精品解析：2026年吉林省第二实验学校中考考前数学练习题

九年级数学练习题 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子计算的结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项：，，结果为正数，不符合要求． B选项：，，结果为正数，不符合要求． C选项：，，结果为负数，符合要求． D选项：，，结果为正数，不符合要求． 2. 如图，是由7个大小相同的小正方体搭建的几何体，该几何体的三视图相同的是（ ） A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图 C. 俯视图和左视图 D. 以上答案都对 【答案】A 【解析】 【分析】通过观察几何体，分别画出主视图、左视图和俯视图，比较即可得出答案． 【详解】解：∵该几何体的主视图是： 该几何体的左视图是： 该几何体的俯视图是： ∴该几何体的三视图相同的是主视图和左视图． 3. 如图，，点，分别是直线，上的点，且，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得直角，结合平行线角度关系求． 【详解】解：如图取点， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即． 4. 已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， 则． 5. 图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂， ∴该机器人拳头（点）到地面的高度为． 6. 已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 7. 将边长为6的正方形纸片按图1所示的方式折叠，可将其分成图2所示的①，②，③三个区域，其中③号区域（阴影）的面积为（ ） A. B. C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠过程确定折痕为正方形对角线及线段（N为中点），利用相似三角形性质求出点P到的距离，通过面积差法求解阴影部分面积． 【详解】解：如图，设正方形，边长为6，N为中点，P为与交点 ，连接，过点分别作、，垂足分别为点、点， 四边形是正方形 ， 、、， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由图可知，阴影部分面积为． 8. 如图，点A，B依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F，若，阴影部分面积为12，则k的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，正确理解反比例函数中k的几何意义得到四边形的面积都是k是解题的关键． 延长交y轴于H，根据题意得四边形都是矩形，利用比例系数的几何意义得到四边形的面积都是k，由得到四边形的面积为，列得，即可求出k． 【详解】解：延长交y轴于H， ∵，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F， ∴，， ∴四边形都是矩形， 同理得四边形是矩形， ∵点A，依次在反比例函数（常数，）的图象上， ∴四边形的面积都是k， ∵， ∴四边形的面积为， ∵阴影部分面积为12， ∴， 解得， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若a是无理数，且，则a的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】先计算和的平方，再找出被开方数介于两个平方数之间的开方开不尽的数，即可得到符合要求的无理数. 【详解】解：，， ，， 是无理数，且，即， 的值可以是（答案不唯一）. 10. 不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的解法，直接解不等式即可．掌握不等式的解法是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的平均分相同，成绩分布如图，则方差_________（填>、<、=）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据方差用来衡量数据波动大小，数据越分散，方差越大；数据越集中，方差越小，即可解答； 【详解】解：∵甲乙平均分相同，从点状图可见，甲的成绩分布更分散，乙的成绩分布更集中在均值附近． ∴甲的方差大于乙的方差，即． 12. 如图，在中，，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点，连接，则阴影部分的周长为________． 【答案】24 【解析】 【分析】先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ， 阴影部分的周长为： ． 13. 若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小． 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． 14. 如图， ，以的半径为边作矩形 ，且点B、C均在外．点B关于直线 的对称点为D，点D落在上，连接 ， ， ，与交于点E．给出下面四个结论： ① ；②弧的长度为；③；④的面积为． 上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，可得  ， ， ，结合点  在 上可得 ，进而推导出 和 的形状及角度关系，求出 ，从而对四个结论逐一进行判断． 【详解】解：四边形 是矩形，   ， ，， ，   ．  点 关于直线 的对称点为 ，  ，  ，，，，．  结论①正确；  点 在 上，  ．  ，  ． 设  ，则 ， ．  ．  ．  ． 在中， ，  ． ∵ ， ，  ， 解得 ．  ，． ．  弧 的长度为 ．  结论②正确； 在  中， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴结论③错； ∵， ∴是等边三角形， 的面积为， ∴结论④正确， 综上，正确的结论有①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 当时， 原式， ， ． 16. 甲、乙两名同学参与长春城市志愿活动，随机分配到交通劝导A、景区讲解B、文明宣传C三个岗位，每人岗位分配相互独立．请用树状图或列表法，求甲乙两人至少一人被分到文明宣传C岗位的概率． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出表格，可得一共有9 种等可能结果，其中甲乙两人至少一人被分到文明宣传C岗位的有5 种，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：根据题意，列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 一共有9 种等可能结果，其中甲乙两人至少一人被分到文明宣传C岗位的有5 种， ∴甲乙两人至少一人被分到文明宣传C岗位的概率为． 17. 图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点． 的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作格点E，连接、，使； （2）在图②中，作格点E，连接、，使． 【答案】（1）如图所示，点为所求点， ； （2）如图所示，点为所求点， ； 【解析】 【分析】（1）由网格图像得到，再根据得到，所以，根据网格的特点画出点； （2）先找出与相等的角，再利用相似求得的长度，确定点的位置． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 根据网格的特点可知为两个网格的对角线， ∴作相邻两个网格的对角线， 即点为所求点； 【小问2详解】 解：如图图所示， ， 由网格可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴，． 18. 某公司承包工程项目需要运送货物，现有大小两种货车，辆大车与辆小车一次可以运货吨，辆大车与辆小车一次可以运货吨．请问大小两种货车每次各能运货多少吨？ 【答案】辆大车每次可以运货吨，辆小车每次可以运货吨 【解析】 【分析】设辆大车一次运货吨，辆小车一次运货吨，根据题干中的相等关系列二元一次方程组求解． 【详解】解：设辆大车一次运货吨，辆小车一次运货吨， 根据题意得：， 解得：， 答：辆大车每次可以运货吨，辆小车每次可以运货吨． 19. 如图，在中，，点D，E分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】证明：点E是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 在中，，点D是的中点， ． ∴四边形是菱形． 【点睛】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 20. 为弘扬中医药文化，某中学在学校的种植实验基地开展了主题为“校园百草园”的种植实践活动．从2025年1月1日起，某项目小组在“柴胡”种植区随机选取100株“柴胡”对其生长高度进行定期测量与记录，并将调查结果绘制成如下统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）“柴胡”株高月平均增长量在 月最高，株高月平均增长量的中位数是 cm； （2）若该校“柴胡”种植区共有1000株“柴胡”，全年均正常生长，请估计2025年12月底，株高达到A级与B级的“柴胡”共有多少株？ （3）该项目小组通过查阅资料得知：当“柴胡”株高月增长量不高于2cm时属于“缓慢生长期”，这时应减少灌溉频率，并注意防寒保温；当“柴胡”株高月增长量高于时属于“快速生长期”，这时应及时进行中耕除草和追施氮肥，促进幼苗健壮生长．该项目小组结合统计图1提出了“柴胡”的下一年度新苗种植管理建议，下列所有正确建议的序号是 ． ①在明年6月至8月，“柴胡”进入“快速生长期”，应及时进行中耕除草和追施氮肥，促进幼苗健壮生长； ②在明年9月至10月，“柴胡”同时满足“缓慢生长期”和“快速生长期”的管理要求，需要同时采取减少灌溉和中耕除草、追施氮肥的措施； ③在明年12月至后年3月，“柴胡”进入“缓慢生长期”，应减少灌溉频率，并注意防寒保温． 【答案】（1）7，3 （2）估计株高达到A级与B级的“柴胡”共有824株 （3）①③ 【解析】 【分析】（1）观察折线统计图可知最大值为，再确定月份，然后根据中位数的定义解答； （2）用总株数乘以A和B级所占的百分比即可； （3）先确定“柴胡”在株高增长量不同的时期的管理建议，再结合折线统计图确定每个月的实际情况，并按照建议逐个判断即可． 【小问1详解】 解：7，3； 观察统计图1数据，最大值为，对应月份为7月．将12个数据从小到大排列：1.5，1.8，2，2，2.5，2.8，3.2，3.5，3.8，4.5，4.8，5.2．中位数为第6和第7个数据的平均数为； 【小问2详解】 解：由统计图2可得，A和B占比为， （株）． 答：估计株高达到A级与B级的“柴胡”共有824株； 【小问3详解】 解：①③． 观察统计图可知12月，1月，2月，3月柴胡的增长量不高于时，属于“缓慢生长期”应减少灌溉频率，并注意防寒保温；4月，5月，9月，10月，在之间，没有具体要求；6月，7月，8月柴胡的增长量高于时，属于“快速生长期”，应及时进行中耕除草和追施氮肥，促进幼苗健壮成长，可知①③正确． 21. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A、B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应． （1）A品牌共享电动车每分钟收费________元； （2）当时，求与的函数关系式； （3）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，通过计算说明小明选择哪种品牌共享电动车更省钱． 【答案】（1）元 （2）当时， （3）∵小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为 ， ∴小明家到工厂的时间为， 由（1）得A品牌共享电动车每分钟收费元， ∴选择A品牌共享电动车费用为元， ∵ ∴由（2）得选择B品牌共享电动车费用为元， ∵， ∴小明选择B品牌共享电动车更省钱． 【解析】 【分析】（1）由图可知，的图象为过原点的直线，在骑行时间为时收费为元，据此即可求解； （2）由的图象可知，在时，的图象为直线，经过点，，设时，，代入求解即可； （3）先计算出小明家到工厂的时间，再结合（1）、（2）的结论，即可算出两种品牌共享电动车的费用，比较大小即可得出哪种品牌共享电动车更省钱． 【小问1详解】 解：由图可知，的图象为过原点的直线，在骑行时间为时收费为元， ∴A品牌共享电动车每分钟收费元． 【小问2详解】 解：由的图象可知，在时，的图象为直线，经过点，， ∴设时，， 将点，代入得：，解得：， ∴当时，． 【小问3详解】 略 22. 【问题原型】小明在学习圆的知识时，遇到了这样一个问题： 如图①，点是直线外一点，、是直线上的两点，，，求面积的最大值． 【问题解决】 （1）如图②，小明发现，因为底边长度确定，因此只需要求点到直线的距离的最大值即可，因为，他发现点在圆上运动，当、、共线时，的面积取得最大值．具体做法如下： 解：作，使点、在上，且．如图②． 过点作于点． ，， ，． ∴． （补全过程） ∴面积的最大值是________． 【问题拓展】 （2）如图③，，在边、上分别有两个动点、，连接，以为直角边作等腰直角三角形，．若，则线段长度的最大值是________． 【答案】（1）作，使点、在上，且，如图②， 过点作于点， ，， ，， ∴， ∴， ∵， ∴点在上运动， 连接，， ∴， ∵， ∴当、、共线时，点到直线的距离取最大值，即为此时的长度， ∴此时面积取最大值， ∴面积的最大值是． （2） 【解析】 【分析】（1）因为底边长度确定，因此只需要求点到直线的距离的最大值即可，因为，点圆上运动，当、、共线时，的面积取得最大值，只需通过此时，求出的长度即可求出的面积的最大值； （2）在（1）的思路启发下，在点、的左侧，作，使点、在上，且，由，可得点在上，点为外一点，所以当线段经过圆心时，线段的长度取最大值，设，通过角度计算得出，从而得出，进而得到，就可利用勾股定理求出，即可通过此时求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在（1）的思路启发下，在点、的左侧，作，使点、在上，且，如图所示， ，， ， 又∵， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵，即， ∴点在上，点为外一点， ∴当线段经过圆心时，线段的长度取最大值， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为． 23. 如图①，在中，，，．