题． 题型02：求集合的子集、真子集或个数 【方法点拨】①确定所求集合，是子集还是真子集． ②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出． ③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 假设集合A中含有n个元素，则有： ①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个． 【例2】设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集． 【答案】答案见解析 【分析】首先写出的正约数，即可得到集合，再用列举法列出的所有子集； 解：因为的正约数有、、、，所以，所以的子集有：、、、、、、、、、、、、、、、共16个； 【例3】集合的真子集的个数是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合的元素个数为，故集合的真子集个数为.故选：B. 【例4】已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|﹣2＜x＜2且x∈Z}． （1）写出集合M的子集； （2）写出集合N的真子集． 【分析】（1）由集合M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0，1}，能求出集合M的子集． （2）由N＝{x|﹣2＜x＜2且x∈Z}＝{﹣1，0，1}．能求出集合N的真子集． 【解答】解：（1）∵集合M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0，1}， ∴集合M的子集有：∅，{0}，{1}，{0，1}． （2）∵N＝{x|﹣2＜x＜2且x∈Z}＝{﹣1，0，1}． ∴集合N的真子集有：∅，{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}． 【点睛】本题考查集合的子集、真子集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集、真子集的定义的合理运用． 【跟踪训练】 1.已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况． [解]　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． 2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． [解]　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， ∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． ∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}． 3.求集合的子集个数. 【解析】集合，(先化简集合) 则其子集有共个． 【点拨】 ① 讨论集合的子集，不要漏了空集与自身； ② 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 4.已知集合则满足的集合的个数为(　　) A．4 B．8 C．7 D．16 【答案】 【解析】集合， ， 满足的集合有：，，，，，，，，共个． 故选：． 5. 集合的真子集的个数是________ 【答案】7 【解析】时，；时，；时，；时，； 函数在上是减函数， 当时，；，共个元素， 根据公式可得其真子集的个数为个 题型03：由集合子集、真子集的个数求参数 【例5】已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若A的子集个数为2个，则实数a＝　 　． 【分析】推导出（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解，当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根，△＝9+8（a﹣1）＝0，由此能求出实数a的值． 【解答】解：∵集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，且A的子集个数为2个， ∴（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解， 当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，解得x， 当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根， △＝9+8（a﹣1）＝0，解得a． ∴实数a的值为1或． 故答案为：1或． 【点评】本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【跟踪训练】 1. 已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为集合的所有非空真子集为：， 所以有，故选：D 2. 已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}的子集只有两个，则实数a的值为（　　） A． B．0 C．或0 D．无解 【分析】由集合子集的性质可知集合A中的元素只有一个，然后分别对a＝0与a≠0讨论即可求解． 【解答】解：由集合子集的性质可知集合A中的元素只有一个， 则当a＝0时，方程﹣3x+2＝0，解得x，满足题意， 当a≠0时，方程ax2﹣3x+2＝0只有一个解， 只需△＝9﹣8a＝0，解得a， 综上，满足题意的实数a的值为0或， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程以及集合的子集的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题． 3. 若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为___________． 【答案】或． 【分析】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素，通过分类讨论得出的范围． 【解析】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素． 当时，，此时集合为，符合题意， 当时，方程是一元二次方程， 时，解得，，此时集合为，符合题意， 时，解得，此时集合为空集，符合题意， 综上，的取值范围是或． 故答案为： 或． 知识点二 、集合与集合间关系 题型04：集合间关系的判断 【方法点拨】列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． ②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． ③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系． 【例6】设集合P＝{y|y＝x2+1），M＝{x|y＝x2+1}，则集合M与集合P的关系是（　　） A．M＝P B．P∈M C．M⫋P D．P⫋M 【分析】由函数得：P＝{y|y≥1}，M＝R，即P⫋M，得解 【解答】解：因为y＝x2+1≥1， 即P＝{y|y≥1}， M＝{x|y＝x2+1}＝R， 所以P⫋M， 故选：D． 【点评】本题考查了集合的表示及函数，属简单题. 【例7】已知集合，，则集合的关系是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设或，， 则有． 又，． 【跟踪训练】 1. 在下列选项中，能正确表示集合A＝{﹣2，0，2}和B＝{x|x2+2x＝0}关系的是（　　） A．A＝B B．A⊆B C．A⊋B D．A⊊B 【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可． 【解答】解：解方程x2+2x＝0，得x＝0或x＝﹣2，所以B＝{﹣2，0}， 又A＝{1﹣2，0，2}， 所以A⊋B． 故选：C． 【点评】本题考查了集合之间关系的判断，属于基础题． 2. 已知集合，，则集合的大小关系是(　　) 【答案】 【解析】集合， 当时， 当时， 又集合，， 又集合， 集合比集合多一个元素，即， 综上所求：， 故选：． 3. 集合M＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n+1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m+1，m∈Z}之间的关系表述正确的有（　　） A．S⫋P B．S⫋M C．P＝M D．P⫋S 【分析】根据题意判断集合M，P，S表示的意义，进行判断． 【解答】解：M＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}表示被3整除余1的数的集合； P＝{y|y＝3n+1，n∈Z}表示被3整除余1的数的集合； S＝{z|z＝6m+1，m∈Z}＝{z|z＝3×（2m）+1，m∈Z}，表示被6整除余1的集合； 故M＝P，S⫋P，S⫋M． 故选：ABC． 【点睛】本题考查集合交补，属于基础题． 题型05：符号表示两个集合间的关系 【例8】有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（       ） A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确．综上，本题不正确的有③④，故选：D 【例9】（多选）下列关系式错误的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A选项由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，A错误； B选项根据子集的定义可知正确； C选项由于符号用于集合与集合间，C错误； D选项是整数集，所以正确.故选：AC. 【跟踪训练】 1．下列四个选项中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确；故选：D 2. 下列五个写法，其中错误写法的个数为（       ） ①；②；③；④；⑤； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错， 对于②，是任意非空集合的真子集，故②对， 对于③，集合是它本身的子集，故③对， 对于④，“”是用于元素与集合的关系，故④错， 对于⑤，因为是用于集合与集合的关系的，故⑤错，故选：C． 3. 下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（       ） A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤ 【答案】A 【解析】中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误； 空集是任一集合的子集，所以正确；是的子集，所以错误； 任何集合是其本身的子集，所以正确；a是的元素，所以正确.故选：A. 4.集合∅和{0}的关系表示正确的有________．(把正确的序号都填上) ①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅是{0}的真子集． 【答案】④ 【解析】∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然∅≠{0}，故①不对； 又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}，所以②③不对，④正确．故答案为：④ 题型06：Venn图表示两个集合间的关系 【方法点拨】是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 【例10】已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项． 【详解】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B． 故选：B 【例11】已知集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|0}，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（　　） A．B．C．D． 【分析】先求出集合B，然后根据集合间的关系以及韦恩图即可判断正确选项． 【解答】解：因为集合B＝{x|0}， 所以B＝{x|﹣1＜x≤3}，又集合A＝{x|﹣1≤x≤3}， 所以B⫋A，根据韦恩图可得选项C正确， 故选：C． 【跟踪训练】 1. 已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由图可得，由选项即可判断． 【详解】 解：由图可知：， ， 由选项可知：， 故选：D． 2. 已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是（　　） ①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U． A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥ 【答案】D 【分析】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，分别进行判断，能够得到正确答案． 【详解】 观察Venn图中集合U，S，T，F的关系， ①S∈U，故错误； ②F⊆T，故错误， ③S⊆T，故正确； ④S⊆F；故错误， ⑤S∈F；故错误， ⑥F⊆U故正确 故选D． 