5.3.3几何问题与行程问题——增收节支-课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组解决几何问题（长方形周长、三角形内角和等）与行程问题（相遇、追及），通过里程碑问题、视频及小长方形墙砖拼图等情境导入，衔接基础公式与实际应用，搭建从知识到能力的学习支架。 其亮点在于以几何直观和模型意识为核心，借助图形分析（如小长方形拼图、隧道火车线段图）和传统文化情境（榫卯结构、数学诗）培养推理能力。采用问题驱动与方法总结（审题、设元、列方程、检验），助力学生形成解决问题的思维流程，既提升学生应用意识，也为教师提供丰富教学资源。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 5.3.3几何问题与行程问题 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册5.3.3 应用二元一次方程组——几何问题与行程问题 练习题 本节核心考点：利用二元一次方程组解决几何边长、角度计算和行程相遇、追及问题，是本章重难点应用题。核心是挖掘几何隐含性质、行程运动规律，提炼两组等量关系列方程组求解。 核心知识点与公式（必背） 一、几何问题核心 1. 长方形：周长$$C=2(长+宽)$$，对边相等； 2. 三角形：内角和$$180^\circ$$，等腰三角形两底角相等、两腰相等； 3. 角度关系：互余和为$$90^\circ$$，互补和为$$180^\circ$$。 二、行程问题核心 1. 基本公式：路程=速度×时间（$$s=vt$$）； 2. 相遇问题：两者路程和=总路程； 3. 追及问题：快者路程-慢者路程=初始距离差。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 长方形长为x，宽为y，周长为40，可列方程________。 2. 两个角互余，度数分别为x、y，可列方程________。 3. 甲乙两车相向而行相遇，两车________等于总路程。 4. 追及问题中，相同时间内，快车与慢车的________等于初始距离。 5. 三角形两个内角和为$$120^\circ$$，两角差为$$20^\circ$$，设两角为x、y，方程组为________。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 长方形长比宽多5，周长30，设长x宽y，方程组正确的是（） A. $$\begin{cases}x-y=5\\2(x+y)=30\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y=5\\2(x+y)=30\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x-y=5\\xy=30\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y=5\\xy=30\end{cases}$$ 2. 甲乙两人同向而行追及成功，下列关系正确的是（） A. 路程相等 B. 快路程-慢路程=初始距离 C. 速度相等 D. 时间不等 3. 两角互补，一个角是另一个角的2倍，两角分别为（） A. $$60^\circ、120^\circ$$ B. $$45^\circ、90^\circ$$ C. $$30^\circ、60^\circ$$ D. $$50^\circ、100^\circ$$ 4. 相遇问题的核心等量关系是（） A. 速度和×时间=总路程 B. 速度差×时间=路程差 C. 路程相等 D. 速度相等 5. 等腰三角形顶角x，底角y，正确方程是（） A. $$x+2y=180$$ B. $$2x+y=180$$ C. $$x+y=180$$ D. $$x+y=90$$ 三、解答应用题（共60分） 1.（20分）几何周长问题：已知长方形周长为48cm，长比宽多4cm，求长方形的长和宽。 2.（20分）相遇问题：甲乙两车从相距360km的两地相向而行，4小时相遇；已知甲车每小时比乙车快10km，求甲乙两车的速度。 3.（20分）追及问题：甲乙两人沿同一路线骑行，甲先出发2km，乙每小时骑20km，甲每小时骑15km，乙出发多久后追上甲？（用二元一次方程组求解） 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. $$2(x+y)=40$$ 2. $$x+y=90$$ 3. 路程和 4. 路程差 5. $$\begin{cases}x+y=120\\x-y=20\end{cases}$$ 选择题答案 1.A 2.B 3.A 4.A 5.A 解答题详细解析 1. 解： 设长方形长为x cm，宽为y cm，根据题意得： $$\begin{cases}x-y=4\\2(x+y)=48\end{cases}$$ 化简第二个方程得：$$x+y=24$$， 联立方程组：$$\begin{cases}x-y=4\\x+y=24\end{cases}$$， 两式相加得：$$2x=28$$，解得$$x=14$$， 代入得：$$y=10$$。 答：长方形长14cm，宽10cm。 2. 解： 设甲车速度为x km/h，乙车速度为y km/h，根据题意得： $$\begin{cases}x-y=10\\4(x+y)=360\end{cases}$$ 化简得：$$\begin{cases}x-y=10\\x+y=90\end{cases}$$， 两式相加得：$$2x=100$$，解得$$x=50$$， 代入得：$$y=40$$。 答：甲车速度50km/h，乙车速度40km/h。 3. 解： 设乙出发t小时后追上甲，此时甲一共骑行时间为$$(t+2)$$小时（换元列方程组）， 设追上时两人骑行路程均为s km，列方程组： $$\begin{cases}s=20t\\s=15(t+2)\end{cases}$$ 联立得：$$20t=15t+30$$， 解得：$$5t=30，t=6$$。 答：乙出发6小时后追上甲。 五、易错点总结 1. 几何等量遗漏：忘记三角形内角和、长方形周长公式，或互余互补角度数值记反； 2. 行程模型混淆：相遇看路程和、追及看路程差，两类模型极易混用； 3. 时间计算错误：追及问题中先出发的物体，总时间需要叠加提前时长； 4. 单位不统一：路程、速度、时间单位需对应，解题前优先统一单位； 5. 几何解忽略实际：边长、角度必须为正数，负数解需直接舍去。 问题导入 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗 一级标题：黑体， 2 视频导入 一级标题：黑体， 3 新课导入 如图(单位：cm)，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 40 （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）你能列方程组解决这个问题吗？ 设小长方形墙砖长为xcm，宽为ycm. x=3y x+y=40 新课导入 40 设小长方形墙砖长为xcm，宽为ycm. x=3y x+y=40 解： 根据题意，得 解此方程组得 所以，小长方形墙砖长为30cm，宽为10cm. 如图(单位：cm)，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 1. 在长方形 中，放入六个形状、大 小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设 小长方形长、宽分别为， ，则下 列方程组正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 6 2. 滨德高速是连通滨州德州的重要路线，全长约 .一辆小汽车、一 辆货车分别从滨州、德州两地同时相向开出，经过45分钟相遇， 设 小汽车和货车的速度分别为 ，.可以列出方程组为 则 “……”处省略的条件为( ) C A. 相遇时货车比小汽车多行 B. 相遇45分钟后货车比小汽车多行 C. 相遇时小汽车比货车多行 D. 相遇45分钟后小汽车比货车多行 返回 中考考法 7 典例精析 火车以 40 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30 s，其中火车全身都在隧道里的时间是 20 s，求隧道和火车的长度. 分析：可以通过画图来说明火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间的数量关系. 例3 设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m. x - y=40×20 x+y=40×30 火车用时30s 火车用时20s 典例精析 设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m. x - y=40×20 x+y=40×30 解：“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用下图表示. 根据题意，得 解这个方程组，得 所以，隧道和火车的长度分别是1000m和200m. 方法总结 小结：对较复杂的问题可以借助线段图来疏理题中的未知量、已知量以及等量关系，使其条理清楚，将复杂问题转化为简单问题. 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴进行交流. 审题 设元 列方程 解方程 检验作答 直接设元、间接设元和设辅助未知数 明确题目中的数量关系 找出等量关系 写出答案 思考·交流 练一练 状状从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路平均速度 60 m/min，下坡路平均速度 80 m/min，上坡路平均速度 40 m/min，则他从家里到学校需 10 min，从学校到家里需 15 min.问状状家离学校多远? 平路：60m/min 下坡路：80m/min 上坡路：40m/min 方法一：直接设元法 解：设状状家到学校平路长 x m，坡路长 y m. 平路时间 坡路时间 总时间 上学 放学 平路：60m/min 下坡路：80m/min 上坡路：40m/min 10 15 解方程组，得 所以，状状家到学校的距离为700米. 根据题意，可列方程组： 方法二：间接设元法 解：设状状下坡路所花时间为x min， 上坡路所花时间为y min. 平路距离 坡路距离 上学 放学 平路：60m/min 下坡路：80m/min 上坡路：40m/min 60(10 - x) 60(15 - y) 解方程组，得 故平路距离：60×（10 - 5）= 300(米) 80x 40y 根据题意，可列方程组： 坡路距离：80×5 = 400（米） 所以，状状家到学校的距离为700米. 回顾·反思 回顾列方程组解决实际问题的学习过程，你对如何列方程有哪些新的认识？积累了哪些经验？ 3. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟 空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历 经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事.现请你 欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千 里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的 意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风， 里只用了 4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，则风的速度为___ 里/分钟. 50 返回 中考考法 16 4. 古代中国是世界中心， 诸多技艺均领先世界水平，榫卯 结构就是其中最为 华丽的一点.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的 连接方式.已知有若干个相同的木构件，其形状如图①所示. 当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为 ，当9个木构 件紧密拼成一列时，总长度为 ，如图②所示，则图① 中的木构件长度为______. 中考考法 17 【点拨】设题图①中，去掉凸起部分的木构件长度为 ， 凸起部分的长度为，由题意得 解得 所以题图①中的木构件长度为 . 返回 中考考法 18 5.一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车 的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们 相向而行，则两车从相遇到完全分开只需 秒.若动车组长度 为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是 ____________，动车组的速度是___________. 90千米/时 180千米/时 返回 中考考法 19 6.甲、乙两地相距74千米，途中有上坡路、平路和下坡路.一 汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟 后从乙地出发，6点48分返回甲地.已知汽车在上坡路每小时 行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡路每小时行驶40 千米，则甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡路、下坡路分 别是________________________. 30千米、16千米、28千米 中考考法 20 【点拨】从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到 下午6点48分共2.8小时.设甲地到乙地的行驶过程中平路是 千米，上坡路是千米，则下坡路是 千米，根据 题意，得整理，得 解 得所以 .所以甲地到 中考考法 21 乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路 是28千米. 返回 中考考法 7.［2025武汉江岸区期中］如图，从 至 ，步行走粗线道 需要35分钟， 坐车走曲细线道 需要 22.5分钟，车行驶的路程是 25 至步行路程的3倍，车行驶的路程是至 步行路 程的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从至 步行， 再从 坐车所需要的总时间是____分钟. 中考考法 23 【点拨】设步行速度为，则车速为 ， 设，，则 的路 程为，的路程为 ，根据 题意，得 解得 中考考法 24 则从步行至，再从 坐车所需 总时间为 （分钟）. 返回 中考考法 8.现有8个大小相同的小长方形，可拼成如图 ①②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一 个边长为2的小正方形，求小长方形的面积. 小明设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于， 的 二元一次方程组，解出， 的值，再根据长方形的面积公式 得出每个小长方形的面积. 中考考法 26 （1）请按照小明的思路求出每个 小长方形的面积； 【解】根据题意得 解 得 所以 . 所以每个小长方形的面积为60. 中考考法 27 （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回 一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起， 如图③所示.当小明把13个纸杯整齐叠放在 一起时，它的高度约是____ ； 20 中考考法 28 课堂小结 实际问题 二元一次方程组 抽象建模 检验求解 要抓住关键的词语，挖掘各类问题中的基本数量关系. 关键词语 复杂问题借助图形或表格分析 列表或画图 审 设 列 解 验 答 Multimedia Cloud Transcode (cloud.baidu.com) Content Adaptive Encoding 3.0 $