第21章四边形 期末复习优生辅导训练题2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦四边形判定与性质，通过分层题型整合全等证明、辅助线构造等方法，构建从基础到动态综合的知识逻辑，培养逻辑推理与空间观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|单选1-3|特殊四边形判定条件辨析|平行四边形到特殊四边形的判定递进| |性质计算|填空8-11|面积转化与线段计算|性质与几何计算的融合| |动态综合|解答17-20|动点轨迹与分类讨论|静态性质到动态问题的拓展|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第21章四边形》 期末复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1.如图，在四边形ABCD中，BA=DA,BC=DC,对角线AC与BD相交于点O.若再 补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是() A.若补充“∠BAD=90°”，则四边形ABCD是矩形 B.若补充“ABCD”,则四边形ABCD是菱形 C.若补充“OA=OC”,则四边形ABCD是矩形 D.若补充“AC=BD”,则四边形ABCD是正方形 2.小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个 硬纸片的拼接处无空隙，不重叠.如图所示，则的值为() A.8 B.9 C.10 D.11 3.如图，在菱形ABCD中，连接AC,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点E,F,连接 DF.若∠B=108°，则∠AFD的度数为() A.118° B.108 C.98o D.72° 4.如图，在四边形ABCD中，AB=6,CD=8,点E,F分别是AD,BC的中点，连接 EF,则EF的取值范围是() A.6<EF<8 B.3<EF<8 C.2<EF<14 D.1<EF<7 5.在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形CDEF按如图所示的方式放置在x轴的上 方，其中A-4,2,D7,0,则点E的坐标为() D A.19,5 B.11,4 c.12,4 D.11,5 6.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，F是BC延长线上一点，连接EF交对角 线AC于点G,连接DG,若AE=CF,∠AGD=Q,则∠BEF=() 】 A.a 8名+45 C.2a-45° D.135°-a 7.如图，在平行四边形ABCD中，点F是边BC的中点，连接AF并延长交DC的延长线于 点E,连接BE,DP,下列结论中：①SAcD=SAEF:②若AB=AC,AF=BC,则四 边形ABEC是正方形：③若AB⊥AC,AB=2,AC=4,则DF的长为13，其中正确的 结论有() A D B F A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题 8.如图，口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为边AD上任意一点，若△AOB 的面积为6，则△BCE的面积为 E D 9.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,点E为AC上一点，BE=3,CE=5,则 △BOE的周长为 10.如图，用五面完全相同的平面镜围成一个正五边形ABCDE,有一束光线从AB上的点 M处射出，到达CD上的点N处，经平面镜CD反射后，反射光线为NH,根据光的反射原 理可得到∠CNM=∠DNH,若MN‖BC,则∠MNH= 11.如图，正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点，DF⊥AE,与AB交于点F,则 DF的长为 12.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示 菱形，并测得∠B=60°，对角线AC=4cm,接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中 对角线AC的长为 cm D B 图1 图2 13.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,∠BCD的平分线交AD于点E,M,N分 别是AB,BC上的动点，且BM=BN,P是线段CE上的动点，连接PM,PN.若 PM+PN=8,则PC的长为 14.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别为边BC和AB上的点，且 CE=BF,连接EF,过点E作EG⊥BC交AC于点G,点H为边AD上的点，连接GH, 若GH=EF,∠FEB=25°，则∠AHG的度数为 三、解答题 15.如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD和BC边上的点，且满足ED=BF, 连接BE、DF (1)求证：△EAB≌△FCD: (2)连接BD与EF交于点O,添加一个与线段BD有关的条件，使四边形BEDF为矩形， (不需要证明) 16.四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=∠EBF=60°，AB=BC. 图① 图② (1)如图①，若点E,F分别在AD,CD上，求证：EF=AE+CF; (2)如图②，若点E,F分别在AD,DC的延长线上，其余条件不变，请猜想线段EF,AE, CF之间有何数量关系？直接写出结论，不需要证明. 17.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,E为AB的中点，连接OE并延长至点 F,使FE=EO,连接AF,BF. (1)求证：四边形AOBF是菱形： (2)若AB=6,FO=10,求菱形AOBF的面积. 18.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点. D D E ① ② ③ 【探究】 (1)如图①，BE的延长线与AC边相交于点D,若AC=7,AB=4,那么EF= 2如图O,BE的延长线与AC边相交千点D,求证：EF=AC-AB. 【应用】 (3)如图②，试猜想线段AB、AC、EF之间的数量关系，并说明理由 【拓展】 (4)如图③，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F, AB=9,AC=5,则DF的长为 19.已知，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、 BC于点E、F,垂足为O 图1 备用图 (1)如图1，连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长； (2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周. 即点P自A一F一B一A停止，点Q自C→D→E一C停止.在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，当A、C、P、 Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值， ②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：cm,ab≠0)，已知A、C、P、Q四点为顶 点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式， 20.点E是正方形ABCD的边上一点，连接AE. D D M H G B 图1 图2 图3 K (1)发现：如图1，若点E为BC中点，EF⊥AE交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线 CF于点R,则有AE=EF;理由是：取AB的中点M,连接EM,根据两个三角形全等， 就可以得出AE=EF,请直接写出题中说的两个全等三角形， (2)推广：如图2，若点E为BC边上（不与点B、C重合）任意一点时，EF⊥AE交正方 形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F,线段AE与EF是否仍然相等，并证明你的结 论 (3)探究：如图3，若点E在边CD上（不与点C、D重合），EF⊥AE交正方形ABCD外 角∠BCK的平分线于F,过点F作FH⊥BC,垂足为H.试探究线段FH与DE的关系. 参考答案 1.B 解：当添加“∠BAD=90”，无法证明四边形ABCD是矩形，故选项A不正确； BA=DA,BC=DC, .AC垂直平分BD, 当添加“AB‖CD”,则∠ABD=∠BDC, :∠BDC=∠DBC, ∴.∠ABO=∠CBO, 在△ABO和△CBO中， ∠ABO=CBO BO=BO ∠BOA=∠BOC=90° ∴.△ABO≌△CBO ASA, ∴.BA=BC ∴.AB=BC=CD=DA, ∴.四边形ABCD是菱形，故选项B正确： 当添加“OA=OC”, .OB=OD ..四边形ABCD是平行四边形，， 又AC⊥BD ∴.四边形ABCD是菱形，故选项C不正确： 当添加“AC=BD”,无法证明四边形ABCD是正方形，故选项D不正确， 2.C 解：正五边形的内角和为：(5-2)×180°=540°， ,正五边形的每个内角相等， ∴.正五边形的每个内角度数为：540°÷5=108°. ,拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴.正m边形的一个内角度数为：360°-108°×2=144° 设正m边形的边数为m,根据多边形内角和公式可得：（(m-2)×180°=144°×m, 解得m=10. 3.B 解：如图所示，连接FB, D F B ,四边形ABCD是菱形， :∠BAF=∠DAF=号∠DAB,AD|BC,AB=AD, .∠DAB+∠ABC=180°， ,∠ABC=108°， :∠BAF=∠DAF=号x180-∠ABCl=36, 2 又：AF=AF, .△ADF≌△ABF SAS, ∴.∠AFD=∠AFB, ,EF垂直平分线段AB, ..AF=BF, .∠FAB=∠FBA=36 ∴.∠AFB=180°-2∠BAF=180°-72°=108°， .∠AFD=108°. 4.D 解：连接AC,取AC的中点G,连接EG,FG,如下图 D E G AE=DE AG=CG B BG-CD-×8=4 同理可得rG号AB号×6=-3. 在△EFG中，EG-FG<EF<EG+FG, 即1<EF<7 5.D 解：如图，分别过点A,C,E作X轴的垂线，垂足分别为G,H,M, B A-4,2 D Mx .AG=2,0G=4, ,四边形OABC是正方形， .∴.OA=OC,∠AOC=90, ∴.∠AOG+∠COH=90°. 又.·∠AOG+∠OAG=90, .∠COH=∠OAG 又，∠CHO=∠OGA, .∴.△CHO≌△OGA AAS, .∴.CH=OG=4,OH=AG=2, ∴.DH=7-2=5 同理可证△EMD≌△DHC AAS, ∴.EM=DH=5,DM=CH, .∴.0M=7+4=11, .E11,5. 6.D 解：连接DE,DF,连接CG,过点E作HE⊥AB交AC于点H, ,正方形ABCD,连接EF交对角线AC于点G, .∠B=∠BAD=∠BCD=90°，AD=DC,∠EAG=45°， .∠DCF=90°=∠BAD, 又.AE=CF, ,△ADE≌△CDF, .DE=DF. .HE⊥AB,∠EAG=45°， :.∠AEH=90°，△AEH为等腰直角三角形， .AE=EH. .EH=CF. ,∠AEH=90°=∠B, EH‖BC, .∠EHG=∠FCG, 又，∠EGH=∠FGC, .△EHG≌△FCG, .EG=FG. .DE=DF, .DG⊥EF, .∠EGD=90°， ,∠AGD=a, :.∠AGE=∠EGD-∠AGD=90°-Q, :∠BEF是△AEG的一个外角， ∠BEF=∠BAC+∠AGE=45°+90°-a=135°-a; 故选D, 7.D 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB‖CD,AD=BC. ∴.∠BAF=∠CEF,∠ABF=∠ECF, ,F为BC的中点， ∴.BF=CF .∴.△ABF≌△ECF AAS, ∴.AB=CE,AF=EF, AB‖CD “.四边形ABEC是平行四边形， .AF=EF, ∴.S△ABr=SABEF, .BF=CF,AD‖BC, ∴SACD=SA ABF, ∴S△CD=SA距F,故结论①正确； 若AB=AC,AF=BC时， .AB=AC, ∴.平行四边形ABEC是菱形 :AF=号BC,AF=EF, 2 ..AE=BC, ∴.平行四边形ABFC是矩形， ,四边形ABEC是正方形：故结论②正确： 取CE的中点H,连接FH, .AF=FE, HAC,FH=AC=3×4-2, 又，EC=AB=CD=2, .EH=CH=1, ∴.DH=CD+CH=2+1=3, ,AB⊥AC,ABCD, .∠ACE=∠BAC=90°， 又·FH‖AC .∠FHD=∠ACD=90, ,AC=4, DF=FH2+HD2=V2+32=V13:故结论③正确. 综上所述：正确的结论有①②③，故选D. 8.解：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相交于点O, ∴.OA=OC, ..SAABC=2SAAOB=2X6=12, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC, ,点E到BC的距离等于点A到BC的距离， .∴.△BCE与△ABC同底等高， ..SABCE=SAARC=12. 9.解：四边形ABCD为矩形， .OC-AC,OB=BD,AC=BD. ..OB=OC, ∴.△BOE的周长=BE+BO+OE=BE+OC+OE=BE+OC+OE=BE+CE=3+5=8. 10.解：五边形ABCDE是正五边形， ·∠BCD=5-2×180 =108°， 5 :MN‖BC, .∴.∠CNM=180°-∠BCD=72° .∠CNM=∠DNH=72, ∴.∠MNH=180°-∠CNM+∠DNH=180°-72°+72°=36° 11.解：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠DAF=∠B=90°，BC=AB=AD=6, ∴.∠AFD+∠ADF=90°， E是BC的中点， .BE=3, ·AE=VAB2+BE=35 .DF⊥AE, .∠AFD+∠BAE=90, .∠ADF=∠BAE .△ADF≌△BAE ASA, ..DF=AE=35. 12.解：如下图所示，连接AC, .菱形ABCD中∠B=60°，AB=CB, ∴.△ABC是等边三角形， '.AC=4cm, ∴.AB=BC=4cm, .∴.正方形ABCD的边长为AB=BC=CD=AD=4cm, .AC=AB2+BC2-V42+42=492cm 图1 图2 13.解：.四边形ABCD是矩形， .CD=AB=6,∠BCD=∠ADC=90°， ∠BCD的平分线交AD于点E, :.∠DCE=∠BCE=∠BCD=45, 2 如图1，在CD上取点N,使CN=CN,连接PN,MN, E D(N) .∴.PM+PN=PM+PN=8=BC 图1 AB‖CD,BC⊥AB, ∴.AB与CD的距离为8， ∴.MN⊥AB, ∴.MN BC, 如图2，则四边形BCNM是矩形， A D M ∴.BM=CN∠CPN=∠PCN=45 W 图2 .∴.∠CPN=∠PCN=45, ∴.PN=CN, .PN⊥CN,PN⊥BC,∠NCN=90, .四边形PNCN为正方形， .PM⊥AB,PN⊥BC,∠B=90°， ∴.四边形MBNP为矩形， .BN=BM, ∴.四边形MBNP为正方形， A D M ∴.PN=CN=CN=BM=BW N 图2 CN+BN=BC=8, ∴.CN=BN=4, ∴.PN=CN=CN=4, 由勾股定理得PC=PN2+CN7=4+4=42 故答案为：4V2 14.解：连接FG,延长EG交AD于点Q,如下图所示： D G ,四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴.∠GCE=45°，∠B=∠BAD=∠D=90°，AB=BC, ,EG⊥BC, .∠CGE=180°-∠GEC-∠GCE=45°=∠GCE,∠GEC=∠B=90°， .CE=≥U,AB‖GE ..=BF, ∴四边形BFGE是平行四边形， :∠B=90, .四边形BFGE是矩形， ∴BE=GF,∠AFG=∠BFG=∠FAQ=∠FGQ=90°， ∴∴.四边形AFGQ是矩形， .CE=BF .AB-BF=BC-CE, ∴AF=BE, .BE=AF. ..AF=GF, .四边形AFGQ是正方形， ∴.GQ=GF=BE,∠GQA=90°， 在Rt△EBF和Rt△GQH中，EF=GH,BE=GQ, .Rt△EBF≌Rt△GQH HL, .∠HGQ=∠FEB=25°， .∠AHG=∠GQH+∠HGQ=90°+25°=115°， 故答案为：115° 15.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD=BC,∠A=∠C, .ED=BF, .AD-ED=BC-BF,EAE=CF, 在△EAB和△FCD中， AB=CD ∠A=∠C AE=CF ∴.△EAB≌△FCD|SAS: (2)解：添加条件为：BD=EF, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,即ED‖BF, .ED=BF, ∴.四边形BEDF为平行四边形， .BD=EF, 四边形BEDF为矩形 16.(1)证明：如图，延长DA到G,使AG=CF,连接BG, 则∠BAG=∠BAD=∠C=90°， G 在△ABG和△CBF中 AB=BC ∠BAG=∠C AG=CF ∴.△ABG≌△CBF SAS, ∴.BG=BF,∠CBF=∠ABG, .∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=60°， ∴.∠ABC=360°-90°×2-60°=120°， .∠EBF=60° ∴.∠EBG=∠ABG+∠ABE=∠CBF+∠ABE=∠ABC-∠EBF=120°-60°=60° ∴.∠EBG=∠EBF, 在△BEF和△BEG中， BG=BF ∠EBG=∠EBF BE=BE ∴.△BEF≌△BEG SAS, ∴.EF=EG, 由图可知，EG=AE+AG, .EF=AE+CF (2)解：AE=EF+CF, 证明：如图，在AE上截取AG=CF,连接BG, B 图2 在△ABG和△CBF中， AB=BC ∠A=∠BCF=90°， AG=CF ∴.△ABG≌△CBF SAS, ∴.BG=BF,∠CBF=∠ABG, ,∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°， ∴.∠ABC=360°-90°×2-60°=120°， .∠EBF=60, ∴.∠EBG=∠ABC-∠ABG-∠CBE=∠ABC-∠CBF-∠CBE=∠ABC-∠EBF=120°-60°= ∴.∠EBG=∠EBF, 在△BEF和△BEG中， BG=BF ∠EBG=∠EBF, BE=BE .∴.△BEF≌△BEG SAS, ∴.EF=EG, 由图可知，AE=≥+AG, .AE=EF+CF. 17.(1)证明：：E为AB的中点， ∴.AE=BE. FE=EO, .四边形AOBF是平行四边形， ,四边形ABCD是矩形， .AC=BD,AO=IAC,BO=BD. 2 .'.AO=BO .平行四边形AOBF是菱形. (2)解：.AB=6,F0=10, ∴菱形A0BF的面积=号P0AB=×10×6=30。 18.(1)解：.AE平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠DAE, ,BE⊥AE于点E, .∠BEA=∠DEA=90°， 在△ABE和△ADE中， ∠BAE=∠DAE AE=AE ∠BEA=∠DEA .△ABE≌△ADE ASA, ..BE=DE,AB=AD, ..BF=FC, .EF是△BCD的中位线， .EF-DC=(AC-AD]-(AC-AB). ,AC=7,AB=4, ..BF=3 (2)证明：，AE平分∠BAC, .∠BAE=∠DAE, ,BE⊥AE于点E, ∴.∠BEA=∠DEA=90°， 在△ABE和△ADE中， ∠BAE=∠DAE AE-AE ∠BEA=∠DEA .△ABE≌△ADE ASA, ..BE=DE,AB=AD ..BF=FC, ∴，EF是△BCD的中位线， .EF=DC=IAC-ADI-(AC-ABI. (3)解：如图②中，延长AC交BE的延长线于P A B E ② ,AE⊥BP ∴.∠AEP=∠AEB=90, .∠BAE+∠ABE=90°，∠PAE+∠APE=90°， ,∠BAE=∠PAE, .∠ABE=∠APE ..AB=AP, :AE⊥BP, ,E为BP的中点， ..BE=PE, :点F为BC的中点， .BF=FC, .EF是△BCP的中位线， EF-]PG-](AP-AG)-(AB-AGh, (4)解：如图③，延长CF交AB于G, G D E ③ ,AE是角平分线，CF⊥AE, ∴.∠GAF=∠CAF,∠AFG=∠AFC=90°， 又AF=AF, ∴.△AFG≌△AFC ASA ..AG=AC=5,CF=GF, ∴.BG=AB-AG=9-5=4. :AD是中线， .BD=CD, .DF是△BCG的中位线， DF=BG=×4=2 19.(1)解：：四边形ABCD是矩形， .AD‖BC, ∴.∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE. ,EF垂直平分AC,垂足为O, ∴.OA=OC .△AOE≌△COF AAS, ..OE=OF, ∴四边形AFCE为平行四边形， 又.EF⊥AC, ∴.四边形AFCE为菱形 设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=8-xcm, 在Rt△ABF中，AB=4cm, 由勾股定理得42+8-x=x2” 解得x=5, ∴.AF=5cm. (2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上， 此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF上， Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形. 因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA, :点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒， .PC=PF+PC=PF+AF=5t,QA=CD+AD-4t=12-4t,QA=12-4t, ∴.5t=12-4t 解得t=4 以4、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t三秒， ②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上， 分三种情况： 1)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12: ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12: ii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12. 综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12ab≠0. B P 图1 图2 图3 20.(1)解：△MAE和△CEF,理由如下： ,四边形ABCD是正方形， D M .∴.AB=BC∠B=90° B E C ,点E为BC的中点，点M为AB的中点， ∴.AM=BM=BE=CE, .∠BME=∠BEM=45°， .∴.∠AME=135 又：'EF交正方形外角的平分线CF于F, .∴∠AME=∠ECF=135°， :AE⊥EF, ∴.∠AEB+∠FEC=90, .∠BAE+∠AEB=90, .∴.∠FEC=∠BAE, ∠FEC=∠BAE 在△MAE和△CEF中： AM=CE ∠AME=∠ECF .∴△MAE≌△CEF ASA, .'AE=EF; (2)解：AE=EF仍然成立，证明如下： 在AB上截取AH=EC,连接EH, G 图2 正方形ABCD中，AB=BC,∠B=∠BCD=90° ∴.AB-AH=BC-EC,即HB=BE ∴.△BEH为等腰直角三角形， .∠BHE=45°，∠AHE=180°-45°=135° ,CF平分∠DCG,∠DCG=90°， .∴.∠FCG=45°， .∠ECF=180°-45°=135°， ∴.∠AHE=∠ECF, ,EF⊥AE, ∴.∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠FEC=90, 又.'∠AEB+∠HAE=90°， .∴.∠HAE=∠CEF .△HAE≌△CEF ASA, ∴.AE=EF； (3)FH=DE,理由如下： 在AD上截取DG=DE,连接EG, AG D E C K 图3 同理可证△GAE≌△CEF,i=CF, 又因为△GDE和△CFH均为等腰直角三角形， .GE2=DG2+DE2=2DE2,CF2=FH2+HC2=2FH2, .2FH=2DE2, 所以FH=DE.