题型07：由集合间的关系求参数范围 【方法点拨（根据集合之间关系，求参数的值或范围） （1）求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示． （2）涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视． 【例12】已知集合，若，则实数的值为__________． 【答案】0 【分析】解方程即得解． 【详解】因为，所以（舍去）或， 所以． 故答案为：0 【例13】已知集合，，且，则实数a的值为___________． 【答案】或或0 【分析】先求得集合A，分情况讨论，满足题意；当时，，因为，故得到或，解出即可． 【详解】已知集合，， 当，满足； 当时，， 因为，故得到或，解得或； 故答案为：或或0． 【例14】设集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，若A⊇B，则m的取值范围是　 ． 【分析】B⊆A，则说明B是A的子集，然后分m≤﹣2和m＞﹣2两种情况求出m的取值范围． 【解答】∵A＝{x|﹣1≤x+1≤6}＝{x|﹣2≤x≤5}， 当m﹣1≥2m+1，即m≤﹣2时，B＝∅满足B⊆A． 当m﹣1＜2m+1，即m＞﹣2时，要使B⊆A成立， 需 ，可得﹣1≤m≤2，即﹣1≤m≤2， 综上，m≤﹣2或﹣1≤m≤2时有B⊆A． 故答案为：{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}． 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用． 【跟踪训练】 1. 集合，，若，则由实数组成的集合为________ 【答案】 【解析】集合，，， 或或 ． 由实数组成的集合为：． 2. 设是实数，集合，，若，则的取值集合是　　． 【分析】可以求出，，根据，然后讨论是否为显然满足题意；时，可得出或2，然后解出即可． 【解答】解：由题意解得，， ， ①时，，符合题意； ②时，，或2，解得或， ，，， 的取值集合为，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了集合的表示，子集的含义，分类讨论的思想方法，考查了计算能力，属于基础题． 3. 设集合，，，，若，则的取值范围是　　 A．或 B．或 C． D．或 【分析】利用集合的包含关系和一元二次方程的根的关系可得答案． 【解答】解：集合，，，，， 当时，即△，解得，此时满足题意； 当时，设方程两根为，，则，， 结合，，，可，是两根， 则，即， 综上所述的取值范围为或． 故选：． 【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，是基础题． 4. 已知集合若则的取值范围　 　． 【解析】由题得因为则或或或， ①当所以解得； ②当则无解；(不要漏了) ③当则解得； ④当则无解． 综上． 【点拨】若，注意不能忽略了这种情况. 5. 已知集合若则实数的取值范围___________ 【答案】 【解析】已知集合， 若，则集合包含集合的所有元素， 解集合时，当时，不满足题设条件， 当时，无实数解，集合为空集，满足条件， 当0时，则，即， 综上则实数的取值范围为 6. 已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】由题可得，集合， 当时，，满足； 当时，，若，则，且，即 综上可得，实数a的取值范围是故答案为： 7．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围． [解]　(1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2. (2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2. 因为a≥1， 所以1≤a≤2. 知识点三 集合的相等与空集 题型08：空集的性质及其应用 【例15】下列关于空集的说法中，错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据集合与空集的定义依次对四个选项判断即可． 【解答】解：或，故选项错误，选项正确； 是集合的元素，也是任何集合的子集， 即，，故选项、正确； 故选：A 【例16】下列集合是空集的是（       ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】A、B、C选项的集合中均含有元素，均不为空集； 对D，因为，所以不存在实数，使得，所以.故选：D 【跟踪训练】 1. 设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题正确的是　　 ①∅∈T，②∅⊆T，③{∅}∈T，④{∅}⊆T 【分析】根据元素与集合的关系即可判断出①③都正确，根据子集的定义即可判断出②④都正确，从而找出正确的命题序号． 【解答】解：∵T＝{∅，{∅}}， ∴∅∈T，∅⊆T，{∅}∈T，{∅}⊆T． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了元素与集合的关系的判断，子集的定义，考查了推理能力，属于基础题． 2. 如果A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，则实数a的取值范围为（　　） A．0＜a＜4 B．0≤a＜4 C．0＜a≤4 D．0≤a≤4 【分析】由A＝∅得不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解． 【解答】解：因为A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，所以不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集， 当a＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a＝0成立． 当a≠0时，要使ax2﹣ax+1＜0的解集是空集， 则，解得0＜a≤4． 综上实数a的取值范围0≤a≤4． 故选：D． 【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用，将集合关系转化为一元二次不等式是解决本题的关键． 3.若关于关于的方程的解集有唯一子集，则实数的取值范围是　　． 【分析】根据题意，分析可得方程的解集必为空集，则有△，解可得的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，若方程的解集有唯一子集， 则方程的解集必为空集，则有△， 解得，则的取值范围为； 故答案为： 【点评】本题考查空集的性质，注意分析方程的解集为空集，属于基础题； 4.下列四个集合中，是空集的是（　　） A．{x|x+3＝3} B．{（x，y）|y2＝﹣x2，x，y∈R} C．{x|x2≤0} D．{x|x2﹣x+1＝0，x∈R} 【分析】根据空集的定义，分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A，x＝0； 对于选项B，（0，0）是集合中的元素； 对于选项C，由于x＝0成立； 对于选项D，方程无解． 故选：D． 【点评】本题考查了集合的概念，是一道基础题． 5.已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来． 【分析】（1）若是空集，则方程无解，故△，由此解得的取值范围． （2）若中只有一个元素，则 或△，求出的值，再把的值代入方程，解得的值，即为所求 【解答】解：（1）若是空集，则方程无解，故△，解得， 故的取值范围为，． （2）若中只有一个元素，则 或△，解得 或． 当时，解 可得． 当时，解 可得． 故中的元素为和． 【点评】本题主要考查集合中参数的取值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 题型09：集合相等 【例17】已知集合，若，求实数q的值． 【答案】 【分析】由集合相等的定义一一讨论元素对应关系即可. 【详解】由元素的互异性得， 若，则有以下两种情况： ①，不符合题意舍去； ②或（舍去）， 综上，. 【跟踪训练】 1. 下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由解得或， 所以，C正确； 选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集，故选：C 2. 设，且，求实数x，y的值． 【答案】 【分析】根据集合中的元素对应相等，结合互异性即可分情况求解. 【详解】由于，所以且， 若集合中，则，此时，由得，所以此时符合要求， 若集合中，则，此时这与矛盾，故这种情况不成立， 综上可知 3. 已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）是否存在实数，使. 【答案】（1）0或；（2）；（3）不存在. 【分析】（1）中不可能等于，让另外两个元素分别等于求得检验； （2）让中元素分别等于，求得，然后检验； （3）由，令和分别求得，然后检验是否符合题意． 【详解】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立. 的值为0或. （2）集合中也有三个元素：0，1，.， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， . 实数的值为. （3）， 若，则，，5，， 若，则，，，， 不存在实数，，使. 知识点四、全集及补集 题型10：补集及其运算 【方法点拨】补集的求解步骤及方法 （1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集；②紧扣定义求解补集． （2）方法：①借助Venn图或数轴求解；②借助补集性质求解． 【例18】设全集，，（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为全集，， 所以=． 故选：C 【例19】已知全集，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， 所以． 故选：B． 【跟踪训练】 1. 设全集 ， 集合 ， 则 _____． 【答案】 【解析】∵，则 故答案为：． 2.已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵集合，， ∴. 故选：C. 3.设全集，集合，那么（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，全集，而， 则， 故选：． 4.设集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，而，故， 故选：A． 5.已知集合，，则（       ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，，则. 故选：A 题型11：由补集运算求参数 【例20】已知全集，集合，，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】由，得出，结合元素的互异性，即可求解. 【解析】由集合，可得2，解得， 又由且， 可得，解得，经验证满足条件， 所以实数的值为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1. 设全集，集合或，，则（ ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【分析】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【解析】由补集知且，对比得， 则. 故选：B. 知识点五 综合提升 题型12：集合间关系中的新定义问题 【例21】若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为　 　． 【分析】讨论a＝0和a＞0，求得集合B，再由新定义，得到a的方程，即可解得a的值． 【解答】解：集合A＝{﹣1，2}， B＝{x|ax2＝2，a≥0}， 若a＝0，则B＝∅， 即有B⊆A； 若a＞0，可得B＝{，}， 不满足B⊆A； 若A，B两个集合有公共元素，但互不为对方子集， 可得2或1，解得a或a＝2． 综上可得，a＝0或或2； 故答案为：{0，，2}． 【点评】本题考查集合的运算以及包含关系，考查新定义的理解和运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题． 【跟踪训练】 1. 定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可. 【解析】因为， 所以集合的子集的个数是， 故选：C 2. 已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【答案】B 【解析】集合，，定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有真子集的个数为 故选：B 3. 已知集合，，定义集合A、B间的运算，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，， 所以，所以. 故选：D 题型13：综合提升 【例22】集合A＝{x|﹣3≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}． （1）若B⊆A，求实数m的取值范围； （2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围． 【分析】（1）根据B⊆A可讨论B是否为空集：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，解出m的范围即可； （2）根据题意可知A∩B＝∅，讨论B是否为空集：B＝∅时，m＜2；B≠∅时，或，然后解出m的范围即可． 【解答】解：（1）∵B⊆A， ∴①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2； ②B≠∅时，，解得2≤m≤4， 综上，实数m的取值范围为（﹣∞，4]； （2）由题意知，A∩B＝∅， ①B＝∅时，m＜2； ②B≠∅时，或，解得m＞6， ∴实数m的取值范围为（﹣∞，2）∪（6，+∞）． 