1.2 二次根式的性质 暑假巩固 2024—2025学年浙教版数学八年级下册

浙教版八年级下册 1.2 二次根式的性质 暑假巩固 一、利用二次根式的性质进行简单计算 1.下面的计算中，错误的是 （ ） A. B. C. D. 2.下列各式正确的是（　　） A. B. C. D. 3.下列四个等式：①；②（﹣）2＝16；③（）2＝4；④．正确的是（　　） A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 4.化简        ． 5.已知， ，且ab<0，则=           . 6.先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (2)先化简，再求值：，其中； 7.如图，P是直角坐标系上一点． (1)用二次根式表示点P到原点O的距离． (2)若，求点P到原点O的距离． 二、利用二次根式的性质化简、求值 1.若，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 2.把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（  ） A. B. C. D. 3.若，则化简的结果是（   ） A. B.1 C. D. 4.三角形的三边长分别为3、m、5，化简       ． 5.若xy＜0，化简：=        6.计算 (1)已知实数，满足，求的值． (2)若，满足，化简： 7.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 三、数轴与二次根式的化简的综合 1.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A. B. C. D.0 2.如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（    ） A. B. C. D. 3.实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A. B. C. D. 4.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：      ． 5.实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为         6.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 7.实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 四、积的算术平方根与商的算术平方根的性质 1.（18-19八年级下·浙江·课后作业）下列化简结果错误的是(      ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 3.已知，则a的取值范围是(      ) A.a＞0 B.a＜1 C.0＜a≤1 D.0＜a＜1 4.化简：          ． 5.若是整数，则正整数n的最小值为      ． 6.在△ABC中，∠C=90°， （1）若AC= cm, BC= cm, 求AB的长； （2）AB=8cm，BC=1cm，求AC的长. 7.如图，△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始沿BA边以1 cm/s的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动．求经过多少秒后，△BPQ的面积为35 cm2 ，此时P，Q两点间的距离是多少厘米． 五、最简二次根式的识别 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2.在二次根式①②  ③  ④中，最简二次根式是（  ） A.①② B.③④ C.①③ D.①④ 3.下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4.二次根式因为不符合最简二次根式的条件：              ，所以它不是最简二次根式． 5.下列根式：①；②3；③；④；⑤；⑥.其中最简二次根式有        .(填序号) 6.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． （1），（2），（3），（4），（5）． 7.判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ；；． 六、已知最简二次根式求字母的值 1.若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A.0 B.2 C.4 D.6 2.最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A. B. C. D. 3.如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（　　） A.4 B. C. D. 4.已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为      ． 5.化简后与最简二次根式的被开方数相等，则         . 6.已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，求、及的值. 7.已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值． 七、复合型二次根式化简以及规律探究 1.化简为（　　） A. B. C. D.1 2.已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A.有一组 B.有二组 C.多于二组 D.不存在 3.已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A. B. C.2 D.4 4.化简：       ． 5.计算的结果是         ． 6.先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 7.先阅读下列材料然后作答． 浙教版八年级下册 1.2 二次根式的性质 暑假巩固（参考答案） 一、利用二次根式的性质进行简单计算 1.下面的计算中，错误的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A、，本选项错误，符合题意；B、C、D均正确，不符合题意； 故选：A． 2.下列各式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A选项：正确； B选项：，故是错误的； C选项：，故是错误的； D选项：被开方数为负数，无意义，故是错误的； 故选A． 3.下列四个等式：①；②（﹣）2＝16；③（）2＝4；④．正确的是（　　） A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 【答案】D 【解析】解：①＝＝4，正确； ②＝(﹣1)2×＝1×4＝4≠16，不正确； ③＝4符合二次根式的意义，正确； ④＝＝4≠﹣4，不正确. ∴①③正确. 故选：D. 4.化简        ． 【答案】 【解析】， 故答案为：． 5.已知， ，且ab<0，则=           . 【答案】±1 【解析】|a|=3， =2，且ab<0， a=3时b=−2，a=−3时b=2， a+b=3+(−2)=1， a+b=(−3)+2=−1， 故答案为：±1. 6.先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (2)先化简，再求值：，其中； 【答案】解：小亮；； （2）原式， ∵， ∴原式． 7.如图，P是直角坐标系上一点． (1)用二次根式表示点P到原点O的距离． (2)若，求点P到原点O的距离． 【答案】解：（1） 连接，过点作轴，垂足为， ， 则 点P到原点O的距离为； （2）当， ． 二、利用二次根式的性质化简、求值 1.若，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了二次根式的性质与化简和绝对值的意义，根据二次根式的性质化简，则，根据绝对值的意义得，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简和绝对值的意义． ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2.把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】（a-1）=-（1-a）=． 故选A． 3.若，则化简的结果是（   ） A. B.1 C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了化简二次根式，先根据绝对值的规律判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简即可． ∵ ∴， 则 ∴ 故选：C． 4.三角形的三边长分别为3、m、5，化简       ． 【答案】2m-10 【解析】根据三角形的三边关系可知，，根据m的取值范围对代数式进行化简． 由题意可知： ∴原式=m-2-8+m=2m-10． 故答案为2m-10． 5.若xy＜0，化简：=        【答案】﹣x2 【解析】根据二次根式的有意义的条件求出y＞0，求出x＜0，再根据二次根式的性质和绝对值开出即可． 解：要使有意义， 必须x2y5≥0， 即y≥0， ∵xy＜0， ∴y＞0，x＜0， ∴有意 =|xy2| =﹣xy2， 故答案为﹣x2． 6.计算 (1)已知实数，满足，求的值． (2)若，满足，化简： 【答案】解：（1）， ， ，， ，， 解得：，， ， 的值为； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【答案】解：（1）， 隐含条件，解得：， ， 原式； （2）由数轴可知，，， ， ； （3）解：由三角形的三边关系可知，，， ，， ． 三、数轴与二次根式的化简的综合 1.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A. B. C. D.0 【答案】B 【解析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 解：由数轴知：， ∴， ∴ =， 故选：B． 2.如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查二次根式的性质化简，根据数轴判断式子的正负，根据数轴可知，然后根据二次根式的性质即可求出答案． 解：根据数轴可知， ， 原式 故选：B． 3.实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据实数在数轴上的位置，得到，判断，再由二次根式性质化简，去绝对值后，运用整式加减运算法则求解即可得到答案． 解：由实数在数轴上的位置，如图所示： ， ， ， 故选：D． 4.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：      ． 【答案】/ 【解析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，先判定，再化简二次根式即可． 解：由数轴可得：， ∴． 故答案为：． 5.实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为         【答案】 【解析】本题考查二次根式的化简，先根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 解：由图可知：，， ∴， ∴原式； 故答案为：． 6.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【答案】解：（1）， 隐含条件，解得：， ， 原式； （2）由数轴可知，，， ， ； （3）解：由三角形的三边关系可知，，， ，， ． 7.实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】解：由实数，在数轴上的位置，得： ，，， 原式 ． 四、积的算术平方根与商的算术平方根的性质 1.（18-19八年级下·浙江·课后作业）下列化简结果错误的是(      ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据二次根式的运算公式化简即可. A.，正确； B.，正确； C.，故错误； D.，正确； 故选C. 2.下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据二次根式的性质，逐项判断即可求解． 解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、和不是同类二次根式，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 3.已知，则a的取值范围是(      ) A.a＞0 B.a＜1 C.0＜a≤1 D.0＜a＜1 【答案】C 【解析】根据二次根式的性质解答，注意a是分母，不能为0. 依题意得, ∴0a1，故选C. 4.化简：          ． 【答案】 【解析】根据二次根式的性质进行化简即可． 解：； 故答案为：． 5.若是整数，则正整数n的最小值为      ． 【答案】5 【解析】根据n是正整数，则也是正整数，则20n一定是一个完全平方数，首先把20n分解因数，确定20n是完全平方数时，正整数n的最小值即可． ∵， ∴正整数n的最小值为5． 故答案为：5． 6.在△ABC中，∠C=90°， （1）若AC= cm, BC= cm, 求AB的长； （2）AB=8cm，BC=1cm，求AC的长. 【答案】解：AB= = = =3cm； AC= = = =3. 7.如图，△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始沿BA边以1 cm/s的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动．求经过多少秒后，△BPQ的面积为35 cm2 ，此时P，Q两点间的距离是多少厘米． 【答案】解：设经过t秒后△BPQ的面积为35 cm2，则BP＝t cm，BQ＝2t cm， ∴S△BPQ=BPBQ=t·2t＝35， 解得t＝或t＝－ (负根舍去)． ∴PQ＝ (cm)． 故经过秒后，△BPQ的面积为35cm2，此时P，Q两点间的距离是cm. 五、最简二次根式的识别 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． A、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； D、属于最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D 2.在二次根式①②  ③  ④中，最简二次根式是（  ） A.①② B.③④ C.①③ D.①④ 【答案】C 【解析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． ①是最简二次根式； ②，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③是最简二次根式； ④，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． ①③是最简二次根式． 故选C． 3.下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． A、是最简二次根式，故选项符合题意； B、，选项不是最简二次根式，故选项不符合题意； C、，选项不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，选项不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选：A． 4.二次根式因为不符合最简二次根式的条件：              ，所以它不是最简二次根式． 【答案】被开方数不含分母 【解析】最简二次根式：被开方数不能含有分母，被开方数不能含有开得尽方的因数或因式，从而可得答案． 因为的被开方数含分母， 所以它不是最简二次根式． 故答案为：被开方数不含分母． 5.下列根式：①；②3；③；④；⑤；⑥.其中最简二次根式有        .(填序号) 【答案】①⑥ 【解析】根据最简二次根式的定义，即可判断. ①为最简二次根式；②3=6，不是最简二次根式；③；④；⑤中含有分数，不是最简二次根式；⑥是最简二次根式；故填①⑥ 6.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． （1），（2），（3），（4），（5）． 【答案】解：（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式． （2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； （3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式； （4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式； （5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 7.判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ；；． 【答案】解：根据最简二次根式的定义分别进行判断即可． ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式． 六、已知最简二次根式求字母的值 1.若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A.0 B.2 C.4 D.6 【答案】D 【解析】先化简，然后依据是正整数可得到问题的答案． ， ∵是正整数， ∴为完全平方数， ∴的最小值是． 故选：D. 2.最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． ∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 3.如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（　　） A.4 B. C. D. 【答案】C 【解析】本题重点考查了矩形的性质，勾股定理，关键是由已知和为的中点得出为的中垂线． 由已知和为的中点，可得为的中垂线，连接可得，分别在和中由勾股定理求出和，最后在中由勾股定理求出即可． 解：连接， 四边形是矩形， ， ∵且为的中点， ，， 在中， ， 在中， ． 在中． 故选：C． 4.已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为      ． 【答案】68 【解析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． ∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 5.化简后与最简二次根式的被开方数相等，则         . 【答案】5 【解析】本题先将化简为最简二次根式，继而利用题干信息“被开方数相同”列方程求解． ，其中被开方数为6；的被开方数为， 故有：，则． 故答案为：5． 6.已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，求、及的值. 【答案】解：∵，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式， ∴. ∴，则，，且. ∴，则. 故. 7.已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值． 【答案】解：∵和是相等的最简二次根式， ∴． 解得，， ∴的值是，的值是； ． 七、复合型二次根式化简以及规律探究 1.化简为（　　） A. B. C. D.1 【答案】C 【解析】将根号里面的式子变形成完全平方式，再开平方化简求值 解：＝. 故选C. 2.已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A.有一组 B.有二组 C.多于二组 D.不存在 【答案】A 【解析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 解：解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 3.已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A. B. C.2 D.4 【答案】D 【解析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 解：解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 4.化简：       ． 【答案】 【解析】利用完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可． 解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5.计算的结果是         ． 【答案】 【解析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 解： ； 故答案为：． 6.先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】解：（1）； （2）； （3） ． 7.先阅读下列材料然后作答． 【答案】解：（1），这里，， 由于，，即，， ； （2）在中，，，， ， 即 ，， ，， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$