四川广安市加德学校2025-2026学年高一领航班下学期第二次月考数学试题

**基本信息** 以筒车文化情境和“相伴函数”创新定义为载体，融合向量、三角函数等核心知识，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量投影、三角函数求值|基础概念辨析，如第3题向量投影考查数学眼光| |多选|3/18|不等式性质、函数零点|多维度能力考查，如第11题结合图像分析函数性质| |填空|3/15|筒车模型、向量共线|文化情境应用，第13题筒车体现数学语言表达| |解答|5/77|创新定义、函数单调性|综合探究，第19题“相伴函数”考查数学思维与创新意识|

广安加德学校2025—2026学年度下期高2025级领航班第二次月考 数 学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则（　　） A B. C. D. 3. 已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（ ） A. B. C D. 5. 使得为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（ ） A. 当时，矩形为正方形 B. 当时， C. 面积的最大值为 D. 矩形面积的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中，所有正确的结论是（　　） A. 若，则 B. 命题的否定是： C. 若且，则 D. 若，则实数取值范围为 10. 已知正数，满足，则下列各选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为8 11. 函数图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 是奇函数 D. 若在上有且仅有两个零点，则实数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，其中．若共线，则___． 13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，且时，盛水筒与水面距离为2.25米，当筒车转动20秒后，盛水筒与水面距离为______米． 14. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是__________ 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知平面向量，向量，且，若向量与平行，求的值； （2）已知，求的值． 16、 设集合，若关于的不等式的解集为. （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式的解集，其中. 17. 已知. （1）若函数的周期为，求的单调递减区间； （2）若函数在区间上有且仅有两个零点，求的取值范围. 18. 已知函数，的图像关于点中心对称. （1）求实数值：（2）探究的单调性，并证明你的结论； （3）解关于的不等式. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． （1）设，试求函数相伴向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且时，的值； （3）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 参考答案 1-8.CABD BCCD 9-11.ABC ABD BD 12. 13. 14. 15. 【详解】（1）因，可得，， 则由可得，解得，故， ，， 由向量与平行可得：，解得； （2）因， 则，且，， 故 . 16、 （1）解：集合， 因为关于的不等式的解集为， 所以 ， 则； （2）由（1）知：关于的不等式即为： ，即为， 即为， 解得：或， 所以不等式的解集为：或. 17. （1）已知函数的周期,由周期公式,解得：， 所以 令，解得， 所以函数的单调递增区间为 （2）函数 在区间上有且仅有两个零点， 即曲线在区间上有且仅有两个零点， 由，设，则 要使在区间上有且仅有两个零点，则， 解得：， 所以的取值范围是 18. （1）因为函数，的图像关于点中心对称， 所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称， 即函数的图像关于点中心对称， 因此函数是奇函数， 于是有，即， 因为， 所以是奇函数，因此符合题意； （2）因为，所以， 设是任意两个实数，且， ， 因为，所以，因此， 所以函数是增函数； （3）因为函数，的图像关于点中心对称， 所以，即， 所以由， 因为函数是增函数， 所以，或， 解得，或， 因此原不等式的解集为. 19. （1）因 ， 所以，函数的相伴向量. （2）向量的相伴函数， 令，即， ，， ， ． （3）的“相伴函数”， 因为在处取得最大值， 所以当，即时，有最大值， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 令，则， 因为均为上的单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以， 所以，， 所以取值范围为． ( 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 $