第20章勾股定理 期末复习优生辅导训练题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过基础判断、综合计算、实际建模及探究创新模块，系统整合逆定理应用、分类讨论、图形变换等解题方法，构建“概念-推理-应用”逻辑链条，培养几何直观与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-4题|逆定理判断|概念辨析→直角三角形判定| |综合拓展|单选5-7及填空8-12题|分类讨论/图形展开/对称化归|性质应用→复杂图形边长计算| |实际建模|解答15-18题|建模计算/垂线段最短|实际抽象→距离与高度问题解决| |探究创新|解答19-20题|赵爽弦图/构造全等|拓展迁移→定理证明与综合应用|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第20章勾股定理》 期末复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件中，不能说明是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．在中，是边上高，若．且满足，则长为（     ） A． B． C．或 D．或 3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线分别与边、相交于点、．若为的中点，，，则的面积为（     ） A．24 B．22 C．20 D．48 4．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是（    ） A．15 B．9 C．10 D．21 5．如图，在中，过点A作，过点C作，两垂线相交于点D，且．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，长方体的长、宽、高分别为．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 7．如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若的三边长分别为a，b，c，且满足，则的面积为___． 9．在中，，，，以为边向外作，使．当为等腰三角形时，边的长为____． 10．如图，数轴上点A，点O分别表示和0，，且，以点A为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴相交于点C，则点C表示的数为______________． 11．如图，小辰将一条橡皮筋放在直线上，固定两端和，然后从中点竖直向上拉起至点，此时橡皮筋的长度比原长伸长了，则橡皮筋原长______． 12．如图，在中，，，、分别是线段、上的两个动点，则的最小值为_____________ ． 13．绍兴舰在中俄舰艇编队开展联合演习中从点A处出发，以20海里/小时的速度沿北偏东方向航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度沿南偏东方向航行1.5小时到点C处，则________海里． 14．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题 15．某小区的两个喷泉，的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)____________； (2)求供水点到喷泉的距离； (3)请求出喷泉到小路的最短距离． 16．如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为和，，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有，求环卫车的行驶速度为多少？ 17．如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． (1)求的度数； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 18．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 19．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 20．在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 参考答案 1．解：A.∵ ， ∴ ，符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形，不符合题意； B.∵ ，， ∴ ，即，能判定是直角三角形，不符合题意； C.设，由得，， ∵ ， ∴ ，解得， 则最大角不是，不是直角三角形，符合题意； D.设，，（）， ∵ ，符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形，不符合题意. 2．解：是边上的高， ， ∵在中，，， ∴， ， ， ① 如图，当点在线段上时，， ∴； ② 如图，当点在线段的延长线上时，， ∴． 综上所述：的长为或． 3．解：由作图可知，垂直平分， ，， ， . 为的中点， ， 与是等底同高，即面积相等， . 4．解：∵正方形A、C、D的面积依次为5、6、20， ∴ ∴ 故选：B． 5．解：如图，将绕点A逆时针旋转得，连接， ∴，，， ∴， ∴， 在中， ， 在中，， ∴， 解得． 6．解：如图将正面与右面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， 如图将下底面与后面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， 如图将下底面与右面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， ∴从处爬到处的最短路程是． 7．解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 8．解：∵，且， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，直角边为和， ∴的面积． 9．解：∵在 中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴，， 分三种情况讨论： 情况1：当时，可得，符合题意； 情况2：当时，则， 过点作，交直线于点， 在中， ， ， 中，， ∵等腰三角形三线合一， ∴ ，符合题意； 情况3：当时，过点作，交直线于点，设， 在中， ， ， 可得 ， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得 ， 解得（∵，∴负根舍去），符合题意． 综上，的长为或或． 10．解：由题意可知：， ， ， 点，点分别表示和0， ， 由勾股定理得：， ， 设点表示的数为， ， 点表示的数为， 故答案为：． 11．解：根据题意可知，，且，， 设，则， 根据勾股定理得，， 即， 解得， ∴， ∴． 12．解：如下图所示，作点关于的对称点，过点作交于点， 由对称可知， ， 由垂线段最短，可知当时的值最小， ，， ， ， ， ， 由对称可知， ， ， ， ， 的最小值为. 13．解：如图，由题意可知，，， ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∵绍兴舰从点A处出发，以20海里/小时的速度航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度航行1.5小时到点C处， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）． 14．解：由勾股定理可得：， 由题意可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由图形可得：图中阴影部分的面积为． 15．（1）解：∵是点到的距离， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵的长为， ∴， 在中，， ∴， 答：供水点到喷泉的距离为； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴喷泉到小路的最短距离为的长，即， 答：喷泉到小路的最短距离为． 16．（1）解：学校会受噪声影响，理由如下： 如图，过点作于， ，，， ． 是直角三角形，． ， ， 即， ， 环卫车周围以内为受噪声影响区域， 学校会受噪声影响． （2）解：如图，当，时，正好影响学校， ， ， 环卫车噪声影响该学校持续的时间有， 环卫车的行驶速度为：， 答：环卫车的行驶速度为． 17．（1）解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， 在中，有， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）这辆车不能被摄像头监控到，理由如下： 过点D作，交的延长线于M， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 即点M为摄像头能监控的最远位置， 在中，， ∵车到点B离为，， ∴车到点A离为， ∵， ∴这辆车不能被摄像头监控到． 18．（1）解：根据题意可得，米，米，米， ∴在中，（米）， （米）， 答：B处与地面的距离是21米； （2）解：由题意得米． 米，（米）， （米）， （米）， 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为6米． 19．（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）解：设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：略. 20．（1）解：∵，，即， ∴在中：， ∵在中， ∴在中， ∴； （2）解：仍成立； 理由：∵中，， ∴； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形 ， ∴， 代入得：， 又中， ∴，原关系仍成立； （3）解：∵ ∴，， 按照前两问构造：过作，且，连接， 同（）可证， 得， ∵，， ，即是直角三角形， 在中：， ∴， 又∵等腰中，代入得，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $