5.3.2应用二元一次方程组——增收节支（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组解决增收节支问题，核心知识点涵盖利润、增长率等公式。新课导入通过表格梳理销售与增长率问题的数量关系，衔接已学方程组解法，搭建从公式到实际应用的学习支架。 其亮点在于分层习题设计与列表法分析，结合工厂、商铺等生活情境，培养学生抽象能力与模型意识。通过基础夯实、能力提升到压轴题的梯度训练，强化运算与推理能力，助力学生掌握用数学语言解决实际问题，也为教师提供系统教学资源。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 5.3.2应用二元一次方程组 ——增收节支 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册5.3.2应用二元一次方程组——增收节支练习题 核心知识点回顾 增收节支问题是二元一次方程组典型经济应用题型，主要围绕增长率、降低率、总收入、总支出、总利润展开。核心公式：利润=总收入-总支出；增长后总量=原有总量×(1+增长率)；减少后总量=原有总量×(1-降低率)。解题关键：找准改革前后的收入、支出两组等量关系，通过设改革前（或改革后）的收入、支出为未知数，列方程组求解，常用于解决工厂、商场、家庭收支等实际问题。 一、基础夯实题（共3题，侧重公式基础运用） 1. 某工厂去年总收入、总支出共50万元，今年总收入比去年增加10%，总支出比去年减少10%。设去年收入为x万元，支出为y万元，请写出x、y的基本数量关系式。 2. 某商铺去年利润为2万元，今年收入提升5%，支出降低4%，利润增至2.8万元。设去年收入x万元，支出y万元，列出二元一次方程组。 3. 某农户前年农业收入3万元，副业收入2万元，今年农业收入增长8%，副业收入增长10%，求今年两项总收入。 二、能力提升题（共2题，侧重方程组求解） 1. 某加工厂去年总收入与总支出的差额为30万元，今年总收入增加20%，总支出减少10%，差额变为48万元。求去年的总收入和总支出各是多少万元？ 2. 某超市今年销售额比去年增长15%，成本比去年降低8%，去年利润为40万元，今年利润为62万元。求去年的销售额和成本。 三、经典压轴应用题（1题，教材高频考点） 某乡镇企业积极落实增收节支政策，今年与去年相比，总收入增加25%，总支出减少15%。已知去年的利润为20万元，今年的利润为55万元。求该企业去年的总收入、总支出分别是多少万元？ 参考答案与解析 一、基础夯实 1. 基本关系式：$$x+y=50$$；今年收入：$$(1+10\%)x$$，今年支出：$$(1-10\%)y$$。 2. 由去年利润和今年收支变化列方程组：$$\begin{cases} x-y=2 \\ 1.05x-0.96y=2.8 \end{cases}$$。 3. 今年农业收入：$$3\times(1+8\%)=3.24$$万元，副业收入：$$2\times(1+10\%)=2.2$$万元，总收入5.44万元。 二、能力提升 1. 设去年收入x万元，支出y万元，列方程组：$$\begin{cases} x-y=30 \\ 1.2x-0.9y=48 \end{cases}$$，解得$$\begin{cases} x=70 \\ y=40 \end{cases}$$。答：去年收入70万元，支出40万元。 2. 设去年销售额x万元，成本y万元，方程组：$$\begin{cases} x-y=40 \\ 1.15x-0.92y=62 \end{cases}$$，解得$$x=120，y=80$$。答：去年销售额120万元，成本80万元。 三、经典压轴应用 设去年总收入x万元，总支出y万元，列方程组：$$\begin{cases} x-y=20 \\ 1.25x-0.85y=55 \end{cases}$$。由第一式得$$x=y+20$$，代入第二式化简求解，得$$y=80$$，$$x=100$$。答：去年总收入100万元，总支出80万元。 易错总结：区分增长、降低的基数（始终以前一年数据为基数）；百分数运算易出错，建议统一转化为小数计算；利润公式切勿颠倒，总收入减总支出，避免符号错误。 能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组. 正确找出问题中的两个等量关系. 通过应用题教学，进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性. 新课导入 类型 数量关系 销售问题 增长率问题 利润 = 售价 - 进价； 销售额 = 售价 × 销量. 增长后的量=增长前的量×（1+增长率） 下降后的量=下降前的量×（1-下降率） 某工厂前年的总利润（总收入 - 总支出）为200万元．去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元．前年的总收入、总支出各是多少万元? 推进新课 （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 等量关系：总利润 = 总收入 - 总支出 前年的总收入 – 前年的总支出 = 200万元 去年的总收入 – 去年的总支出 = 780万元 去年的总收入 = 前年的总收入 ×（1 + 20%） 去年的总支出 = 前年的总支出 ×（1 - 10%） （2）你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？ 推进新课 设前年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有： 年份 总收入/万元 总支出/万元 总利润/万元 前年 去年 x y 200 (1+20%)x (1-10%)y 780 根据上表，可以列出方程组： 推进新课 ① ② 解：将①变形得 x = 200 + y ③ 将③代入②得， 1.2（200 + y）-0.9y = 780 y = 1800 将 y = 1800 代入③得 x = 200 + 1800，解得 x = 2000 所以原方程组的解是 答：前年的总收入为2000万元，总支出为1800万元. 方法总结 在“增收节支”型问题中，要理解增加、减少、增长率、降低率等关键词. 典例精析 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要? 分析：设每餐用甲原料 x g、乙原料 y g，则有 成分 甲原料 x g 乙原料 y g 所配制的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 0.5x 0.7y 35 x 0.4y 40 患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质， 例2 典例精析 解这个方程组，得 解：设每餐用甲原料 x g、乙原料 y g，根据题意，得 所以，每餐用甲原料 28 g、乙原料 30 g可以恰好满足患者的需求. 方法总结 借助列表法分析具体问题中蕴含的数量关系，列出方程组，然后解出二元一次方程组，从而解决实际问题. 思考·交流 在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？与同伴进行交流. 课堂小结 生活中的具体问题 二元一次方程组 解决问题 列表分析 求解 化难为简 在“增收节支”型问题中，要理解增加、减少、增长率、降低率等关键词. 随堂演练 1. 甲、乙两仓库共有粮450吨，甲仓库运出60%，乙仓库运出40%，结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨，设甲仓库原有粮食 x 吨，乙仓库原有粮食 y 吨，则可列方程组为________________. 2. 武汉某学校原计划向贵州地区的学生捐赠3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原计划的120%，高中学生捐赠了原计划的115%，初中学生和高中学生各比原计划多捐赠的图书的册数为（ ） A.400，225 B.300，335 C.400，335 D.225，400 A 3. 甲、乙两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%.如果甲班学生的体育达标率为87.5%，乙班学生的体育达标率为75%，那么甲、乙两班各有多少名学生? 设甲班有x名学生，乙班有y名学生，填写下表并求出x，y的值. 人数 甲班 乙班 两班总和 学生人数 达标学生人数 【课本P123 随堂练习 第1题】 x y 100 87.5%x 75%y 81%×100 化简，得 解：设甲班有x名学生，乙班有y名学生，根据题意，得 ② - ①×6，得 7x +6x - 6(x + y)= 648 - 100 ×6， x = 48. 将 x = 48代入①，得 y = 52. 所以甲班有48人，乙班有52人. 4. 甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行．如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走2h，那么他们在甲出发3h时相遇．甲、乙两人的速度各是多少？ 设甲、乙两人的速度分别是 x km/ h，y km/ h，填写下表并求x，y的值. 两种情况 甲的路程 乙的路程 甲、乙两人的路程之和 第一种情况 （甲先走2h） 第二种情况 （乙先走2h） (2+2.5)x 2.5y 36 3x (2 + 3)y 36 【课本P123 随堂练习 第2题】 化简，得 解：设甲、乙两人的速度分别是 x km/ h，y km/ h，根据题意，得 ①×2 - ②，得 6x = 36， x = 6. 将 x = 6代入②，得 y = 3.6. 所以甲的速度为 6 km/h，乙的速度为 3.6km/h. 知识点1 百分率问题 1.小明家种植水果，去年收支相抵后，结余1 200元，今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加5％，支出比去年减少15％，今年比去年多结余1 140元.设小明家去年收入x元，支出y元，则下列方程组正确的是(　　) A. B. C. D. 返回 C 基础提优题 2.某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付1.6万元利息，已知甲种贷款每年的利率为3％，乙种贷款每年的利率为3.5％，则该公司申请甲、乙两种贷款的数额分别为　　　 　. 返回 30万元、20万元 基础提优题 3.一个甲玩具和一个乙玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按60％的利润率标价出售，乙玩具按50％的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两种玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元. 返回 基础提优题 (1)若甲玩具每个的成本为x元，则甲玩具的标价是　　　元，甲玩具的售价是　　　　元；若乙玩具每个的成本是y元，则乙玩具的标价是　　　　元，乙玩具的售价是　　　　元.(用含x，y的式子填空) 返回 1.6x 1.44x 1.5y 1.35y 基础提优题 (2)在(1)的条件下，求甲、乙玩具每个的成本各是多少元. 【解】依题意，得 解得 所以甲玩具每个的成本是100元，乙玩具每个的成本是200元. 返回 基础提优题 (3)在(1)的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？ 【解】设购进m个甲玩具，n个乙玩具， 依题意，得100m＋200n＝1 000，化简得m＝10－2n. 又因为m，n均为正整数， 所以或或或 返回 基础提优题 所以共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具. 返回 基础提优题 $