精品解析：四川省彭州中学2025-2026学年高二下学期期末模拟考试数学试卷

2025-2026学年度四川省彭州中学高2024级高二下期末模拟考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：张义凌 注意事项：开考后，请先将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在试卷和答题卡的对应位置上.考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸一并交回. 考前寄语： 祝福你们考试成功，本试卷基本按照往届零诊规格设计，主要以基础题为主.也希望同学们在备考的时候以基础题为主，如果你们看最近几年新高考二卷，发现题目都不会很难，所以请放平心态！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则 A. −3 B. −2 C. 2 D. 3 3. 已知向量，，若，则=（ ） A. B. C. D. 12 4. 将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ） A. ，的最小值为 B. ，的最小值为 C. ，的最小值为 D. ，的最小值为 5. 四面体中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数．若函数有三个极值点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 有2个零点 10. 一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品，大小质地完全相同，若从中随机取出支，则与事件“取出支一等品和支二等品”互斥的事件有 （ ） A. 取出的支笔中，至少支一等品 B. 取出的支笔中，至多支二等品 C. 取出的支笔中，既有一等品也有二等品 D. 取出的支笔中，没有二等品 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线有3个公共点 B. 曲线与圆有4个公共点 C. 曲线所围成的图形的面积为： D. 若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知均为正实数且，则的最小值为__________． 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设，求数列的前项和． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 16. 已知函数，，函数在处有极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最值． 17. 如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图． 1若，证明：平面； 2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长． 18. 某企业准备购进新型机器以提高生产效益.根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值来衡量的，按质量指标值划分产品等级的标准如图表1. 图表1 质量指标值 或 或 等级 一等品 二等品 三等品 现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布直方图. （1）用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取6件，再从这6件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间的概率； （2）根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3： 图表3 产品等级 一等品 二等品 三等品 销售率 单件产品原售价 20元 15元 10元 未按原价售出的产品统一按原售价的全部售出 （产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值） 已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件： ①质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不低于300. ②单件产品平均利润不低于4元. 已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件. 19. 设A，B两点的坐标分别为，， 直线AP，BP相交于点P， 且它们的斜率之积为，设点P的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的标准方程； （2）若直线l过点， 与曲线E交于C，D两点， C在x轴上方， 直线AC，BD交于点M ， 直线AD，BC 交于点N. 记A，B到直线l的距离分别为 （i）证明：；（ii）求的面积最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度四川省彭州中学高2024级高二下期末模拟考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：张义凌 注意事项：开考后，请先将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在试卷和答题卡的对应位置上.考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸一并交回. 考前寄语： 祝福你们考试成功，本试卷基本按照往届零诊规格设计，主要以基础题为主.也希望同学们在备考的时候以基础题为主，如果你们看最近几年新高考二卷，发现题目都不会很难，所以请放平心态！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则 A. −3 B. −2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，由已知，得，解得，选A. 【考点】复数的概念及复数的乘法运算 【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性. 3. 已知向量，，若，则=（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，根据可得，结合数量积的坐标表示，即可求得答案. 【详解】由题意知向量，，， 则，而， 故，解得， 故选：B 4. 将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ） A. ，的最小值为 B. ，的最小值为 C. ，的最小值为 D. ，的最小值为 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，， 可得， 因为 位于函数的图象上 所以， 可得， s的最小值为，故选A. 【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换. 5. 四面体中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则计算即得. 【详解】因为，， 所以， 所以， 故选：B. 6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，表达出其他各边长，并得到，由勾股定理得到方程，求出，进而得到，求出答案. 【详解】由题可知，．由，得， 由椭圆的定义可得，， 设，则，， 所以，． 因为，所以，又，所以， 又，故， 即为直角三角形，， 在Rt中，由勾股定理得， ，解得或（舍去）， 在Rt中，由勾股定理得， 又，代入，整理得，所以离心率． 故选：B 7. 设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由求出的表达式，结合等差数列的定义可判断充分条件；举特例可判断必要条件，综合可得结论. 【详解】若，则；当时，. 所以，对任意的，，则，此时，数列是等差数列， 故“”能得出“是等差数列”； 若“是等差数列”，不妨设，则， 即“是等差数列”不能得出“”. 所以“”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 已知函数．若函数有三个极值点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点的条件，先可推出的关系，然后根据二次函数根的分布知识求出的范围，最后利用韦达定理求解. 【详解】，则， 由题意，得到，从而， 而， 故，令， 由， 于是有两个根，满足， 注意到二次函数开口向上，对称轴为，故， 解得，于是有两个根，满足，根据韦达定理，. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 有2个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出的解析式，再逐项判断即得. 【详解】定义在R上的奇函数，，当时，， 对于A，当时，，则，A错误； 对于B，当时，，则在上单调递增，B正确； 对于C，当时，的取值集合为；； 当时，的取值集合为，因此的值域为，C正确； 对于D，由，得， 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得，因此有2个零点，D正确. 故选：BCD 10. 一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品，大小质地完全相同，若从中随机取出支，则与事件“取出 支一等品和支二等品”互斥的事件有 （ ） A. 取出的支笔中，至少支一等品 B. 取出的支笔中，至多 支二等品 C. 取出的支笔中，既有一等品也有二等品 D. 取出的支笔中，没有二等品 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义逐项检验即可求解 【详解】对于A，事件“取出的支笔中，至少支一等品”包括支一等品和1支二等品，支一等品两种结果，与事件“取出 支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故A正确； 对于B，事件“取出的支笔中，至多 支二等品”包括支一等品和1支二等品，支一等品两种结果，与事件“取出 支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故B正确； 对于C，事件“取出的支笔中，既有一等品也有二等品”包括 支一等品和支二等品，支一等品和 支二等品两种结果，与事件“取出 支一等品和支二等品”可能同时发生，它们不是互斥事件，故C不正确； 对于D，事件“取出的支笔中，没有二等品”指支一等品，与事件“取出 支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故D正确； 故选：ABD. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线有3个公共点 B. 曲线与圆有4个公共点 C. 曲线所围成的图形的面积为： D. 若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，联立，根据解的个数即可判断；对于B，联立，可得，再代入，得，由判别式及韦达定理，可得此方程有4个不同的根，即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，当点或，满足题意，即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 所以，即， 解得或， 所以或或， 所以曲线与直线有3个公共点，故正确； 对于B，由，可得， 则有，平方得， 代入，得， 即， 因为，， 所以关于的方程有两个不同的正根， 从而得有四个不同的解， 所以曲线与圆有4个公共点，故正确； 对于C，， 如图所示： 曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 因为所在圆的圆心为，半径为2，, 在中，，， 所以， 所以扇形的面积, ， 所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故错误； 对于D，当与或重合时， 则，故正确. 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知均为正实数且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】因为， 所以， 因为， 当且仅当时取得等号，即， 又因为，所以联立，解得， 所以， 所以当时，有最小值，最小值为49， 故答案为:49. 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到，联立得到，故. 【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设，求数列的前项和． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解； （2）根据等比数列的基本量计算，等差等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解. 【小问1详解】 设等差首项和公差分别为， 由得， 所以； 【小问2详解】 设等比首项和公差分别为， 若选①②，由得； 由得， 所以公比为，故， 故， 故； 若选②③， 由可知公比不为1，所以， 由得， 所以， 故， 故； 若选①③，由可知公比不为1，所以， 由得； 所以， 故， 故. 16. 已知函数，，函数在处有极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最值． 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为． 【解析】 【分析】（1）因在处有极值，则，得， 后检验满足题意即可； （2）由（1），利用导数可求得在上的最值． 【小问1详解】 由题，. 因在处有极值，则. 又时，，， 因时，，时，. 得在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处有极大值，满足题意，故. 【小问2详解】 当时，令，得， 令，得. 故在上单调递增，在上单调递减. 则， . 故函数在上的最大值为，最小值. 17. 如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图． 1若，证明：平面； 2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）证明：由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，， 由已知得，，平面 又平面BDE，， 又，，平面 （2） . 【解析】 【分析】1由正方形的性质推导出，结合，可得平面，由此，再由，能证明平面；2过作交于点，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，可得，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出结果． 【详解】（1）略 2在图2中，，，，即面DEFC， 在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE， 由题意得，，由勾股定理可得，则，， 过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直， 以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， ． 设平面ACD的一个法向量为， 由得,取得， 设，则m，，，得 设CP与平面ACD所成的角为， ． 所以 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的应用，是中档题．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 18. 某企业准备购进新型机器以提高生产效益.根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值来衡量的，按质量指标值划分产品等级的标准如图表1. 图表1 质量指标值 或 或 等级 一等品 二等品 三等品 现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布直方图. （1）用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取6件，再从这6件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间的概率； （2）根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3： 图表3 产品等级 一等品 二等品 三等品 销售率 单件产品原售价 20元 15元 10元 未按原价售出的产品统一按原售价的全部售出 （产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值） 已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件： ①质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不低于300. ②单件产品平均利润不低于4元. 已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件. 【答案】（1） （2）该新型机器没有达到该企业的认购条件 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样求各层数量，利用列举法结合古典概型分析求解； （2）利用频率分布直方图的平均数计算方法和平均利润公式求解. 【小问1详解】 因为质量指标值在区间和内的频率分别为， 可知样本中质量指标值在区间有件，设为； 质量指标值在区间内有件，设为， 则这6件中任取2件，则样本空间 ， 可知， 记“这2件产品都取自区间”为事件A， 则，可知， 所以. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，产品质量指标值的平均数为 故满足认购条件①； 再分析该产品的单价平均利润值： 由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一､二､三等品的概率估计值分别为： ， 故2000件产品中，一､二､三等品的件数估计值为：件， 一等品的利润元， 二等品的利润元， 三等品的利润元， 则2000件产品的总利润为：元， 故2000件产品的单件平均利润的估计值为， 故不满足认购条件②. 综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件. 19. 设A，B两点的坐标分别为，， 直线AP，BP相交于点P， 且它们的斜率之积为，设点P的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的标准方程； （2）若直线l过点， 与曲线E交于C，D两点， C在x轴上方， 直线AC，BD交于点M ， 直线AD，BC 交于点N. 记A，B到直线l的距离分别为 （i）证明：；（ii）求的面积最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意建立方程，化简即得曲线E的标准方程； （2）（i）依题设直线l的方程为，由点到直线的距离公式求出，利用二次函数的性质即可得证；（ii）利用（i）中的结论，证明，再由题设条件得到，结合图形推出利用直线斜率定义推得同理,即得，求出即得，利用基本不等式可得的最小值，从而求得的面积最小值. 【小问1详解】 设， 依题意， 所以 即 故曲线E的标准方程为： . 【小问2详解】 （i） 设，依题意知，直线的斜率不为0， 故可设直线l的方程为，由消去， 可得 显然，且 因点到直线l的距离为 点到直线l的距离为 故 当且仅当时取等号 . （ii）由（i）可得： ， 设 由题意知， 则 由题意知 ，则，因， 故得即 即 , 因，可得解得即在直线 上， 同理可证：在直线 上， 故, 因为直线的方程为 直线的方程为 把代入可得： 则 当且仅当 时取等号，即的最小值为6. 所以的面积最小值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $