5.3.2应用二元一次方程组——增收节支 课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组解决经济类实际问题，涵盖增长率、利润等核心考点。课堂导入通过复习列方程组步骤和视频微课堂，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于运用列表法梳理数量关系培养数学眼光，结合亚冬会生产、医院营养品配制等真实情境例题发展数学思维，设置条件开放题激发创新意识。学生能提升实际问题解决能力，教师可获得系统教学资源与方法支持。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 5.3.2应用二元一次方程组 ——增收节支 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册5.3.2 应用二元一次方程组——增收节支 练习题 本节核心考点：掌握利用二元一次方程组解决增长率、降低率、利润、收支调配等经济类实际问题，熟记收支、增减、利润公式，找准变化前后的等量关系，是中考应用题高频考点。 核心公式（必背） 1. 增长问题：新量 = 原量 × (1 + 增长率) 2. 减少问题：新量 = 原量 × (1 - 降低率) 3. 利润问题：利润 = 总收入 - 总支出 4. 调配问题：调配前总量 = 调配后总量，根据调配比例列等式 解题核心思路：一般设原来的两个基础量为x、y，根据“变化前总量、变化后总量”两组等量关系列方程组。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 某商品原价x元，涨价10%后，现价为________元。 2. 某工厂上月支出y万元，本月节约5%，本月支出为________万元。 3. 增收节支问题中，常用两组等量关系：变化前总量和________。 4. 甲收入x元，乙收入y元，两人总收入8000元，可列方程________。 5. 甲收入增加20%，乙收入减少10%，若变化后收入相等，可列方程________。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 某商店进价x元，提价15%销售，售价为（） A. $$15\%x$$ B. $$x+15\%$$ C. $$1.15x$$ D. $$0.85x$$ 2. 解决增收节支问题设未知数的最优方式是（） A. 设变化后量 B. 设变化前基础量 C. 随意设量 D. 设变化率 3. 某农场去年总收入x万元，今年增收30%，今年收入为（） A. $$0.3x$$ B. $$1.3x$$ C. $$x-0.3x$$ D.$$30x$$ 4. 利润的正确计算公式是（） A. 利润=总收入+总支出 B. 利润=总收入-总支出 C. 利润=总收入×增长率 D. 利润=总支出-总收入 5. 已知去年甲乙总收入、总支出，求去年甲乙收支，需要列（） A. 一元一次方程 B. 二元一次方程组 C. 一元二次方程 D. 无需方程 三、解答应用题（共60分） 1.（20分）工厂增收问题：某工厂去年总收入、总支出共80万元，今年总收入增加10%，总支出节约5%，今年总收入、总支出共83.5万元。求去年的总收入、总支出各是多少万元？ 2.（20分）商店利润问题：甲乙两种商品原来进价和为100元，甲提价40%，乙降价10%，调价后单价和为120元，求甲乙商品原来的进价。 3.（20分）家庭收支问题：小明家今年收入比去年增加20%，支出比去年减少10%，去年结余30000元，今年结余66000元。求去年的收入和支出。（结余=收入-支出） 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. $$1.1x$$ 2. $$0.95y$$ 3. 变化后总量 4.$$x+y=8000$$ 5. $$1.2x=0.9y$$ 选择题答案 1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 解答题详细解析 1. 解： 设去年总收入为x万元，总支出为y万元，根据题意得： $$\begin{cases}x+y=80\\1.1x+0.95y=83.5\end{cases}$$ 由①得：$$x=80-y$$，代入②： $$1.1(80-y)+0.95y=83.5$$ $$88-1.1y+0.95y=83.5$$ $$-0.15y=-4.5$$，解得$$y=30$$ 则$$x=80-30=50$$ 答：去年总收入50万元，总支出30万元。 2. 解： 设甲商品原进价x元，乙商品原进价y元，根据题意得： $$\begin{cases}x+y=100\\1.4x+0.9y=120\end{cases}$$ 由①得$$y=100-x$$，代入②： $$1.4x+0.9(100-x)=120$$ $$1.4x+90-0.9x=120$$ $$0.5x=30$$，解得$$x=60$$ $$y=100-60=40$$ 答：甲原进价60元，乙原进价40元。 3. 解： 设去年收入x元，去年支出y元，根据结余公式列方程组： $$\begin{cases}x-y=30000\\1.2x-0.9y=66000\end{cases}$$ 由①得：$$x=y+30000$$，代入②： $$1.2(y+30000)-0.9y=66000$$ $$1.2y+36000-0.9y=66000$$ $$0.3y=30000$$，解得$$y=100000$$ $$x=100000+30000=130000$$ 答：去年收入130000元，支出100000元。 五、易错点总结 1. 增减率公式混淆：增收是1+增长率，节约/降价是1-降低率，极易写反； 2. 设元错误：优先设去年、原来的量，设变化后量会大幅增加计算难度； 3. 结余公式记错：结余=收入-支出，切勿颠倒为支出-收入； 4. 整体乘除易错：增长率运算必须乘原整体量，不能只乘部分； 5. 单位遗漏：经济问题单位多为万元、元，答题必须带单位，步骤完整。 复习导入 列二元一次方程组解应用题的步骤： (1)审清题意，设未知数； (2)弄清各个量之间的关系，找出等量关系； (3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组； (4)解二元一次方程组； (5)作答. 一级标题：黑体， 2 视频导入 一级标题：黑体， 3 某工厂前年的总利润（总收入 - 总支出）为200万元．去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元．前年的总收入、总支出各是多少万元? 推进新课 （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 等量关系：总利润 = 总收入 - 总支出 前年的总收入 – 前年的总支出 = 200万元 去年的总收入 – 去年的总支出 = 780万元 去年的总收入 = 前年的总收入 ×（1 + 20%） 去年的总支出 = 前年的总支出 ×（1 - 10%） （2）你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？ 推进新课 设前年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有： 年份 总收入/万元 总支出/万元 总利润/万元 前年 去年 x y 200 (1+20%)x (1-10%)y 780 根据上表，可以列出方程组： 推进新课 ① ② 解：将①变形得 x = 200 + y ③ 将③代入②得， 1.2（200 + y）-0.9y = 780 y = 1800 将 y = 1800 代入③得 x = 200 + 1800，解得 x = 2000 所以原方程组的解是 答：前年的总收入为2000万元，总支出为1800万元. 方法总结 在“增收节支”型问题中，要理解增加、减少、增长率、降低率等关键词. 1. ［2025西安经开区月考］小明家种植水果，去年收支相抵后，结余 1 200元，今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年 增加，支出比去年减少 ，今年比去年多结余1 140元.设小明家 去年收入元，支出 元，则下列方程组正确的是( ) A. B. C. D. √ 返回 中考考法 8 2. 2025年亚冬会期间，某工艺厂准备生产 亚冬会标志“超越”和亚冬会吉祥物“滨滨”“妮妮”.该厂主要用 甲、乙两种原料，已知生产一套亚冬会标志需要甲原料和乙 原料分别为4盒和3盒，生产一套亚冬会吉祥物需要甲原料和 乙原料分别为5盒和10盒.该厂购进甲、乙原料的量分别为 20 000盒和30 000盒，如果所进原料全部用完，则该厂能生 产亚冬会吉祥物_______套. 2 400 返回 中考考法 9 典例精析 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要? 分析：设每餐用甲原料 x g、乙原料 y g，则有 成分 甲原料 x g 乙原料 y g 所配制的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 0.5x 0.7y 35 x 0.4y 40 患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质， 例2 典例精析 解这个方程组，得 解：设每餐用甲原料 x g、乙原料 y g，根据题意，得 所以，每餐用甲原料 28 g、乙原料 30 g可以恰好满足患者的需求. 方法总结 借助列表法分析具体问题中蕴含的数量关系，列出方程组，然后解出二元一次方程组，从而解决实际问题. 思考·交流 在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？与同伴进行交流. 3.学校为了奖励在“诗词大赛”中获奖的同学，计划购买甲、 乙两种奖品共40件，已知购买甲奖品1件和乙奖品4件需花费 240元，购买甲奖品2件和乙奖品1件需花费165元，如果学校 购买甲、乙两种奖品共花费2 130元，那么学校购买了____ 件乙奖品. 18 中考考法 14 【点拨】设每件甲奖品的价格是元，每件乙奖品的价格是 元，根据题意得解得设购买 件乙奖 品，则购买 件甲奖品，根据题意得 ，解得 .所以学校购买了 18件乙奖品. 返回 中考考法 15 4. 一辆汽车从地驶往 地，前三分之一路段 为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行 驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为 . 汽车从地到地共行驶了 .请你根据以上信息，就该汽 车行驶的“路程”或“时间”，提出一个问题：____？ 并求解. 中考考法 16 【解】（答案不唯一）地到 地的路程是多少千米 设地到地的普通公路长为，高速公路长为 ， 根据题意得解得 所以 . 所以地到地的路程是 . 返回 中考考法 17 5.某种合金是由， 两种金属熔炼而成，根据不同用途的需 要，两种金属原材料所选的比例也不相同.如果， 两种原 料按配料，则该合金材料价格为5 000元/吨；如果 种原 料占合金的，则该合金材料价格为4 860元/吨.则 种金 属每吨的价格是_______元 . 3 600 返回 中考考法 18 6.［2025北京大兴区一模］某公园门票价格如下表，某学校 组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数 分别为和 .若两社团分别以各自社团为单位购票， 共需1 560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需 1 170元，那么这两个社团的人数为____， ____. 购票人数 80以上 门票价格 20元/人 16元/人 13元/人 60 30 中考考法 19 7.甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并 快速出售玩具，决定将甲玩具按 的利润率标价出售，乙 玩具按 的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求， 两个玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元. （1）若甲玩具的成本为 元，则甲玩具的标价是_____元， 甲玩具的售价是______元；若乙玩具的成本是 元，则乙玩 具的标价是_____元，乙玩具的售价是______元.（用含, 的 式子填空） 中考考法 20 （2）在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元. 【解】依题意，得 解得 所以甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元. 中考考法 21 （3）在（1）的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这 两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么 可以怎样安排进货？ 中考考法 22 设购进个甲玩具， 个乙玩具， 依题意，得，化简得 . 又因为， 均为正整数， 所以或或或 所以共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具； 方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩 具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具. 返回 中考考法 课堂小结 生活中的具体问题 二元一次方程组 解决问题 列表分析 求解 化难为简 在“增收节支”型问题中，要理解增加、减少、增长率、降低率等关键词. 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