【点评】本题考查了描述法的定义，子集的定义，空集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题． 【例23】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【解析】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 【跟踪训练】 1.已知集合A＝{2，6}． （1）若集合B＝{a+1，a2﹣23}，且A＝B，求a的值； （2）如集合C＝{x|ax2﹣x+6＝0}，且A与C有包含关系，求a的取值范围． 【分析】（1）根据集合相等，集合中元素互异性，可以解出； （2）对集合C进行分类讨论，即可得出a的值． 【解答】解：（1）因为集合A＝B，所以或， 解得或，所以a＝5， 故a的值为5； （2）由题意可得， 当C＝∅时，△＝1﹣24a＜0，解得a成立， 当C＝{2}时，1﹣24a＝0且2+2，此时无解； 当C＝{6}时，1﹣24a＝0且6+6，此时无解；或a＝0； 当C＝{2，6}时，，此时无解； 所以a＝0或a． 【点睛】本题考查了集合相等，集合之间的关系，属于基础题． 2. 已知a∈R，b∈R，A＝{2，4，x2﹣5x+9}，B＝{3，x2+ax+a}，C＝{x2+（a+1）x﹣3，1}．求： （1）A＝{2，3，4}的x值； （2）使2∈B，B⫋A，求a，x的值； （3）使B＝C的a，x的值． 【分析】（1）解方程x2﹣5x+9＝3即可求得x值； （2）由x2+ax+a＝2与x2﹣5x+9＝3联立即可求得a，x的值； （3）x2+（a+1）x﹣3＝3与x2+ax+a＝1即可求得a，x的值． 【解答】解：（1）依题意，x2﹣5x+9＝3， ∴x＝2或x＝3； （2）∵2∈B，B⫋A， ∴x2+ax+a＝2且x2﹣5x+9＝3， 当x＝2时，a； 当x＝3时，a； （3）∵B＝{3，x2+ax+a}＝C＝{x2+（a+1）x﹣3，1}， ∴整理得：x＝5+a， 将x＝5+a代入x2+ax+a＝1得：a2+8a+12＝0， 解得a＝﹣2或a＝﹣6． 当a＝﹣2时，x＝3或﹣1； 当a＝﹣6时，x＝﹣1或x＝7（当a＝﹣6，x＝7时代入x2+（a+1）x﹣3＝3 不成立所以舍去）． 综上所述{x|x＝﹣1或3}{a|a＝﹣6或﹣2}． 【点睛】本题考查集合关系中的参数取值问题，考查方程思想运算能力，属于中档题． 一、选择题 1. 已知集合，，则（    ） A．⫋ B． C． D． 【答案】A 【分析】用列举法写出集合A，利用集合间的基本关系判断． 【详解】，，则⫋. 故选：A. 2.下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可． 【详解】由元素与集合的关系可知，故①错误； 由集合与集合的关系可知，故②错误； 任何集合都是自身的子集，故③正确； 空集是任何非空集合的子集，故④正确； 集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确； 综上可得，只有①②错误． 故选B． 3. 已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组求解方程组的根，进而可得集合,由子集的性质即可求解. 【详解】由，又且,所以， 故选：B 4. 满足条件的所有集合的个数是（ ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【解析】由集合满足条件， 所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示， 则上述集合关系式变成：， 则此时集合为集合的真子集， 问题转化为求集合的真子集的个数即：， 故满足题意的集合有31个.故选：B. 5.已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C. 6.已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（    ） A．11 B．12 C．15 D．16 【答案】A 【分析】由题意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解. 【详解】当中有元素时，， 当中有元素时，， 所以， 所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合， 故满足题意的集合有，共11个. 故选：A. 7.若，，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先判断P是实数集合，再判断Q是点集，然后得出结果. 【详解】是大于等于零的实数构成的集合， 而是由抛物线上的点构成的集合，两个不同属性的集合没有关系，所以ABD都不对， 故选：C. 8.已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】根据求得，由此求得. 【详解】由于， 所以对于集合有或. 若，则，此时符合题意，. 若，则集合不满足互异性，不符合. 所以的值为. 故选：A 二、选择题 9．下面给出的几个关系中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】根据集合的关系判断，注意集合中的元素． 【详解】 A选项，中有元素，中有元素、，不包含于，A错， B选项，中有元素，中有元素、，不包含于，B错， C选项，∵，∴，正确，C正确， D选项，是任意集合的子集，D对， 故选：CD． 10.集合，，则下列关系错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系. 【详解】因为， 表示整数，表示奇数， 故，故选项A、B、D错误，选项C正确， 故选：ABD. 11.已知集合，，若，则实数a的值可能是（       ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 【答案】ABC 【解析】因为，所以，，则，解得． 故选：ABC 12.定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合中阴影部分表示的集合为且 集合中阴影部分元表示的集合为且， 故整个阴影部分表示， 故选：D. 3、 填空题 13.设集合，，若是空集，则实数的取值范围是　　． 【分析】根据题意可知，一元二次方程无解，从而得出△，解出的范围即可． 【解答】解：集合，，是空集， 无解， △，解得， 实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】考查描述法的定义，空集的定义，一元二次方程无解时，判别式△． 14.已知集合，若关系如图所示，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得到，即可求解. 【解答过程】， 由图可知, 所以， 故选：D. 15. 设均为实数，若集合的所有非空真子集的元素之和为，则__________ 【答案】 【解析】集合的所有非空真子集为：、、、、、， 由题意可得，解得． 故答案为：． 16.设集合是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称为集合的一个“孤立元”，给定集合，，由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 　　个． 【答案】7 【分析】根据集合的新定义，可得集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，利用列举法，即可求解． 【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”， 则集合中的三个数必须连在一起， 所以符合题意的集合是，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，，8，，共7个． 故答案为：7． 四、解答题 17.已知集合，，且，求实数的取值范围． 【解析】∵， ∴当时，，即， 当时，，解得， 综上所述，的取值范围是． 18.已知集合． （1）若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合； （2）若，且，求实数的取值集合． 【解析】（1），，可能的集合为：，，，； （2）当时，，满足； 当时，；若，则或或， 解得：或或； 综上所述：实数的取值集合为． 19.已知 （1）若求实数a的取值范围 （2）若，求实数的取值范围 【解析】（1）∵， ∴，即， ∴实数a的取值范围为； （2）∵，， ∴，解得， 故实数的取值范围为． 20.集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，对应的两个子集为和；当时，对应的两个子集为和. 【分析】（1）若，对应的方程没有实数根，可求实数的取值范围； （2）要使集合A有且仅有两个子集，集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，可求实数的值． 【详解】（1）若，方程没有实数根，当时，方程有实数根不合题意；则，二次方程没有实数根，，解得. 所以实数的取值范围为 （2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根， 当时，方程化为，解得，此时，对应的两个子集为和； 当，二次方程只有一个实根，，解得，此时，对应的两个子集为和. 21.已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 22.定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 【解题思路】（1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可； （3），，根据作差法得出，结合，即可证明． 【解答过程】（1）由题可知： ①当时，， ②当时，， ③当，或时，， 所以． （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或（舍去）． （3）证明：，， ， ， ，即， ，又，所以， 综上可得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题1.2 子集、补集、全集 知识点一：子集 1、定义：一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）． 2、符号语言：若aA，则aB，集合A为集合B的子集 3、韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示： B A 4、规定：空集是任何集合的子集，即． 5、子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集，即． （2）若，且，则． 6、集合的相等与子集的关系 （1）如果A⊆B且B⊆A，则A=B． （2）如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 知识点二、真子集 1、定义：如果__，并且__，那么集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A. 这应理解为：若AB，且存在b∈B，但bA，称A是B的真子集. 2、用Venn表示： 3、真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的真子集． （2）若A B，B C，则A C． 注意：(1)任何集合都不是它本身的真子集. (2)若，且，则. (3)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 知识点三、补集 1、补集定义：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作，读作“A在S中的补集”即={x|}.。 2、Venn图表示： U A 3、性质： (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 知识点四、全集 1、全集：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。全集通常记作． 2、A、∁UA是U的子集： 3、对于不同的全集，同一集合A的补集不相同。∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合。 知识点一、子集 真子集 题型01：子集、真子集的概念 【方法点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法． ②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素． ③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 【例1】对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（　　） A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A 【跟踪训练】 1. 下列说法正确的是__________. （1）“∈”“⊆”的意义是一样的； （2）空集是任何集合的真子集； （3）若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中； （4）若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B； （5）若A＝B，则必有A⊆B； 2（多选题）下列命题中，正确的有（　　） A．空集是任何集合的真子集； B．若A⫋B，B⫋C，则A⫋C； C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； D．如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B 题型02：求集合的子集、真子集或个数 【方法点拨】①确定所求集合，是子集还是真子集． ②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出． ③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 假设集合A中含有n个元素，则有： ①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个． 【例2】设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集． 【例3】集合的真子集的个数是（       ） A． B． C． D． 【例4】已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|﹣2＜x＜2且x∈Z}． （1）写出集合M的子集； （2）写出集合N的真子集． 【跟踪训练】 1.已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况． 2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． 3.求集合的子集个数. 4.已知集合则满足的集合的个数为(　　) A．4 B．8 C．7 D．16 5. 集合的真子集的个数是________ 题型03：由集合子集、真子集的个数求参数 【例5】已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若A的子集个数为2个，则实数a＝　 　． 【跟踪训练】 1. 已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}的子集只有两个，则实数a的值为（　　） A． B．0 C．或0 D．无解 3. 若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为___________． 知识点二 、集合与集合间关系 题型04：集合间关系的判断 【方法点拨】列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． ②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． ③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系． 【例6】设集合P＝{y|y＝x2+1），M＝{x|y＝x2+1}，则集合M与集合P的关系是（　　） A．M＝P B．P∈M C．M⫋P D．P⫋M 【例7】已知集合，，则集合的关系是(　　) A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 在下列选项中，能正确表示集合A＝{﹣2，0，2}和B＝{x|x2+2x＝0}关系的是（　　） A．A＝B B．A⊆B C．A⊋B D．A⊊B 2. 已知集合，，则集合的大小关系是(　　) 3. 集合M＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n+1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m+1，m∈Z}之间的关系表述正确的有（　　） A．S⫋P B．S⫋M C．P＝M D．P⫋S 题型05：符号表示两个集合间的关系 【例8】有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（       ） A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【例9】（多选）下列关系式错误的是（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．下列四个选项中正确的是（       ） A． B． C． D． 2. 下列五个写法，其中错误写法的个数为（       ） ①；②；③；④；⑤； A．1 B．2 C．3 D．4 3. 下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（       ） A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤ 4.集合∅和{0}的关系表示正确的有________．(把正确的序号都填上) ①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅是{0}的真子集． 题型06：Venn图表示两个集合间的关系 【方法点拨】是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 【例10】已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【例11】已知集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|0}，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（　　） A．B．C．D． 【跟踪训练】 1. 已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（       ） A． B． C． D． 2. 已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是（　　） ①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U． A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥ 题型07：由集合间的关系求参数范围 【方法点拨（根据集合之间关系，求参数的值或范围） （1）求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示． （2）涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视． 【例12】已知集合，若，则实数的值为__________． 【例13】已知集合，，且，则实数a的值为___________． 【例14】设集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，若A⊇B，则m的取值范围是　 ． 【跟踪训练】 1. 集合，，若，则由实数组成的集合为________ 2. 设是实数，集合，，若，则的取值集合是　　． 3. 设集合，，，，若，则的取值范围是　　 A．或 B．或 C． D．或 4. 已知集合若则的取值范围　 　． 5. 已知集合若则实数的取值范围___________ 6. 