精品解析：四川广安市加德学校2025-2026学年高一领航班下学期第二次月考数学试题

广安加德学校2025—2026学年度下期高2025级领航班第二次月考 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，，进而可求. 【详解】由，则， 因为，则，所以. 故选：C. 2. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，即可求解. 【详解】因为，， ， 所以. 故选：A. 3. 已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义，在方向上的投影向量为，代入计算即可. 【详解】根据定义，在方向上的投影向量为. 故选：B. 4. 如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可. 【详解】由图知， . 故选：D. 5. 使得为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解为真命题时范围，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】若为真命题，则时，， 而，故当时，取到最小值2，故， 因此所求的充分不必要条件的范围应是的真子集，故选项中只有满足条件， 故选：B 6. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式与和差角的正切公式化简计算，再根据正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】因， ， ， 又因函数在第一象限是增函数，故，即. 故选：C. 7. 如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算可得，由数量积的定义可得，，当取最大值时，取得最大值当与同向时，取得最大值为，代入求解即可． 【详解】因为， ， ， 所以 即当取最大值时，取得最大值． 当与同向时，取得最大值为， 此时，取得最大值． 故选：C． 8. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（ ） A. 当时，矩形为正方形 B. 当时， C. 面积的最大值为 D. 矩形面积的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，利用三角函数的定义求出相关边长可判断A项；对于B，C，D项，通过表示出相关边长，利用二倍角公式，三角恒等变换进行化简，将其化成正弦型函数，利用正弦函数的图象性质即可求出最值. 【详解】对于A， ， ，则， ， ，则，故A错误； 对于B，当时， ，，， 则，故B错误； 对于C，由B项已得，， 因，则，故当，即时，取得最大值为，故C错误； 对于D，由B项已得，， 则 ， 因，则，故当，即时，取得最大值为，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中，所有正确的结论是（　　） A. 若，则 B. 命题的否定是： C. 若且，则 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、特称命题的否定、作差法比较大小以及恒成立问题的求解方法，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于选项A： 因为，所以. 因为，所以，即，所以A正确； 对于选项B： 特称命题的否定是全称命题，对于命题的否定是： ，所以B正确； 对于选项C： ，因为， 所以，所以， 所以，所以C正确； 对于选项D： 因为时，恒成立，即恒成立. 根据基本不等式的性质， 所以要使得不等式恒成立，则，所以D错误. 故选：ABC. 10. 已知正数，满足，则下列各选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合基本不等式及求解判断各选项即可. 【详解】对于，因为，得， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故正确； 对于B，由，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为2，故C错误； 对于D，由， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为8，故D正确. 故选：ABD. 11. 函数的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 是奇函数 D. 若在上有且仅有两个零点，则实数 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将函数式化成，结合图象确定值即得函数解析式. 对于A，运用周期公式可排除； 对于B只需将代入检验即得； 对于C，求出解析式利用奇偶性定义即可判断； 对于D，应将看成整体角，求出的范围，借助于正弦函数的图象即可求得参数的范围. 【详解】， 由图知函数经过点，则得，解得， 即，因，故得，，则有. 对于A，因的最小正周期为，故A错误； 对于B， ， 因时，，此时函数取到最大值，故的图象关于直线对称，即B正确； 对于C，，显然这是偶函数，不是奇函数，故C错误； 对于D，，当时，设， 作出在上的图象如图. 依题意,需使,即，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，其中．若共线，则___． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线得到方程，求出，进而求出模长. 【详解】因为共线，所以，解得， 故. 故答案为： 13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，且时，盛水筒与水面距离为2.25米，当筒车转动20秒后，盛水筒与水面距离为______米． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据时，盛水筒与水面距离为2.25米得到，然后求时的即可. 【详解】因为时，盛水筒与水面距离为2.25米，所以，即， 又，则， 当时，. 故答案为：. 14. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的单调性，利用整体法即可求解. 【详解】， 由于，则， 故, 解得，由得， 故，， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知平面向量，向量，且，若向量与平行，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）;（2） 【解析】 【分析】（1）根据求得，再由与平行建立方程，求解即得； （2）先利用同角的三角函数关系式求出与的值，再进行拆角利用差角公式计算即得. 【详解】（1）因，可得，， 则由可得，解得，故， ，， 由向量与平行可得：，解得； （2）因， 则，且，， 故 . 16. 设集合，若关于的不等式的解集为. （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式的解集，其中. 【答案】（1）详见解析； （2）或. 【解析】 【分析】（1）先化简集合A，再根据关于的不等式的解集为，利用根与系数的关系求解； （2）由（1）化简不等式为求解. 【小问1详解】 解：集合， 因为关于的不等式的解集为， 所以 ， 则； 【小问2详解】 由（1）知：关于的不等式即为： ，即为， 即为， 解得：或， 所以不等式的解集为：或. 17. 已知. （1）若函数的周期为，求的单调递减区间； （2）若函数在区间上有且仅有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的周期公式求出的值，再根据正弦型函数的单调递减区间计算即可得出结果； （2）先利用三角函数的诱导公式将化简，然后根据函数零点的情况，结合函数在给定区间上的图象来确定的取值范围. 【小问1详解】 已知函数的周期,由周期公式,解得：， 所以 令，解得， 所以函数的单调递增区间为 【小问2详解】 函数 在区间上有且仅有两个零点， 即曲线在区间上有且仅有两个零点， 由，设，则 要使在区间上有且仅有两个零点，则， 解得：， 所以的取值范围是 18. 已知函数的图象关于点中心对称． （1）求实数a的值： （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的平移性质，结合函数的对称性进行求解即可； （2）根据函数的单调性定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可； （3）根据函数的对称性和单调性进行求解即可. 【小问1详解】 因为函数，的图像关于点中心对称， 所以该函数向下平移一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称， 即函数的图像关于点中心对称， 因此函数是奇函数， 于是有，即， 因为， 所以是奇函数，因此符合题意； 【小问2详解】 函数是增函数，理由如下： 因为，所以， 设是任意两个实数，且， ， 因为，所以，因此， 所以函数是增函数； 【小问3详解】 因为函数，的图像关于点中心对称， 所以，即， 所以由， 因为函数是增函数， 所以，或， 解得，或， 因此原不等式的解集为. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有非零向量的“相伴函数”构成的集合为S． （1）设，试求函数的相伴向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且时，的值； （3）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）  【解析】 【分析】（1）将变形成的形式，根据相伴向量的定义可得； （2）根据相伴函数的定义，得到的解析式， 求得，结合同角三角函数关系式和两角和差的正弦公式可得的值； （3）根据相伴函数的定义及辅助角公式，求得取最大值时的取值，，即可用表示出，进而将表示成的函数，即可求得其取值范围. 【小问1详解】 ， 所以. 所以函数的相伴向量； 【小问2详解】 由向量的相伴函数为，得. 当时，. 当时，，所以. 所以； 【小问3详解】 已知点满足：，向量的“相伴函数”，其中. 当时，取得最大值. 因为在处取得最大值，所以，所以. 令，则. 当时，，，所以无意义； 当时，. 令，因为在上单调递增，且时，. 则，所以，所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2025—2026学年度下期高2025级领航班第二次月考 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（ ） A. B. C. D. 5. 使得为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（ ） A. 当时，矩形为正方形 B. 当时， C. 面积的最大值为 D. 矩形面积的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中，所有正确的结论是（　　） A. 若，则 B. 命题的否定是： C. 若且，则 D. 若，则实数的取值范围为 10. 已知正数，满足，则下列各选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为8 11. 函数的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 是奇函数 D. 若在上有且仅有两个零点，则实数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，其中．若共线，则___． 13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，且时，盛水筒与水面距离为2.25米，当筒车转动20秒后，盛水筒与水面距离为______米． 14. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知平面向量，向量，且，若向量与平行，求的值； （2）已知，求的值． 16. 设集合，若关于的不等式的解集为. （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式的解集，其中. 17. 已知. （1）若函数的周期为，求的单调递减区间； （2）若函数在区间上有且仅有两个零点，求的取值范围. 18. 已知函数的图象关于点中心对称． （1）求实数a的值： （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）解关于x的不等式． 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有非零向量的“相伴函数”构成的集合为S． （1）设，试求函数的相伴向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且时，的值； （3）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $