期末复习：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦向量几何表示、数量积运算及坐标化应用，以区域典型考题构建三阶递进训练体系，强化数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用基底表示向量|8题（4例+4变式）|选择/填空，含平行四边形、三角形中线/三等分点|从几何直观到基底分解，培养向量线性运算的抽象表达| |平面向量的数量积|11题（6例+5变式）|选择/填空/解答，涉及夹角、投影、模长及参数范围|通过定义与性质应用，建立向量数量关系的代数表征| |平面向量的坐标运算|15题（8例+7变式）|选择/填空/解答（含多选），覆盖坐标运算、垂直/共线判定|实现向量运算坐标化，构建几何问题代数化的解决路径|

期末复习：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 期末复习：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 考点目录 用基底表示向量 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 用基底表示向量 例1．（24-25高二下·福建福州·期末）在平行四边形中，是对角线的交点，，则（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）已知为所在平面内一点，且，则可表示为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 例4．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，是的中点，与交于点，若，则___________． 变式1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）在中，点在边上，．记，，则 （   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·上海·期中）已知中，，若，，则用、表示_______. 变式4．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 考点二 平面向量的数量积 例1．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·北京·三模）已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）设，为单位向量，在上的投影向量为，则_____ 例4．（2026·山东·模拟预测）在 中， ， ，则 的值为_____. 例5．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知向量与的夹角为，，． (1)求的值； (2)设向量与的夹角为，求的值． 例6．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）已知向量，满足 ， ，且，的夹角为. (1)求； (2)若，求实数 的值； (3)若向量与向量的夹角为锐角求实数的取值范围. 变式1．（2026·全国二卷·高考真题）已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·广东·阶段检测）已知向量，，满足，，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·上海徐汇·月考）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为__________. 变式4．（25-26高一下·上海浦东·月考）已知向量与的夹角为 ， ， ，求： (1)； (2)若，求实数的值． 变式5．（24-25高一下·福建厦门·阶段检测）已知向量的夹角为 (1)求 (2)求 ; (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 考点三 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知向量，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 例2．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．2 例3．（25-26高一下·河南·月考·多选）已知向量，，则下列说法正确的是（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 例4．（25-26高一下·四川泸州·月考·多选）已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量为 D．若向量满足，则 例5．（25-26高一下·河北·期中）已知平面向量，满足，，若，则________． 例6．（25-26高一下·广东惠州·月考）已知向量，，则在上的数量投影为_____． 例7．（25-26高一下·陕西汉中·阶段检测）已知向量. (1)求向量的夹角的余弦值； (2)若与垂直，求实数的值. 例8．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知向量 ，. (1)当 时，证明： ，； (2)当时，证明：为定值. (3)当时，若与的夹角为锐角，求y的取值范围. 变式1．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）平面向量，，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·江苏镇江·月考·多选）已知向量，，则（    ） A． B．与夹角为 C． D．与共线的一个单位向量为 变式4．（25-26高一下·河南周口·月考·多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（     ） A． B．与可以作为所在平面的一组基底 C． D． 变式5．（25-26高一下·福建漳州·期中）已知向量，，，若实数满足，则__________． 变式6．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知向量，，若，则______． 变式7．（25-26高一下·山东聊城·阶段检测）已知向量． (1)证明：为定值． (2)当时，求与的夹角． (3)求函数的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 期末复习：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 考点目录 用基底表示向量 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 用基底表示向量 例1．（24-25高二下·福建福州·期末）在平行四边形中，是对角线的交点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 所以 例2．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）已知为所在平面内一点，且，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量减法法则把拆成的线性组合，整理后即得． 【详解】因，， 由，可得， 整理得． 例3．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算将转化为和的线性组合，对比系数即可求得的值. 【详解】 因为点是边上靠近点的三等分点，所以. 所以 ， 又，且与不共线， 由平面向量基本定理可知，. 例4．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，是的中点，与交于点，若，则___________． 【答案】 【分析】将往上思考，再根据与的关系和三点共线的性质求出m，n最后得出答案. 【详解】由题知，，， 设, 因为三点共线，所以，解得，则， 故. 变式1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）在中，点在边上，．记，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算法则，结合线段的比例关系，将用和表示后整理求解即可. 【详解】点在边上，，可得. 所以， 即，所以. 变式2．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】矩形中，，分别为，的中点，为中点， 故 . 变式3．（25-26高一下·上海·期中）已知中，，若，，则用、表示_______. 【答案】 【分析】根据向量的加法、减法及数乘运算求解即可. 【详解】由，得. 所以. 变式4．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 【答案】 【详解】在平行四边形中，，对角线交点是中点， 因此， 因为是的中点，所以， ， ，得，，因此. 考点二 平面向量的数量积 例1．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简向量等式得到，然后数形结合，找到向量的终点轨迹，由圆上的点到直线的最短距离即可求得结果. 【详解】由分解因式得，则， 如图取，则，则， 以为直径作圆，则的终点在圆上， 作，则在射线上，的起点在射线，终点在圆上， 要求的最小值，即求圆上的点到直线的距离. 过点作线段于点，交圆于点， 即的最小值为. 例2．（2026·北京·三模）已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，化简可得， ，代入可得， 因为向量与向量都是非零向量， 所以向量与向量垂直，即夹角为. 例3．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）设，为单位向量，在上的投影向量为，则_____ 【答案】 【详解】因为在上的投影向量为，所以，又为单位向量，所以， 所以. 例4．（2026·山东·模拟预测）在 中， ， ，则 的值为_____. 【答案】 【分析】取的中点为，连接，利用向量的投影向量大小即可求解. 【详解】取的中点为，连接， 由，所以， 所以在上的投影向量的大小为， 所以. 例5．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知向量与的夹角为，，． (1)求的值； (2)设向量与的夹角为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的模长公式计算即可； 根据向量的数量积公式及向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 又因为， 所以. 例6．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）已知向量，满足 ， ，且，的夹角为. (1)求； (2)若，求实数 的值； (3)若向量与向量的夹角为锐角求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先计算，再利用模的公式计算即可； （2）根据垂直的数量积表示，列方程求参数即可； （3）由向量夹角为锐角，则，注意排除夹角为0的情况． 【详解】（1）， 则； （2）， ， 解得； （3）向量与向量的夹角为锐角， ， 解得或， 又无解，即向量与向量不共线， 故实数的取值范围为或． 变式1．（2026·全国二卷·高考真题）已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 变式2．（25-26高一下·广东·阶段检测）已知向量，，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得，， 两式相减得，即， 又由，，得， 即， 故． 变式3．（25-26高一下·上海徐汇·月考）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为__________. 【答案】 【详解】 ，可得， 展开得，即 由可得， 展开得， 因为，代入化简得 ， 所以， ， 则， 因为 ，所以. 变式4．（25-26高一下·上海浦东·月考）已知向量与的夹角为 ， ， ，求： (1)； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，再根据计算可得； （2）依题意可得，根据平面向量数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以， 所以. （2）因为向量与互相垂直， 所以， 所以，即， 所以 . 