5.5 三元一次方程组（课件） -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三元一次方程组，涵盖定义、解法及应用。通过复习二元一次方程组概念与消元法，结合《九章算术》古题引入新知，搭建从二元到三元的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以消元转化思想为主线，通过基础夯实、能力提升、综合应用分层练习，结合古题与行程、数字等实际问题，培养学生推理能力与模型意识。学生能提升运算与问题解决能力，教师可借助系统资源优化教学。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 5.5 三元一次方程组 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册5.5 三元一次方程组练习题 核心知识点回顾 含有三个未知数，并且每个方程中含未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组的核心思想依旧是消元：通过代入消元法或加减消元法，先将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”，逐步求解。标准解题步骤：1. 观察方程组系数特点，优先消去系数最简单的未知数；2. 组合两组方程，消去同一个未知数，得到二元一次方程组；3. 解二元一次方程组，求出两个未知数的值；4. 将数值回代原方程，求出第三个未知数；5. 规范写出方程组的解并检验。 一、基础夯实题（共3题，侧重消元基础步骤） 1. 判断下列方程组是否为三元一次方程组：$$\begin{cases} x+y+z=6 \\ x-y=1 \\ z=2 \end{cases}$$，并说明理由。 2. 观察方程组$$\begin{cases} x+y+z=10 \\ x+2y+z=14 \\ 2x+y-z=9 \end{cases}$$，说出最简便优先消去的未知数。 3. 解简单三元一次方程组：$$\begin{cases} x+y=3 \\ y+z=5 \\ x+z=4 \end{cases}$$ 二、能力提升题（共2题，侧重常规消元计算） 1. 解方程组：$$\begin{cases} x+y+z=12 \\ x+2y-z=6 \\ 3x-y+z=10 \end{cases}$$ 2. 已知三元一次方程组$$\begin{cases} 2x+y+z=7 \\ x+2y+z=8 \\ x+y+2z=9 \end{cases}$$，求 $$x、y、z$$ 的值。 三、综合应用题（1题，实际应用考点） 有甲、乙、丙三个数，三个数的和为36。甲数加乙数比丙数大12，甲数比乙数大4，求甲、乙、丙三个数分别是多少？ 参考答案与解析 一、基础夯实 1. 是三元一次方程组。理由：方程组含有x、y、z三个未知数，所有含未知数的项次数均为1，且由三个一次方程组成，符合定义。 2. 优先消去z，前两个方程z的系数均为1，相减即可直接消元，计算最简便。 3. 三式相加得$$2(x+y+z)=12$$，即$$x+y+z=6$$，分别与原式相减，解得$$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \\ z=3 \end{cases}$$。 二、能力提升 1. 由①+②消去z得$$2x+3y=18$$，②+③消去z得$$4x+y=16$$，联立二元方程组解得$$x=3，y=4$$，回代得$$z=5$$。方程组的解为$$\begin{cases} x=3 \\ y=4 \\ z=5 \end{cases}$$。 2. 三式相加化简得$$x+y+z=6$$，分别与原式相减，解得$$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \\ z=3 \end{cases}$$。 三、综合应用 设甲数为x，乙数为y，丙数为z，列方程组：$$\begin{cases} x+y+z=36 \\ x+y-z=12 \\ x-y=4 \end{cases}$$。将前两式相加得$$x+y=24$$，代入得$$z=12$$，联立$$x-y=4$$，解得$$x=14，y=10$$。答：甲数14，乙数10，丙数12。 易错总结：消元时必须始终消去同一个未知数，避免混乱；方程加减时常数项易漏算、符号出错；求出未知数后需全部回代检验，保证所有方程均成立。 掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法. 在学习三元一次方程组的过程中，感受消元转化的思想. 通过探索发现解三元一次方程组的基本思想仍是“消元”进一步体会数学的化归思想. 复习导入 1.含有______未知数，并且_________________的次数是一次的_______方程叫作二元一次方程. 2.共含有____________的两个___________所组成的一组方程，叫作二元一次方程组. 3.二元一次方程组中各个方程的__________叫作这个二元一次方程组的解. 两个 一次方程 所含未知数的项 整式 两个未知数 公共解 4. 解二元一次方程组有哪几种方法？ 代入消元法和加减消元法 消元 5. 解二元一次方程组的基本思路是什么？ 二元一次方程组 一元一次方程 代入 加减 化二元为一元 化归转化思想 题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗. 上、中、下禾每束各可得米多少斗？ 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗. 问：上、中、下禾实一秉各几何？（选自《九章算术》） 如何解决这个问题呢？ 知识点一 三元一次方程（组）的概念 新课探究 题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗. 上、中、下禾每束各可得米多少斗？ 分析：设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗. 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 观察列出的三个方程，你有什么发现？ ②含有三个未知数 ③未知数的次数都是1 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 ①都是整式 你能根据二元一次方程的定义，试着给上述三个方程下定义吗？ 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程. 那么方程组 应该叫作什么方程组？ 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 ① ② ③ 三元一次方程组： 三元一次方程组必须满足的三个条件： 共含有三个不相同的未知数. 未知数的项的次数都是1. 共有三个一次方程. 共含有三个未知数的三个一次方程所组成一组方程. < 针对训练 > 下面方程组为三元一次方程组的是（ ） C 知识点二 三元一次方程组的解法 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解. 怎么解三元一次方程组？ 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 ① ② ③ 能不能像解二元一次方程组一样“消元”，把“三元”化为“二元”呢？ 解方程组： 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 ① ② ③ 解：由①得 z = 39 - 3x - 2y . ④ 把④分别代入②③并化简，得 x - y = 5 ⑤ 8x + 4y = 91 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 x = y = 把 x = ， y = 代入④，得 z = 经检验， x = ， y = ，z = 满足原方程组. 所以原方程组的解是 y = z = x = 检验时可以口算或在草稿纸上演算，以后可以不写. “三元”化为“二元” （1）解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数 x（或 y），从而得到方程组的解吗？ （2）你还有其他方法吗？与同伴交流各自的解法，并思考不同方法之间的区别和联系. 尝试·交流 回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过程，说说求解三元一次方程组的基本思路，并与同伴进行交流. 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”，再化为“一元”. 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 思考·交流 消元 消元 知识点三 用三元一次方程组求解实际问题 小明从家到学校的路程为3.3 km，其中有一段上坡路、平路和下坡路.如果保持上坡路每小时行3 km，平路每小时行4 km，下坡路每小时行5 km，那么小明从家到学校要1 h，从学校到家要44 min.小明从家到学校经过的上坡路、平路、下坡路各是多少千米? 上坡路 + 平路 + 下坡路 = 3.3km 从家到学校：上坡时间 + 平路时间 + 下坡时间 = 1h 从学校到家：上坡时间 + 平路时间 + 下坡时间 = h 等量关系 解：设小明从家到学校经过的上坡路是 x km，平路是 y km，下坡路是 z km. x + y + z = 3.3， 根据题意，得 解得 答：小明从家到学校经过的上坡路是2.25 km，平路是0.8 km，下坡路是0.25 km. 1. 已知 |x - 6y| + 2(4y - 1)2 + |3x - 6z| = 0，则 x + y + z = . 2. 解方程组 要使运算简便，消元应选（ ） A. 先消x B. 先消y C. 先消z D. 先消常数项 2x-y+3z=3， -4x+y+2z=11， 5x+y+7z=1. B 随堂演练 3. 某次知识竞赛共出了30个试题，评分标准如下: 答对一题加4分，答错一题扣1分，不答记0分，已知小刚同学不答的题比答错的多3题，他的总分为81分，则他答对了（ ） A.19题 B.20题 C.21题 D.22题 C 4. 解方程组： x+y+z = 26， x-y = 1， 2x-y+z = 18. x = 10 ， y = 9 ， z = 7 . 【选自教材P136 随堂练习 第1题】 5. 一个三位数，各数位上的数字之和是14，个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2. 求这个三位数. 【选自教材P136 随堂练习 第2题】 等量关系 列方程组求解 个位数字 + 十位数字 + 百位数字 = 14 十位数字 = 个位数字 + 百位数字 7×百位数字 - 2 = 十位数字 + 个位数字 分析： 解：设个位数字是 x，十位数字是 y，百位数字是 z， x+y+z=14 ， ① x=5, 由题意得 x+z=y ， ② 解得 y=7, 7z=x+y+2 ， ③ z=2. 所以，这个三位数是275. 间接设元法 不直接设要求的三位数，而是分别设百位、十位、个位上的数字为未知数. 1. 解下列方程组： 2x – y + 2z = 8， x + y + z = 10， （1） y + 2z = -2， （2） 2x + 3y + z = 17， 3x + y - 4z = 1； 3x + 2y - z = 8. x = 2 ， y = -3 ， z = . 【选自教材P137 习题5.5 第1题】 x = 3 ， y = 2 ， z = 5 . 随堂练习 x + y = 15， y + z = 5， z + x = 20. 【选自教材P138 习题5.5 第2题】 2. 用不同的方法解方程组： 再对这些方法进行比较. x = 15 ， y = 0 ， z = 5 . 解： 方法略. 随堂练习 3.在 2022 年北京冬奥会上，中国队共获得 15 枚奖牌，其中金牌比银牌多 125%，银牌比铜牌多 100%. 中国队获得的金、银、铜牌各有多少枚？ 【选自教材P138 习题5.5 第3题】 解：设中国队获得的金、银、铜牌各有 x ，y，z 枚， 依题意可列方程组，得 所以，中国队获得金牌 9 枚、银牌 4 枚、铜牌 2 枚. 解得 随堂练习 4.一个三位数，十位数字比个位数字大2，百位数字是十位数字的2倍，如果把百位数字与个位数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数小495. 求原来的三位数. 【选自教材P138 习题5.5 第4题】 解：设原来的三位数的个位、十位和百位数字分别为x ，y，z， 依题意可列方程组，得 所以，原来的三位数是631. 解得 整理方程组，得 随堂练习 5.今有鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一，凡百钱买鸡百只. 问：鸡翁母雏各几何？（选自《张丘建算经》） 题目大意：1只公鸡价值5钱，1只母鸡价值3钱，3只小鸡合计价值1钱. 购买100只鸡总共花了100钱，则公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 【选自教材P138 习题5.5 第5题】 随堂练习 解：设公鸡、母鸡、小鸡各买了 x ，y，z 只. 根据题意，得 解得②×3－①，化简得7x+4y=100，即y=25 - x. 因为x，y是非负整数，所以x只能取0，4，8，12. 所以 所以，公鸡、母鸡、小鸡各买了0只、25只、75只或4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只. 随堂练习 知识点1 三元一次方程组的相关概念 1.下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　) A.　　 B. C.　　 D. 返回 D 基础提优题 2.若(a＋1)x＋5yb＋1＋2z2－｜a｜＝10是一个三元一次方程，则a＝　　　，b＝　　　. 返回 1 0 基础提优题 3. 请写出一个以为解的三元一次方程：　　　　　　　 　　. 返回 (答案不唯一)2x＋y－z＝8 基础提优题 知识点2 三元一次方程组的解法 4.解方程组最简便的消元方法是(　　) A.先消去x　　 B.先消去y C.先消去z　　 D.先消去常数项 返回 B 基础提优题 5.若方程组的解满足k＝a＋b＋c，则点P (k＋2，1－2k)在第　　　象限. 返回 四 基础提优题 【点拨】①＋②＋③，得a＋b＋b＋c＋c＋a＝3＋2＋1，整理得2(a＋b＋c)＝6，所以a＋b＋c＝3.所以k＝3.所以P(5，－5).所以点P(k＋2，1－2k)在第四象限. 返回 基础提优题 6. 解方程组： (1) 返回 【解】将①代入②，得3(y＋)＋y＝18，整理得4y＋3＝18，④ 综合应用题 将①代入③，得y＋z＋y＋z＝10，整理得y＋z＝5，⑤ ⑤×3，得3y＋3z＝15，⑥　④－⑥，得y＝3. 把y＝3代入⑤，得3＋z＝5，解得z＝2. 把y＝3，z＝2代入①，得x＝5. 所以原方程组的解为 返回 综合应用题 (2) 返回 【解】①＋②，得3x－y＝1.④ 综合应用题 把④代入③，得1＋2＝－5，解得＝－3. 把＝－3分别代入①②， 得 解得 所以原方程组的解为 返回 综合应用题 解三元一次方程组的基本思路： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 “代入”或“加减” “代入”或“加减” 课堂小结 $