2026年暑假专题训练：三角形的中位线 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦三角形中位线，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从性质理解到创新应用的递进，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|中位线定义与性质|选择题2、7直接应用中位线求线段长，填空题16考查周长面积关系，夯实基础| |中档|中位线与直角三角形、平行四边形结合|选择题3、4结合直角三角形斜边中线，填空题14、15综合对角线垂直与中位线，提升知识关联能力| |提升|辅助线构造与综合证明|解答题18-22需构造中位线（如取中点连线段），证明平行或计算长度，发展逻辑推理与创新意识|

浙教版（2024）八年级下册暑假专题训练：三角形的中位线 一、选择题 1.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝DB，且AC⊥BD，点E、F分别为边AD、BC中点，连接EF．若EF＝4，则四边形ABCD的面积为（　　） A. B.16 C.32 D. 2.如图，为测量池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接，，分别取、的中点，，连接后，量出的长为12米，那么就可以算出，的距离是（    ） A.36米 B.24米 C.12米 D.6米 3.如图，在Rt△ABC中，BC的中垂线与BC交于点D，与AC交于点E，连结BE，F为BE的中点，若DF＝2，则AE的长为（　　） A.5 B. C.4 D.3 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB边的中点，E是BC边的中点，若AD＝5，DE＝3，则BC的长为（　　） A.4 B.6 C.8 D.10 5.如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 6.如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点．若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B的度数为　(　　) A.20°     B.45° C.65°     D.70° 7.如图，在一次数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为，则，两 点 的 距 离 是（   ）m A.12 B.14 C.16 D.24 8.如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③∠APB的大小；④直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是（　　） A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 9.如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（　　） A.6 B. C.7 D.8 10.如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 11.如图，若AB＝6，，M是BC的中点，AM＝4，则CM的值为（　　） A. B. C. D.3 12.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，点E为BC的中点，连结AE．以BC为边向左作△BCD，且∠BCD＝90°，BD∥AC．连结DE，记△CDE和△ABE的面积分别为S1和S2，则的最大值是（　　） A.4 B.6 C.4 D.8 二、填空题 13.已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于       ． 14.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直,E,F分别是AD,BC的中点,连结EF,已知BD=8,AC=10。 (1)四边形ABCD的面积为　　　　。 (2)EF的长为　　　　。 15.如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD边的中点，∠BCD＝90°，BC＝6，EF＝5，则CD的长为 　 　． 16.如图，E，F，G为△ABC三边的中点． （1）若BC＝6，则EF＝　 　； （2）若△ABC的周长为18，则△EFG的周长为 　 　； （3）若△EFG的面积为4，则△ABC的面积为 　 　． 17.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠ACD＝90°，E是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF⊥AF，AB＝5，BC＝13，则EF的长为       　. 三、解答题 18.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF． 19.如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，DE＝CF．求证：DC∥EF． 20.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点.若AC＝4 cm，BD＝6 cm，求EF的长. 21.如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，E，F，G，H分别是线段AB，AC，BD，CD的中点． (1)求∠BDC的度数． (2)连结EG，EF，HG，HF，求证：四边形EGHF是平行四边形． 22.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点. (1)若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长. (2)若∠BDC－∠ABD＝90°，求证：AB2＋CD2＝4EF2. 浙教版（2024）八年级下册暑假专题训练：三角形的中位线（参考答案） 一、选择题 1.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝DB，且AC⊥BD，点E、F分别为边AD、BC中点，连接EF．若EF＝4，则四边形ABCD的面积为（　　） A. B.16 C.32 D. 【答案】B 【解析】 作AB的中心于点G，连接EG，FG；根据中位线的性质，得，；根据AC＝DB，且AC⊥BD，得EG＝FG，∠EGF＝90°，根据四边形的面积，即可． 作AB的中点G，连接EG，FG， ∵点E、F分别为边AD、BC中点， ∴，， ∵AC＝DB，且AC⊥BD， ∴EG＝FG，∠EGF＝90°， ∴△EGF是等腰直角三角形， ∵EF＝4， ∴EG2+FG2＝EF2， 解得：， ∴， ∵四边形ABCD的面积． 故选：B． 2.如图，为测量池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接，，分别取、的中点，，连接后，量出的长为12米，那么就可以算出，的距离是（    ） A.36米 B.24米 C.12米 D.6米 【答案】B 【解析】 根据题意可知为三角形的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案． 如下图，连接， ∵、分别为、的中点， ∴为的中位线， 又∵米， ∴米． 故选：B． 3.如图，在Rt△ABC中，BC的中垂线与BC交于点D，与AC交于点E，连结BE，F为BE的中点，若DF＝2，则AE的长为（　　） A.5 B. C.4 D.3 【答案】C 【解析】 根据线段中垂线的性质求出BD＝CD，BE＝CE，进而求出DF是△BCE的中位线，根据三角形中位线的性质求出CE＝2DF＝4＝BE，根据直角三角形的性质及角的和差求出∠A＝∠ABE，根据等腰三角形的判定求解即可． ∵BC的中垂线与BC交于点D，与AC交于点E， ∴BD＝CD，BE＝CE， ∵F为BE的中点， ∴DF是△BCE的中位线， ∴CE＝2DF＝4＝BE， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°， ∵BE＝CE， ∴∠C＝∠CBE， ∴∠A＝∠ABE， ∴AE＝BE＝4， 故选：C． 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB边的中点，E是BC边的中点，若AD＝5，DE＝3，则BC的长为（　　） A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】 根据三角形中位线定理和勾股定理即可得到结论． ∵D是AB边的中点，AD＝5， ∴AB＝2AD＝10， ∵E是BC边的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AC＝2DE＝6， ∵∠C＝90°， ∴BC＝＝＝8， 故选：C． 5.如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】B 【解析】 由三角形的中位线定理得到EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出DE＝3，可得EF＝4，即可求出BC的长． ∵EF是△ABC的中位线，AE＝3， ∴EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3， ∴∠EDB＝∠DBC， ∵BD平分∠EBC， ∴∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴ED＝BE＝3， ∵DF＝1， ∴EF＝ED+DF＝3+1＝4， ∴BC＝8， 故选：B． 6.如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点．若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B的度数为　(　　) A.20°     B.45° C.65°     D.70° 【答案】D 【解析】∵M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点， ∴MN∥BC，∴∠C＝∠ANM＝45°， ∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－65°－45°＝70°. 7.如图，在一次数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为，则，两 点 的 距 离 是（   ）m A.12 B.14 C.16 D.24 【答案】C 【解析】 本题考查三角形中位线定理，利用三角形中位线定理解决问题即可． ，， 是的中位线， ， ． ． 故选：C． 8.如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③∠APB的大小；④直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是（　　） A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 【答案】B 【解析】 根据三角形中位线定理判断即可． ∵点M，N分别为PA，PB的中点， ∴MN＝AB，MN∥AB， ∴线段MN的长不变，直线MN，AB之间的距离，故①④符合题意， PA、PB的长随点P的运动而改变，∠APB的大小随点P的运动而改变，故②③不符合题意； 故选：B． 9.如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（　　） A.6 B. C.7 D.8 【答案】C 【解析】 延长BD交AC于F，可证得△ABD≌△AFD，从而AF＝AB＝4，可证得DE是△BCF的中位线，从而得出CF的值，进一步可得出结果． 如图， 延长BD，交AC于F， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠ADF＝90°， 在△ABD和△AFD中， ， ∴△ABD≌△AFD（ASA）， ∴BD＝DF，AF＝AB＝4， ∵BE＝CE， ∴CF＝2DE＝3， ∴AC＝AF+CF＝4+3＝7， 故答案为：C． 10.如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A 【解析】 延长BE交AC于F，证明△AEF≌△AEB，根据全等三角形的性质得到AF＝AB＝10，BE＝EF，根据三角形中位线定理计算即可． 延长BE交AC于F， ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠AEF＝90°， 在△AEF和△AEB中， ， ∴△AEF≌△AEB（ASA） ∴AF＝AB＝10，BE＝EF， ∴CF＝AC﹣AF＝8， ∵BE＝EF，BD＝DC， ∴DE＝CF＝4， 故选：A． 11.如图，若AB＝6，，M是BC的中点，AM＝4，则CM的值为（　　） A. B. C. D.3 【答案】A 【解析】 取AB的中点D，连接DM，过点E作EM⊥AB交AB于点E，首先根据三角形中位线的性质得到，，设DE＝x，则AE＝AD+ED＝x+3，然后根据勾股定理求解即可． 如图所示，取AB的中点D，连接DM，过点E作EM⊥AB交AB于点E， ∵M是BC的中点，D是AB的中点，，AB＝6， ∴，， ∴设DE＝x，则AE＝AD+ED＝x+3， ∵EM⊥AB， ∴DM2﹣DE2＝AM2﹣AE2＝EM2， ∴， 解得， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 12.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，点E为BC的中点，连结AE．以BC为边向左作△BCD，且∠BCD＝90°，BD∥AC．连结DE，记△CDE和△ABE的面积分别为S1和S2，则的最大值是（　　） A.4 B.6 C.4 D.8 【答案】D 【解析】 延长CA到点F，使AF＝AC，连接BF，可以得出AE为△BCF的中位线，于是有AE∥BF，AE＝，由等腰三角形三线合一得出AE⊥BC，即可证得AE∥CD，于是推出BF∥CD，结合BD∥AC可得到四边形BDCF是平行四边形，从而得出CD与AE的数量关系，再根据三角形面积公式分别计算△CDE和△ABE的面积，结合完全平方公式及勾股定理即可得出结果． 延长CA到点F，使AF＝AC，连接BF， ∵点E为BC的中点， ∴AE为△BCF的中位线， ∴AE∥BF，AE＝， ∵AB＝AC＝4，点E为BC的中点， ∴AE⊥BC，BE＝CE， ∵∠BCD＝90°， ∴AE∥CD， ∴BF∥CD， ∵BD∥AC， ∴四边形BDCF是平行四边形， ∴CD＝BF， 即CD＝2AE， ∴，， ∴＝＝AE•CE， ∵AE⊥BC，AB＝AC＝4， ∴AE2+BE2＝AB2＝16， ∵（AE﹣BE）2≥0， ∴AE2﹣2AE•BE+BE2≥0， 即AE2+BE2≥2AE•BE， ∴16≥2AE•BE， ∴AE•BE≤8， 即的最大值是8， 故选：D． 二、填空题 13.已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于       ． 【答案】 ． 【解析】 过D点作DF∥BE，则DF＝BE，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则AC＝AF． 过D点作DF∥BE， ∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE， ∴F为EC中点，AD⊥DF， ∵AD＝BE＝6，则DF＝3，AF＝＝3， ∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE， ∴△ABG≌△DBG， ∴AG=DG， ∴G为AD中点， ∴E为AF中点， ∴AC＝AF＝×3＝． 故答案为：． 14.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直,E,F分别是AD,BC的中点,连结EF,已知BD=8,AC=10。 (1)四边形ABCD的面积为　　　　。 (2)EF的长为　　　　。 【答案】 (1)40　(2) 【解析】 (1)∵AC⊥BD,BD=8,AC=10, ∴S四边形ABCD=AC·BD=×10×8=40。 (2)如答图,取CD的中点H,连结EH,FH。 ∵E,H分别是AD,DC的中点, ∴EH是△ADC的中位线, ∴EH=AC=5,EH∥AC。 同理可得:FH=BD=4,FH∥BD。 ∵AC⊥BD,∴EH⊥FH, ∴EF===。 15.如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD边的中点，∠BCD＝90°，BC＝6，EF＝5，则CD的长为 　 　． 【答案】 8． 【解析】 连接BD，根据三角形中位线定理求出BD，再根据勾股定理计算，得到答案． 连接BD， ∵点E、F分别是AB、AD边的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴BD＝2EF， ∵EF＝5， ∴BD＝10， 由勾股定理得：CD＝＝＝8， 故答案为：8． 16.如图，E，F，G为△ABC三边的中点． （1）若BC＝6，则EF＝　 　； （2）若△ABC的周长为18，则△EFG的周长为 　 　； （3）若△EFG的面积为4，则△ABC的面积为 　 　． 【答案】 （1）3； （2）9； （3）16． 【解析】 （1）根据三角形中位线定理解答； （2）根据三角形中位线定理得到EF＝BC，GE＝AC，GF＝AB，计算即可； （3）根据三角形中位线定理得到EF＝BC，EF∥BC，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． （1）∵E，F分别为AB、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝BC， ∵BC＝6， ∴EF＝3， 故答案为：3； （2）∵△ABC的周长为18， ∴AB+AC+BC＝18， ∵E，F，G为△ABC三边的中点， ∴EF、GE、GF是△ABC的中位线， ∴EF＝BC，GE＝AC，GF＝AB， ∴△EFG的周长＝EF+GE+GF＝（AB+AC+BC）＝9， 故答案为：9； （3）∵E，F，G为△ABC三边的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴S△EBG＝S△FCG＝S△EFG＝4， 同理可得：S△AEF＝S△EFG＝4， ∴S△ABC＝16， 故答案为：16． 17.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠ACD＝90°，E是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF⊥AF，AB＝5，BC＝13，则EF的长为       　. 【答案】 【解析】如答图，延长AB，CF相交于点H. 答图 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°， ∴AC＝＝12. ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAF＝45°. 在△AFH和△AFC中， ∵ ∴△AFH≌△AFC(ASA)， ∴AH＝AC＝12，HF＝CF， ∴BH＝AH－AB＝7. ∵E是BC的中点，HF＝CF， ∴EF＝BH＝. 三、解答题 18.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF． 【答案】 证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP， ∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点， ∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线， ∴PF＝AD，PF∥AD，EP＝BC，EP∥BC， ∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP， ∵AD＝BC， ∴PE＝PF， ∴∠PEF＝∠PFE， ∴∠AHF＝∠BGF． 19.如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，DE＝CF．求证：DC∥EF． 【答案】 证明：∵点D、E分别为AB、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∵DE＝CF， ∴四边形CDEF为平行四边形， ∴DC∥EF． 【【解析】 20.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点.若AC＝4 cm，BD＝6 cm，求EF的长. 【答案】解：如答图，取BC的中点H，连结EH，FH. 答图 ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴EH是△ABC的中位线，FH是△BCD的中位线， ∴EH＝AC＝2cm，FH＝BD＝3cm，EH∥AC，FH∥BD， ∴∠EHF＝90°， ∴EF＝cm. 21.如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，E，F，G，H分别是线段AB，AC，BD，CD的中点． (1)求∠BDC的度数． (2)连结EG，EF，HG，HF，求证：四边形EGHF是平行四边形． 【答案】解：(1)∵∠BAC＝70°， ∴∠ABC＋∠ACB＝110°. ∵BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB， ∴∠DBC＋∠DCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝55°， ∴∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝125°. (2)∵E，F，G，H分别是AB，AC，BD，CD的中点， ∴EF，GH分别为△ABC和△DBC的中位线， ∴EF∥BC，GH∥BC，且EF＝BC，GH＝BC， ∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EGHF是平行四边形． 22.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点. (1)若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长. (2)若∠BDC－∠ABD＝90°，求证：AB2＋CD2＝4EF2. 【答案】解：(1)如答图，取BD的中点P，连结EP，FP. 答图 ∵E，F分别是AD，BC的中点，AB＝10，CD＝24， ∴PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线， ∴PE∥AB，且PE＝AB＝5，PF∥CD，且PF＝CD＝12， ∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°－∠BDC＝180°－120°＝60°， ∴∠EPF＝∠EPD＋∠DPF＝90°. 在Rt△EPF中，由勾股定理，得EF＝＝13， 即EF的长为13. (2)由(1)可知，PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线， ∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD，且PF＝CD， ∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°－∠BDC. ∵∠BDC－∠ABD＝90°， ∴∠BDC＝90°＋∠ABD， ∴∠EPF＝∠EPD＋∠DPF＝∠ABD＋180°－∠BDC＝∠ABD＋180°－(90°＋∠ABD)＝90°， ∴PE2＋PF2＝2＋2＝EF2， ∴AB2＋CD2＝4EF2. 学科网（北京）股份有限公司 $