已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是______. 7．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围． 知识点三 集合的相等与空集 题型08：空集的性质及其应用 【例15】下列关于空集的说法中，错误的是　　 A． B． C． D． 【例16】下列集合是空集的是（       ） A．或 B． C． D． 【跟踪训练】 1. 设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题正确的是　　 ①∅∈T，②∅⊆T，③{∅}∈T，④{∅}⊆T 2. 如果A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，则实数a的取值范围为（　　） A．0＜a＜4 B．0≤a＜4 C．0＜a≤4 D．0≤a≤4 3.若关于关于的方程的解集有唯一子集，则实数的取值范围是　　． 4.下列四个集合中，是空集的是（　　） A．{x|x+3＝3} B．{（x，y）|y2＝﹣x2，x，y∈R} C．{x|x2≤0} D．{x|x2﹣x+1＝0，x∈R} 5.已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来． 题型09：集合相等 【例17】已知集合，若，求实数q的值． 【跟踪训练】 1. 下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 2. 设，且，求实数x，y的值． 3. 已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）是否存在实数，使. 知识点四、全集及补集 题型10：补集及其运算 【方法点拨】补集的求解步骤及方法 （1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集；②紧扣定义求解补集． （2）方法：①借助Venn图或数轴求解；②借助补集性质求解． 【例18】设全集，，（       ） A． B． C． D． 【例19】已知全集，则（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 设全集 ， 集合 ， 则 _____． 2.已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 3.设全集，集合，那么（       ） A． B． C． D． 4.设集合，，则（       ） A． B． C． D． 5.已知集合，，则（       ） A． B．或 C． D． 题型11：由补集运算求参数 【例20】已知全集，集合，，则实数的值为__________． 【跟踪训练】 1. 设全集，集合或，，则（ ） A．0 B．2 C．5 D．10 知识点五 综合提升 题型12：集合间关系中的新定义问题 【例21】若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为　 　． 【跟踪训练】 1. 定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 2. 已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 3. 已知集合，，定义集合A、B间的运算，则集合（    ） A． B． C． D． 题型13：综合提升 【例22】集合A＝{x|﹣3≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}． （1）若B⊆A，求实数m的取值范围； （2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围． 【例23】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知集合A＝{2，6}． （1）若集合B＝{a+1，a2﹣23}，且A＝B，求a的值； （2）如集合C＝{x|ax2﹣x+6＝0}，且A与C有包含关系，求a的取值范围． 2. 已知a∈R，b∈R，A＝{2，4，x2﹣5x+9}，B＝{3，x2+ax+a}，C＝{x2+（a+1）x﹣3，1}．求： （1）A＝{2，3，4}的x值； （2）使2∈B，B⫋A，求a，x的值； （3）使B＝C的a，x的值． 一、选择题 1. 已知集合，，则（    ） A．⫋ B． C． D． 2.下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 4. 满足条件的所有集合的个数是（ ） A．32 B．31 C．16 D．15 5.已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6.已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（    ） A．11 B．12 C．15 D．16 7.若，，则必有（    ） A． B． C． D． 8.已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 二、选择题 9．下面给出的几个关系中正确的是（       ） A． B． C． D． 10.集合，，则下列关系错误的是（    ） A． B． C． D． 11.已知集合，，若，则实数a的值可能是（       ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 12.定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题 13.设集合，，若是空集，则实数的取值范围是　　． 14.已知集合，若关系如图所示，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15. 设均为实数，若集合的所有非空真子集的元素之和为，则__________ 16.设集合是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称为集合的一个“孤立元”，给定集合，，由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 　　个． 四、解答题 17.已知集合，，且，求实数的取值范围． 18.已知集合． （1）若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合； （2）若，且，求实数的取值集合． 19.已知 （1）若求实数a的取值范围 （2）若，求实数的取值范围 20.集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 21.已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 22.定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 1 学科网（北京）股份有限公司 $