变式5．（24-25高一下·福建厦门·阶段检测）已知向量的夹角为 (1)求 (2)求 ; (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用定义求解数量积； （2）根据向量模的性质可得，结合数量积的性质求结论； （3）将条件转化为 且与不反向，然后计算，解不等式即可得到结果. 【详解】（1）由已知条件可得. （2）. （3）由于 ， 若与反向，可得， ， 所以，所以， 因为与的夹角为钝角， 所以，且与不反向， 所以 且 ，即且 . 所以的取值范围是. 考点三 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知向量，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为， 所以. 因为， 所以， 解得. 例2．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，解得， 则，由模长公式得，故B正确. 例3．（25-26高一下·河南·月考·多选）已知向量，，则下列说法正确的是（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】A选项，因为，所以，故A正确； B选项，若，则，得，故B正确； C选项，因为，所以，得，故C正确； D选项，若，则，得，故D错误. 例4．（25-26高一下·四川泸州·月考·多选）已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量为 D．若向量满足，则 【答案】ABC 【分析】根据模的坐标表示即可判断A；根据向量夹角的坐标表示即可判断B；根据投影向量的定义即可判断C；根据向量平行的坐标关系可判断D. 【详解】对于A，，，则.所以A正确； 对于B，，则与的夹角为.所以B正确； 对于C，由B可知，，则在方向上的投影向量为.所以C正确； 对于D，，若，也满足，但.所以D错误. 例5．（25-26高一下·河北·期中）已知平面向量，满足，，若，则________． 【答案】1 【详解】已知平面向量，满足， ，解得． 例6．（25-26高一下·广东惠州·月考）已知向量，，则在上的数量投影为_____． 【答案】 【详解】已知向量，， ，， 所以在上的数量投影为． 例7．（25-26高一下·陕西汉中·阶段检测）已知向量. (1)求向量的夹角的余弦值； (2)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，则， ， 所以. （2），. 因为与垂直，所以， 所以，得出. 例8．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知向量 ，. (1)当 时，证明： ，； (2)当时，证明：为定值. (3)当时，若与的夹角为锐角，求y的取值范围. 【答案】(1)证明：当 时，由，得， 解得， 故 ，. (2)证明：当时， ， 所以为定值. (3) 【分析】（1）代入给定参数后，令两向量模相等，构造关于未知数的方程，证明其有实数解即可； （2）将给定参数代入，化简数量积表达式，消去剩余变量，得到与变量无关的常数即可； （3）利用夹角为锐角的充要条件（数量积大于零且不共线），建立不等式组，解出参数的范围即可. 【详解】（1）略； （2）略； （3）当时，，， 因为与的夹角为锐角，所以且与不共线， 则 ，且 ， 解得. 变式1．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量在向量上的投影向量为 变式2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）平面向量，，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量与的坐标，利用夹角公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 设与的夹角为，则， 所以， 所以. 变式3．（25-26高一下·江苏镇江·月考·多选）已知向量，，则（    ） A． B．与夹角为 C． D．与共线的一个单位向量为 【答案】CD 【分析】根据数量积的坐标运算可判断A；由即可判断B；根据模长公式计算即可判断C；由与共线的一个单位向量为即可判断D． 【详解】由题意得，， 则，故A错误； 可得，故B错误； 而，故C正确； 与共线的一个单位向量为，故D正确． 变式4．（25-26高一下·河南周口·月考·多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（     ） A． B．与可以作为所在平面的一组基底 C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，因为，则，故A错误； 对于B，若两个向量可作为基底，则这两个向量不共线.因为，， 对于与，因为，所以与不共线，则与可以作为所在平面的一组基底，故B正确； 对于C，根据向量夹角余弦值的计算公式，所以，故C错误； 对于D，因为，， 根据两向量垂直，则它们的数量积为0.因为， 所以，故D正确. 变式5．（25-26高一下·福建漳州·期中）已知向量，，，若实数满足，则__________． 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由题知，， 因为，所以， 解得. 变式6．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知向量，，若，则______． 【答案】3 【详解】向量，， 因为，则， 得. 变式7．（25-26高一下·山东聊城·阶段检测）已知向量． (1)证明：为定值． (2)当时，求与的夹角． (3)求函数的最大值． 【答案】(1)，为定值； (2) (3) 【分析】(1)由向量的模的运算求解； (2) 由向量的数量积运算求解； (3) 因为，再由进行求解． 【详解】（1）略． （2）当时，则， 得， 设与的夹角为，则， 由，得． （3）由，得， 则函数的定义域为， 由，等号成立时，共线， 则， 得，由于， 得，故函数的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $