2025-2026学年浙教版数学八年级下册暑假专题训练 平行四边形的判定定理

**基本信息** 以平行四边形判定定理为核心，通过基础辨析、中档综合到提高拓展的三层设计，强化从单一判定到实际应用的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一判定定理直接应用（两组对边相等、一组对边平行且相等）|选择题2（两组对边相等判定求角度）、填空题13（性质与判定结合求角度），题量约40%| |中档层|判定条件辨析与性质综合（补充条件判定、对角线关系）|选择题4（添加条件不能判定）、填空题17（对角线条件判定），题量约35%| |提高层|综合应用与拓展（全等证明、面积计算、实际情境）|解答题18（角平分线与判定结合）、解答题22（平行四边形与勾股定理综合），题量约25%|

浙教版（2024）八年级下册暑假专题训练：平行四边形的判定定理 一、选择题 1.如图，由六个全等的正三角形拼成的图，图中平行四边形的个数是（　　） A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 2.在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠A的度数为（　　） A.60° B.70° C.80° D.90° 3.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　） ∵∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD， 又∵_____， ∴四边形ABCD是平行四边形．           A.∠B+∠C＝180° B.AB＝CD C.∠A＝∠B D.AD＝BC 4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB＝∠CBD，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.∠ABD＝∠CDB B.∠DAB＝∠BCD C.∠ABC＝∠CDA D.∠DAC＝∠BCA 5.如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　） A.红花、绿花种植面积一定相等 B.紫花、橙花种植面积一定相等 C.绿花、蓝花种植面积一定相等 D.蓝花、黄花种植面积一定相等 6.在四边形ABCD中，两组对边分别相等．若∠B＝70°，则∠C的度数为（　　） A.100° B.110° C.120° D.130° 7.如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，则图中平行四边形的个数为(    )    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图，在四边形ABCD中，ADBC，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　） A.AB＝CD B.∠ADB＝∠CBD C.AB＝AD D.∠A＝∠C 9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AO＝CO，添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.BO＝DO B.∠ABD＝∠ADB C.AC⊥BD D.AB＝CD 10.在四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③AD＝BC；④∠B＝∠D；⑤∠A＝∠C，其中能使四边形ABCD成为平行四边形的条件有（　　） A.5个 B.4个 C.3个 D.9个 11.如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC＝120°，则∠A的度数是（　　） A.100° B.110° C.120° D.125° 12.如图,在▱ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE＝CF,给出下列结论:①BE＝DF;②四边形EBFD是平行四边形;③AB＝DE;④AF＝CE;⑤S△ADE＝S△ABE.其中正确的个数是(　　) A.2    B.3      C.4    D.5 二、填空题 13.如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是　 　度． 14.如图，两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片部分重叠在一起，重叠部分为四边形ABCD.若AB＋BC＝6，则四边形ABCD的面积为____. 15.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，若AD＝4，BC＝7，则FG的长为 　 　． 16.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是      ． 17.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的有　　(填序号). 三、解答题 18.如图1，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E． （1）若AB＝6，求BE的长； （2）如图2，连接BF，过点D作DG⊥AE于点H，交AB于点G．求证：四边形BFDG是平行四边形． 19.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，且AE＝CF，DE，BF分别交AC于点G，H.求证： (1)DE∥BF. (2)AG＝CH. 20.如图，在矩形中，点在的延长线上，，求证：四边形是平行四边形． 21.如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE。求证: (1)△AFD≌△CEB。 (2)四边形ABCD是平行四边形。 22.如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AF＝DF，，AD＝，求BD的长． 浙教版（2024）八年级下册暑假专题训练：平行四边形的判定定理（参考答案） 一、选择题 1.如图，由六个全等的正三角形拼成的图，图中平行四边形的个数是（　　） A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 【答案】B 【解析】 根据等边三角形的性质，易判定EF∥AD∥BC，ED∥FC∥AB，CD∥BE∥AF，然后根据平行四边形的判定求解即可． 如图，可知，EF∥AD∥BC，ED∥FC∥AB，CD∥BE∥AF，有ED＝EF＝AF＝AB＝BC＝CD＝GE＝GF＝GA＝GB＝GC＝GD， ∴四边形EDGF，EDCG，FGBA，GCBA，EGAF，CDGB是平行四边形，共6个． 故选：B． 2.在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠A的度数为（　　） A.60° B.70° C.80° D.90° 【答案】A 【解析】 由AB＝CD，BC＝AD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证得四边形ABCD是平行四边形；根据平行四边形的对边平行，易得∠A+∠D＝180°，由∠D＝120°，即可求得∠A的度数为60°． ∵AB＝CD，BC＝AD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∵∠D＝120°， ∴∠A＝60°． 故选：A． 3.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　） ∵∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD， 又∵_____， ∴四边形ABCD是平行四边形．           A.∠B+∠C＝180° B.AB＝CD C.∠A＝∠B D.AD＝BC 【答案】B 【解析】 根据平行四边形的判定定理即可得到结论． ∵∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故选：B． 4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB＝∠CBD，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.∠ABD＝∠CDB B.∠DAB＝∠BCD C.∠ABC＝∠CDA D.∠DAC＝∠BCA 【答案】D 【解析】 利用平行四边形的判定定理逐步判定后即可确定答案． 由∠ADB＝∠CBD可以得到AD∥BC， ∴A、∠ABD＝∠CDB能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形； B、利用三角形的内角和定理能进一步得到∠ABD＝∠CDB，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形； C、能进一步得到∠CDB＝∠ABD，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形； D、不能进一步得到AB∥CD，所以不能判定四边形ABCD是平行四边形， 故选：D． 5.如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　） A.红花、绿花种植面积一定相等 B.紫花、橙花种植面积一定相等 C.绿花、蓝花种植面积一定相等 D.蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【解析】 根据平行四边形的性质可知GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，我们知道，一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，据此可从图中获得S黄＝S蓝，S绿＝S红，S（紫+黄+绿）＝S（橙+红+蓝），根据等量相减原理知S紫＝S橙，依此就可找出题中说法错误的． ∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD ∴GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形， ∴一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二， 得S黄＝S蓝，（故D正确） S绿＝S红，（故A正确） S（紫+黄+绿）＝S（橙+红+蓝）， 根据等量相减原理知S紫＝S橙，（故B正确） S绿与S蓝显然不相等．（故C错误） 故选：C． 6.在四边形ABCD中，两组对边分别相等．若∠B＝70°，则∠C的度数为（　　） A.100° B.110° C.120° D.130° 【答案】B 【解析】 由题意可得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形邻角互补即可求得答案． ∵四边形ABCD中，两组对边分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝70°， ∴∠C＝110°， 故选：B． 7.如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，则图中平行四边形的个数为(    )    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】 由已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线定理，可以推出EF∥AB且EF＝AD，EF＝DB，DF∥BC且DF＝CE，所以得到3个平行四边形． 已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点， ∴EF∥AB且EF＝AB＝AD，EF＝AB＝DB， DF∥BC且DF＝CE， ∴四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形， 故选C． 8.如图，在四边形ABCD中，ADBC，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　） A.AB＝CD B.∠ADB＝∠CBD C.AB＝AD D.∠A＝∠C 【答案】D 【解析】 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． A、由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意； C、由AD∥BC，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠C＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠ADC+∠A＝180°， ∴AB∥CD， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AO＝CO，添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.BO＝DO B.∠ABD＝∠ADB C.AC⊥BD D.AB＝CD 【答案】A 【解析】 由平行四边形的判定定理即可得出结论． 添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是BO＝DO，理由如下： ∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：A． 10.在四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③AD＝BC；④∠B＝∠D；⑤∠A＝∠C，其中能使四边形ABCD成为平行四边形的条件有（　　） A.5个 B.4个 C.3个 D.9个 【答案】B 【解析】 由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． ①∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； ②由AD∥BC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形； ③∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； ④∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； ⑤∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠C+∠B＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； 其中能使四边形ABCD成为平行四边形的条件有①③④⑤，共4个， 故选：B． 11.如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC＝120°，则∠A的度数是（　　） A.100° B.110° C.120° D.125° 【答案】C 【解析】 根据平行四边形对角相等，邻角互补即可解决问题． ∵AD＝CB，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∵∠ABC+∠ADC＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠A＝120°， 故选：C． 12.如图,在▱ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE＝CF,给出下列结论:①BE＝DF;②四边形EBFD是平行四边形;③AB＝DE;④AF＝CE;⑤S△ADE＝S△ABE.其中正确的个数是(　　) A.2    B.3      C.4    D.5 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB＝CD, ∴∠BAE＝∠DCF. ∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF(SAS), ∴BE＝DF,①正确. 同理,DE＝BF, ∴四边形EBFD是平行四边形,②正确. ∵AE＝CF,∴AF＝CE,④正确. ∵AB＝CD,AD＝BC,AC＝CA, ∴△ABC≌△CDA(SSS), ∴两三角形AC边上的高线长相等, ∴△ABE与△ADE同底等高, ∴S△ADE＝S△ABE,⑤正确. 