点在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点． （1）求证：； （2）如图②，当点是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出线段、，与交于点； ②求线段的长； （3）当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①如图，、即为所求； ②1 （3）或 【解析】 【分析】 （1）根据同角的余角相等进行证明即可； （2）①连接，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，分别以点C、M为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点N，连接，交于点D，交于点F； ②根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据等积法求出，证明，得出，即可求出结果； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，如图所示： 设，则， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： 设，则， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在抛物线上，其横坐标为（）．过点作轴的平行线交直线于点，以为边，点为对称中心，作． （1）求抛物线的对称轴； （2）当点在第四象限时，求的取值范围； （3）点的坐标为． ①作、．当时，求的值． ②当直线与抛物线有两个公共点时，设其中一个交点为（点不与点、重合），作点关于点的对称点为，连接、．当与重合部分的图形内角中恰好有一个角是直角时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①，②的取值范围为或或 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式配成顶点式，直接根据顶点式对称轴公式求解； （2）先求出坐标，利用平行四边形以原点为对称中心得到点坐标，再结合第四象限点横、纵坐标符号列出不等式组求解范围； （3）①由平行四边形对角相等转化角的等量关系，根据圆周角逆定理推出四点共圆，利用弦的垂直平分线交于圆心建立横坐标方程，结合求出； ②先根据抛物线对称性得到点坐标，再由点关于定点对称的中点公式求出坐标，判断为直角三角形，结合平行四边形边界与的位置关系分区间讨论，找出重合部分内角恰好只有一个直角时的取值范围． 【小问1详解】 解：， 抛物线的对称轴为：直线； 【小问2详解】 解：点在抛物线上，横坐标为，代入抛物线得纵坐标：，即， 令，代入直线方程得：， ， 以为对称中心 点与点关于原点中心对称， ， 第四象限的点满足：横坐标，纵坐标， ， 解得：； 【小问3详解】 解：①如图， 四边形是平行四边形， ， ， 与均对应线段，且点都在同侧，根据圆周角定理逆定理：同弧所对圆周角相等则四点共圆，因此四点共圆， 对于弦：，，在轴上，的中点为， 因此的垂直平分线是直线，圆心必在这条直线上， 对于弦：、纵坐标相同，轴，其中点横坐标为， 因此的垂直平分线是直线，圆心也必在这条直线上， ，即， ，，代入得：， 整理为一元二次方程：， 解得：， ， ； ②直线， 抛物线对称轴为， 两点关于对称， 点横坐标为，即， 点与关于对称，由中点公式得坐标：， ，，， 是直角三角形， 令的横坐标等于的横坐标：， 整理得，， 解得：， ， ， 重合部分为与平行四边形的交集，需其内角恰好有个直角： 当且时：，在轴下方，为水平边，为竖直边，二者在点形成的直角完全落在重合部分内部，其余内角均不为直角，满足“恰好一个直角”， 时与重合，不满足条件，舍去， 当时：平行四边形右边界在左侧，点的直角不在重合部分内，且无其他直角，不满足条件，舍去， 当时：平行四边形右边界在右侧，整个落在平行四边形内部，重合部分即为直角三角形，恰好有个直角，满足条件， 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题综合考查二次函数图象性质、一次函数、中心对称、平行四边形性质、四点共圆、坐标对称变换与图形相交分类讨论，熟练运用坐标运算、垂直平分线、中点公式、图形位置分类是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习题 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子计算的结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由7个大小相同的小正方体搭建的几何体，该几何体的三视图相同的是（ ） A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图 C. 俯视图和左视图 D. 以上答案都对 3. 如图，，点，分别是直线，上的点，且，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 将边长为6的正方形纸片按图1所示的方式折叠，可将其分成图2所示的①，②，③三个区域，其中③号区域（阴影）的面积为（ ） A. B. C. 15 D. 8. 如图，点A，B依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F，若，阴影部分面积为12，则k的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若a是无理数，且，则a的值可以是________．（写出一个即可） 10. 不等式的解集是_______． 11. 甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的平均分相同，成绩分布如图，则方差_________（填>、<、=）． 12. 如图，在中，，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点，连接，则阴影部分的周长为________． 13. 若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 14. 如图， ，以的半径为边作矩形 ，且点B、C均在外．点B关于直线 的对称点为D，点D落在上，连接 ， ， ，与交于点E．给出下面四个结论： ① ；②弧的长度为；③；④的面积为． 上述结论中，正确结论的序号是________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 甲、乙两名同学参与长春城市志愿活动，随机分配到交通劝导A、景区讲解B、文明宣传C三个岗位，每人岗位分配相互独立．请用树状图或列表法，求甲乙两人至少一人被分到文明宣传C岗位的概率． 17. 图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点． 的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作格点E，连接、，使； （2）在图②中，作格点E，连接、，使． 18. 某公司承包工程项目需要运送货物，现有大小两种货车，辆大车与辆小车一次可以运货吨，辆大车与辆小车一次可以运货吨．请问大小两种货车每次各能运货多少吨？ 19. 如图，在中，，点D，E分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，，．求证：四边形是菱形． 20. 为弘扬中医药文化，某中学在学校的种植实验基地开展了主题为“校园百草园”的种植实践活动．从2025年1月1日起，某项目小组在“柴胡”种植区随机选取100株“柴胡”对其生长高度进行定期测量与记录，并将调查结果绘制成如下统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）“柴胡”株高月平均增长量在 月最高，株高月平均增长量的中位数是 cm； （2）若该校“柴胡”种植区共有1000株“柴胡”，全年均正常生长，请估计2025年12月底，株高达到A级与B级的“柴胡”共有多少株？ （3）该项目小组通过查阅资料得知：当“柴胡”株高月增长量不高于2cm时属于“缓慢生长期”，这时应减少灌溉频率，并注意防寒保温；当“柴胡”株高月增长量高于时属于“快速生长期”，这时应及时进行中耕除草和追施氮肥，促进幼苗健壮生长．该项目小组结合统计图1提出了“柴胡”的下一年度新苗种植管理建议，下列所有正确建议的序号是 ． ①在明年6月至8月，“柴胡”进入“快速生长期”，应及时进行中耕除草和追施氮肥，促进幼苗健壮生长； ②在明年9月至10月，“柴胡”同时满足“缓慢生长期”和“快速生长期”的管理要求，需要同时采取减少灌溉和中耕除草、追施氮肥的措施； ③在明年12月至后年3月，“柴胡”进入“缓慢生长期”，应减少灌溉频率，并注意防寒保温． 21. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A、B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应． （1）A品牌共享电动车每分钟收费________元； （2）当时，求与的函数关系式； （3）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，通过计算说明小明选择哪种品牌共享电动车更省钱． 22. 【问题原型】小明在学习圆的知识时，遇到了这样一个问题： 如图①，点是直线外一点，、是直线上的两点，，，求面积的最大值． 【问题解决】 （1）如图②，小明发现，因为底边长度确定，因此只需要求点到直线的距离的最大值即可，因为，他发现点在圆上运动，当、、共线时，的面积取得最大值．具体做法如下： 解：作，使点、在上，且．如图②． 过点作于点． ，， ，． ∴． （补全过程） ∴面积的最大值是________． 【问题拓展】 （2）如图③，，在边、上分别有两个动点、，连接，以为直角边作等腰直角三角形，．若，则线段长度的最大值是________． 23. 如图①，在中，，，．点在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点． （1）求证：； （2）如图②，当点是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出线段、，与交于点； ②求线段的长； （3）当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在抛物线上，其横坐标为（）．过点作轴的平行线交直线于点，以为边，点为对称中心，作． （1）求抛物线的对称轴； （2）当点在第四象限时，求的取值范围； （3）点的坐标为． ①作、．当时，求的值． ②当直线与抛物线有两个公共点时，设其中一个交点为（点不与点、重合），作点关于点的对称点为，连接、．当与重合部分的图形内角中恰好有一个角是直角时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $