5.4.1二元一次方程与一次函数（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程与一次函数的数形结合关系，课堂从复习一次函数概念切入，通过问题引导将二元一次方程转化为一次函数形式，再经列表描点连线等步骤，建立方程解与函数图象点的对应关系，搭建代数与几何的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，结合小练习、随堂练习及基础提优题，强化几何直观与推理意识，如通过图象交点求方程组解。小结明确“数”与“形”的转化核心，助力学生发展数学思维，教师使用可提升教学针对性与效率。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 5.4.1二元一次方程与一次函数 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册5.4.1二元一次方程与一次函数练习题 核心知识点回顾 本节核心是二元一次方程与一次函数的数形结合关系。1. 对应关系：任意一个二元一次方程都可以转化为一次函数$$y=kx+b$$的形式，方程的所有解对应一次函数图象上所有点的坐标；2. 图象意义：一次函数图象上任意一点的坐标，都满足对应的二元一次方程；3. 方程组与交点：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解，实现“数”与“形”的相互转化。 一、基础夯实题（共3题，侧重概念理解） 1. 将二元一次方程$$2x+y=5$$转化为一次函数解析式，并说出任意两组方程的整数解。 2. 判断正误：（1）二元一次方程的解有无数组；（2）一次函数图象上的点坐标不一定对应二元一次方程的解。 3. 已知点$$(2,1)$$在直线$$y=kx-1$$上，直接写出二元一次方程$$kx-y=1$$的一组解。 二、能力提升题（共2题，侧重数形转化） 1. 已知一次函数$$y=3x-2$$，写出对应的二元一次方程，并验证点$$(1,1)$$是否为该方程的解。 2. 两个一次函数$$y=x+1$$与$$y=-x+3$$的图象交于一点，求该交点坐标及对应二元一次方程组的解。 三、综合应用题（1题，期末常考题型） 利用一次函数图象求解方程组$$\begin{cases} x+y=4 \\ 2x-y=2 \end{cases}$$，要求先将方程化为函数解析式，再根据图象交点意义写出方程组的解。 参考答案与解析 一、基础夯实 1. 转化得：$$y=-2x+5$$；整数解示例：$$\begin{cases} x=0 \\ y=5 \end{cases}$$、$$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$$。 2. （1）正确；（2）错误，一次函数上所有点坐标均对应对应二元一次方程的解。 3. 方程的一组解为$$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$$。 二、能力提升 1. 对应方程：$$3x-y=2$$；将$$x=1，y=1$$代入，左边$$3\times1-1=2$$=右边，故此点是方程的解。 2. 联立方程组$$\begin{cases} y=x+1 \\ y=-x+3 \end{cases}$$，解得$$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$$，交点坐标为$$(1,2)$$，即为方程组的解。 三、综合应用 将方程组变形为一次函数：$$y=-x+4$$、$$y=2x-2$$。两个函数图象交点坐标即为方程组的解，联立求解得$$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$$。 易错总结：混淆方程解与函数点的对应关系；变形解析式时符号出错；不会利用图象交点快速解方程组，牢记“交点坐标=方程组的解”是数形结合核心考点。 理解一次函数与二元一次方程（组）的对应关系. 会用画图象的方法解二元一次方程组. 通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究及相关实际问题的解决，学会用函数的观点去认识问题的方法. 复习回顾 一次函数的概念： 若两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 （k，b为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的一次函数. 新课探究 二元一次方程 一次函数 变形 二元一次方程 可以化成一次函数的形式吗？ 有什么关系？ （1）方程 x+y=5 的解有多少个？ 写出其中的几个. 有无数个 新课探究 知识点一 二元一次方程与一次函数的关系 5 （2）在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y = 5−x 的图象上吗？ 列表 描点 连线 x 2 4 6 7 … y=5−x 3 1 -1 -2 … 画一次函数的图象： y = 5−x 6 在一次函数 y = 5−x 的图象上. y = 5−x （2）在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y = 5−x 的图象上吗？ 7 （3）在一次函数 y=5−x 的图象上任取一点，它的坐标满足方程 x+y=5 吗？ （4）以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=5−x 的图象相同吗？ 满足 相同 恒等变形 y = 5−x 8 方程 x+y=5 的解有无数个． 以方程 x+y=5 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y=5−x 的图象相同，是同一条直线. 9 一个二元一次方程对应着平面上的一条直线. 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线. 归纳小结 直线 y=kx+b （k≠0）的表达式是一个关于 x, y 的二元一次方程. 方程的解与对应函数图象上的点的坐标一一对应. 11 以方程 x+3y=2 的解为坐标的点都在一次函数 y= 的图象上. < 小练习 > 解析：以二元一次方程 y=kx+b (k≠0) 的解为坐标的点组成的图象就是一次函数 y= kx+b (k≠0) 的图象，即用含 x 的代数式表示 y，将 变形得 . 12 通过对二元一次方程与一次函数的对比分析，我们发现： 从“数”的角度看，方程与函数描述的是同样的关系； 从“形”的角度看，它们对应解（点）组成的图象相同. 那么二元一次方程组与一次函数之间是否也有数与形上的关系呢？ 13 知识点二 二元一次方程组与一次函数的关系 在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数 y=5−x 和 y=2x−1 的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组 的解有什么关系？ x+y=5, 2x−y=1 操作·思考 o y x A y=2x-1 y=5-x 14 o y x A y=2x-1 y=5-x 3 2 一次函数 y=5−x 和 y=2x−1 图象的 交点为A(2, 3)，而 就是方程组 的解. x+y=5, 2x−y=1 x=2, y=3 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标. 15 若方程组 的解为 则直线 y=−x+a 与 y=x−b 的交点的坐标为 ； x+y=a, x−y=b x=11, y=4, (11, 4) < 小练习 > 16 在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=x+1 和 y=x−2 的图象有怎样的位置关系？ 方程组 解的情况如何？你 发现了什么？与同伴进行交流. 平行 方程组没有解 x−y=−1, x−y=2 思考·交流 17 规律总结 二元一次方程组的解 两个一次函数的图象上的点 无解 平行（无交点） 有一个解 相交（有一个交点） 有无数个解 重合（有无数个交点） 数 形 18 随堂练习 1. 已知一次函数 y=3x−1 与 y=2x 图象的交点 坐标是(1, 2)，求方程组 的解. 3x−y=1, y=2x 【教材P129 随堂练习 第1题】 x=1, y=2 解：方程组的解为 随堂练习 19 2. 图中两条直线l1与l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解？ 【教材P129 随堂练习 第2题】 解：可以看作方程组 的解. x+y=4 2x-y=-1, 随堂练习 20 3. 存在一组数同时满足方程 x+y=2 和 x+y=5 吗？直线 y=−x+2 与 y=−x+5有怎样的位置关系？ 解：没有一组数同时满足这两个方程，直线 y=-x+2与 y=-x+5 平行. 【教材P129 随堂练习 第3题】 随堂练习 21 知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 1.直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的直线是(　　) 返回 C 基础提优题 2.若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋1上，则常数b＝(　　) A.　　 B.1　　 C.－1　　 D.2 返回 D 基础提优题 3.一次函数y＝2x－4的图象上有一点的坐标是(　　，2)，则 方程2x－y＝4必有一个解为　　　　. 返回 3 基础提优题 知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系 4.［2026北京海淀区期中］若直线y＝3x＋6与直线y＝2x－4的交点坐标为(a，b)，则解为的方程组是(　　) A.　　 B. C.　　 D. 返回 C 基础提优题 5.直线y＝ax＋2与直线y＝3x－2平行，下列说法不正确的是(　　) A.a＝3 B.直线y＝ax＋2与y＝3x－2没有交点 C.方程组无解 D.方程组有无穷多个解 返回 D 基础提优题 6.［2026绍兴期末］已知关于x，y的方程组所对应的两个一次函数的图象如图所示，则4a－b的值为　　　. 返回 11 基础提优题 【点拨】根据题意得，方程组的解为将代入ax－3y＝5，得a＝4.将代入6x＋by＝－2，得b＝5.则4a－b＝4×4－5＝11. 返回 基础提优题 7. 如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b). (1)求b的值. 返回 【解】把点P(1，b)的坐标代入y＝x＋1，得b＝1＋1＝2. 基础提优题 (2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解. 返回 【解】方程组 的解为 基础提优题 (3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由. 返回 基础提优题 【解】直线l3：y＝nx＋m也经过点P.理由如下：因为直线l2：y＝mx＋n经过点P(1，2)，所以m＋n＝2. 所以易知直线y＝nx＋m也经过点P. 返回 基础提优题 课堂小结 二元一次方程与一次函数的关系： 每个二元一次方程都可转化为一次函数； 以二元一次方程 的解 为坐标的点(s, t)在一次函数 的图象上. 33 二元一次方程组 两个一次函数 两条直线 解 两个一次函数值相等时的自变量的值及函数值 两条直线的 交点的坐标 转化 对应 二元一次方程组与一次函数的关系： 34 $