已知条件无法证明AB＝DE,③错误. 综上所述,正确的是①②④⑤,共4个. 二、填空题 13.如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是　 　度． 【答案】 见试题解答内容 【解析】 由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，又由BE∥DF，即可证得四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠EDF的度数． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵BE∥DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴∠EDF＝∠EBF＝45°． 故答案为：45． 14.如图，两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片部分重叠在一起，重叠部分为四边形ABCD.若AB＋BC＝6，则四边形ABCD的面积为____. 【答案】4.5 【解析】由题意，得AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形． 如答图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， 　答图 ∴AE＝1，AF＝3，∴BC·AE＝AB·AF， ∴BC＝3AB. 又∵AB＋BC＝6， ∴AB＝1.5，BC＝4.5， ∴四边形ABCD的面积＝4.5×1＝4.5. 15.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，若AD＝4，BC＝7，则FG的长为 　 　． 【答案】 3． 【解析】 首先证明四边形ABFE，四边形DCGE均为平行四边形，从而得AE＝BF，DE＝CG，进而得BF+CG＝AD＝4，据此可得出FG的长． 根据平移的性质得：AB∥EF，CD∥EG， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABFE，四边形DCGE均为平行四边形， ∴AE＝BF，DE＝CG， ∴BF+CG＝AE+DE＝AD＝4， ∴FC＝BC﹣（BF+CG）＝7﹣4＝3． 故答案为：3． 16.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是      ． 【答案】 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定，然后结合平行四边形的性质证明即可． 如图所示，设与为两条铁轨，，，等均为枕木， 由题意，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可证，四边形等均为平行四边形， ∴ ∴保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了， ∴这样判断的依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 17.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的有　　(填序号). 【答案】①③④ 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC. 若BF＝DE，则BF－OB＝DE－OD， 即OF＝OE， ∴四边形AECF是平行四边形，①符合题意. ∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF. 若∠EAB＝∠FCD， 则在△ABE和△CDF中， ∵ ∴△ABE≌△CDF(ASA)， ∴BE＝DF. 又∵BO＝DO，∴OE＝OF. 又∵AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形，③符合题意. 若AF∥CE，则∠AFB＝∠CED， 在△ABF和△CDE中， ∵ ∴△ABF≌△CDE(AAS)， ∴BF＝DE， 同上易证四边形AECF是平行四边形，④符合题意. ∵通过AE＝CF不能判定△ABE≌△CDF， ∴不能判定四边形AECF是平行四边形，②不合题意. 综上所述，一定能判定四边形AECF是平行四边形的有①③④. 三、解答题 18.如图1，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E． （1）若AB＝6，求BE的长； （2）如图2，连接BF，过点D作DG⊥AE于点H，交AB于点G．求证：四边形BFDG是平行四边形． 【答案】 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠E， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAF＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠E， ∴BE＝AB＝6，即BE的长为6； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠DAF＝∠E， ∵F是CD的中点， ∴DF＝CF， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴AF＝EF， 由（1）可知，BE＝AB， ∴BF⊥AE， ∵DG⊥AE， ∴DG∥BF， 又∵DF∥BG， ∴四边形BFDG是平行四边形． 19.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，且AE＝CF，DE，BF分别交AC于点G，H.求证： (1)DE∥BF. (2)AG＝CH. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. 又∵AE＝CF，∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DE∥BF. (2)∵DE∥BF， ∴∠AEG＝∠ABF. ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH， ∴∠AEG＝∠CFH. 在△AEG和△CFH中， ∵ ∴△AEG≌△CFH(ASA)， ∴AG＝CH. 20.如图，在矩形中，点在的延长线上，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：四边形矩形， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 21.如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE。求证: (1)△AFD≌△CEB。 (2)四边形ABCD是平行四边形。 【答案】 证明:(1)∵DF∥BE, ∴∠DFE=∠BEF。 在△ADF和△CBE中, ∵ ∴△AFD≌△CEB(SAS)。 (2)由(1)知△AFD≌△CEB, ∴∠DAC=∠BCA,AD=BC, ∴AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形。 22.如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AF＝DF，，AD＝，求BD的长． 【答案】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝CB， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F， ∴AE∥CF，∠AED＝∠CFB＝90°， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形． （2）∵AF＝DF，＝，AD＝4， ∴EF＝AF＝DF， ∴AE＝＝＝DF，DE＝EF+DF＝DF+DF＝DF， ∵AD＝＝＝DF＝4， ∴DF＝5， ∴EF＝×5＝3， ∴BF＝DE＝DF+EF＝5+3＝8， ∴BD＝BF+DF＝8+5＝13， ∴BD的长为13． 学科网（北京）股份有限公司 $