2025-2026学年沪科版数学八年级下册暑假专题训练：勾股定理

**基本信息** 沪科版2024八年级下册暑假勾股定理专题训练，分层梯度清晰，从概念验证到综合应用，融入模型思想与实际情境，适配假期知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理概念与基本计算|选择1-2验证图形，填空13-15直接考查定理，强化抽象能力与运算能力| |能力提升|实际应用与几何综合|选择3-6航海问题、8梯子问题，解答18-21生活情境，培养模型意识与几何直观| |拓展应用|新定义与创新证明|选择7“垂美”四边形，解答22“勾股分割点”证明，发展推理能力与创新意识|

沪科版（2024）八年级下册暑假专题训练：勾股定理 一、选择题 1.新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A.4 B.3 C.2 D.1 3.如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，顺艺号轮船向南偏西方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（    ）    A.15海里 B.16海里 C.17海里 D.18海里 4.如图，中，，下列等式成立的是（    ） A. B. C. D. 5.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（     ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（　　）    A. B.30 C.40 D.50 7.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A.7 B.9 C.16 D.25 8.如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（    ） A. B. C. D. 9.如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有(　　) A. B. C. D. 10.如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A. B.3 C. D. 11.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A.12 B.7+ C.12或7+ D.以上都不对 12.在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=(    ) A.10 B.15 C.30 D.50 二、填空题 13.已知直角三角形的三内角、、所对的边分别是、、，是直角，则、、三者之间的关系是      ． 14.在中，斜边，则的值为        ． 15.如图，以的三边分别向外作正方形，其面积分别用，， 表示，若，则的形状是               ． 16.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是．甲客轮用到达点，乙客轮用到达点．若两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向为      ． 17.如图，在△中，，分别是，上的点，⊥，⊥，垂足分别是，，若，，那么下面四个结论：①；②//；③△≌△；④，其中一定正确的是（填写编号）             . 三、解答题 18.如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地面某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，已知旗杆原长，你能求出旗杆在离底部什么位置折断吗？请说明理由 19.如图在中，，点E，F分别在上，求证：． 20.已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？ 21.如图，一架梯子AB的长为2.5m， 斜靠在竖直的墙上， 这时梯子的底端A到墙的距离AO=0.7m，如果梯子顶端B沿墙下滑0.4m到达D，梯子底端A将向左滑动到C，求AC的距离． 22.定义：如点M、N把线段AB分割成AM、MN、BN，若以AM、MN、BN，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）如图2，已知点C、D是线段AB的勾股分割点，若AC=3，DB=4，求CD的长； （2）如图3，在正方形ABCD中，∠MAM=45°，角的两边AM、AN分别交BD于E、F（不与端点重合），求证：E、F是BD的勾股分割点． 沪科版（2024）八年级下册暑假专题训练：勾股定理（参考答案） 一、选择题 1.新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵， ∴. 所以图1，3符合题意； ∵图形的面积表示为：，， ∴， 所以图2符合题意． 图4不能验证勾股定理． 所以符合题意的有3个． 故选：C． 2.下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】第一个图形：两个小正方形的面积分别为4和9，大正方形的面积为13，可得，可得，可以验证勾股定理． 第二个图形：梯形的面积，化简得；可以证明勾股定理． 第三个图形：中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理． 第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积两个直角三角形的面积的和，即，化简得；可以证明勾股定理， 能够验证勾股定理的有4个． 故选：A． 3.如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，顺艺号轮船向南偏西方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（    ）    A.15海里 B.16海里 C.17海里 D.18海里 【答案】A 【解析】由题意得：， ∴ ∴顺艺号轮船平每小时航行：（海里） 故选：A． 4.如图，中，，下列等式成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵中，， ∴， 故选A． 5.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（     ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】解：当x为斜边时，x2=22+42=20，所以x=2； 当4为斜边时，x2=16-4=12，x=2． 故选B． 6.如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（　　）    A. B.30 C.40 D.50 【答案】D 【解析】如图，    由题意得：，， ∴， ∴， 在中，， ， ∴A，C两港之间的距离为， 故选：D． 7.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A.7 B.9 C.16 D.25 【答案】C 【解析】如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 8.如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设梯子的长度为，则墙高为， 由勾股定理可得：， 解得：， 梯子的长度为， 故选：A． 9.如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：根据题意得，， ∴a2+b2=c2， 故选：B． 10.如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A. B.3 C. D. 【答案】D 【解析】解：将台阶展开，如图， 因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2， 所以AC2=DC2+AD2=20， 所以AC=， 故选：D． 11.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A.12 B.7+ C.12或7+ D.以上都不对 【答案】C 【解析】解：设Rt△ABC的第三边长为x， ①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5， 此时这个三角形的周长=3+4+5=12； ②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=， 此时这个三角形的周长=3+4+=7+． 故选C 12.在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=(    ) A.10 B.15 C.30 D.50 【答案】D 【解析】根据题意可知AB为斜边，因此可根据勾股定理可知=25，因此可知=25×2=50. 故选D. 二、填空题 13.已知直角三角形的三内角、、所对的边分别是、、，是直角，则、、三者之间的关系是      ． 【答案】 【解析】在直角三角形中，是直角， ∴； 故答案为. 14.在中，斜边，则的值为        ． 【答案】72 15.如图，以的三边分别向外作正方形，其面积分别用，， 表示，若，则的形状是               ． 【答案】直角三角形 【解析】， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 16.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是．甲客轮用到达点，乙客轮用到达点．若两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向为      ． 【答案】南偏东 【解析】解：依照题意画出图形，如图所示． ，，， ， ， 为直角三角形，且， ， 乙客轮的航行方向为南偏东； 故答案为：南偏东． 17.如图，在△中，，分别是，上的点，⊥，⊥，垂足分别是，，若，，那么下面四个结论：①；②//；③△≌△；④，其中一定正确的是（填写编号）             . 【答案】①，② 【解析】解：连接AP ①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS， ∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°， ∴∠SAP=∠RAP， 在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2， ∵AP=AP，PR=PS， ∴AR=AS， ∴①正确； ②∵AQ=QP， ∴∠QAP=∠QPA， ∵∠QAP=∠BAP， ∴∠QPA=∠BAP， ∴QP∥AR， ∴②正确； ③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS， 不满足三角形全等的条件，故③④错误； 故答案为：①②. 三、解答题 18.如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地面某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，已知旗杆原长，你能求出旗杆在离底部什么位置折断吗？请说明理由 【答案】解：设旗杆在离底部米处的位置折断， 由图可知：， 解得： 即：旗杆在离底部米处的位置折断． 19.如图在中，，点E，F分别在上，求证：． 【答案】 ，均为直角三角形 在中， 在中， 在中， 在中， 20.已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？ 【答案】解：在直角三角形中，根据勾股定理可得，， 如果梯子的顶度端下滑1米， 则． 在直角三角形中，根据勾股定理得到：， 则梯子滑动的距离就是． 21.如图，一架梯子AB的长为2.5m， 斜靠在竖直的墙上， 这时梯子的底端A到墙的距离AO=0.7m，如果梯子顶端B沿墙下滑0.4m到达D，梯子底端A将向左滑动到C，求AC的距离． 【答案】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可得： DO=BO-BD=2.4-0.4=2m 根据Rt△COD的勾股定理可得： CA=CO-AO=1.5-0.7=0.8m 故AC 的距离是0.8m． 22.定义：如点M、N把线段AB分割成AM、MN、BN，若以AM、MN、BN，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）如图2，已知点C、D是线段AB的勾股分割点，若AC=3，DB=4，求CD的长； （2）如图3，在正方形ABCD中，∠MAM=45°，角的两边AM、AN分别交BD于E、F（不与端点重合），求证：E、F是BD的勾股分割点． 【答案】（1）解：①当CD为最大线段时， ∵点C、D是线段AB的勾股分割点 ∴CD===5 ②当BD为最大线段时， ∵点C、D是线段AB的勾股分割点 ∴CD=== 综上，CD的长为5或． （2）证明：如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°得到△ADH，连接HE ∵∠BAF+∠DAE=90°-∠MAN=90°-45°=45°，∠BAF=∠DAH ∴∠DAH+∠DAE=45° 即∠EAH=45° 在△EAH和△EAF中 ∴△EAH≌△EAF（SAS） ∴EH=EF ∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线 ∴∠ABF=∠ADB=45° ∴∠ADH=∠ABF=∠ADB =45° ∴∠HDE=90° 在Rt△DHE中，HE2=DH2+DE2 ∵DH=BF，EF=HE ∴EF2=BF2+DE2 ∴E、F是BD的勾股分割点． 学科网（北京）股份有限公司 $