17.1 一元二次方程 暑假巩固练习2024-2025学年沪科版数学八年级下册

沪科版八年级下册 17.1 一元二次方程 暑假巩固 一、利用一元二次方程的概念求字母的值 1.若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A.0 B. C.1 D. 2.如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（　　） A.2 B.﹣3 C.3 D.±3 3.已知（k+1）x|k﹣1|﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为（　　） A.﹣1 B.0 C.3 D.﹣1或3 4.当m＝　   　时，关于x的方程2xm﹣2＝5是一元二次方程． 5.若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　   　． 6.若（m2﹣2m）x|m﹣2|﹣mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值． 7.当a为何实数时，方程（a）2x+1＝0是关于x的一元二次方程？ 二、化为一元二次方程的一般形式 1.将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A. B. C. D. 2.将一元二次方程化成一般形式正确的是（    ） A. B. C. D. 3.下列一元二次方程是一般形式的为（    ） A. B. C. D. 4.把一元二次方程化为一般形式为      ． 5.将方程化成一元二次方程的一般形式为      ． 6.把关于x的一元二次方程5x2+a（1﹣x）＝3x+1化成一般形式． 7.把下列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）2x2＝31； （2）x（x）＝0； （3）（x﹣2）2+1＝x﹣2； （4）x2﹣（x﹣1）2+（2x+3）2＝x2﹣2． 三、利用一元二次方程的一般形式确定各项系数 1.一元二次方程3x2+1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（　　） A.3，1 B.﹣3，﹣1 C.3，﹣1 D.﹣3x2，﹣1 2.一元二次方程2x2﹣12x﹣9＝5的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A.2，﹣12，14 B.2，﹣12，﹣14 C.2，12，14 D.2，12，﹣14 3.一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝1化为一般形式后，常数项为（　　） A.﹣6 B.6 C.﹣5 D.5 4.将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a+b+c＝　     　． 5.方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是　        　；其中二次项系数是　       ． 6.把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项． （1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2； （2）． 7.将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． 四、根据实际问题抽象为一元二次方程 1.如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（　　） A.（50+x）（80+x）＝2800 B.（50+2x）（80+2 x）＝2800 C.（50﹣x）（80﹣x）＝2800 D.（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800 2.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A.200（1+x）2＝242 B.200（1﹣x）2＝242 C.200（1+2x）＝242 D.200（1﹣2x）＝242 3.某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（　　） A.（80﹣x）（200﹣20x）＝8000 B.（80﹣x）（200+20x）＝8000 C.（80﹣50﹣x）（200﹣20x）＝8000 D.（80﹣50﹣x）（200+20x）＝8000 4.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则可列方程是 　                  　（方程化为一般形式）． 5.读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄．若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程 　                   　． 6.此题只需解设、列出方程： 某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利，并尽快减少库存．经市场调查发现： （1）如果每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ （2）如果每件童装降价3元，平均每天就可多售出9件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 7.一个大正方形的边长是小正方形边长的3倍多1，若两正方形面积和为53，求两正方形的边长．（列方程，并化为一般式） 五、一元二次方程解的定义与识别 1.若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 2.若关于x的一元二次方程的解是，则关于y的一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 3.下列一元二次方程中有一个根是的是（    ） A. B. C. D. 4.写出一个未知数为x，二次项系数为1，且有一个根为1的一元二次方程：            5.在和中，      是方程的解． 6.从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 7.观察下列方程： (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 六、根据一元二次方程的解求未知字母或代数式的值 1.若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则3a+6b＝（　　） A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.﹣6 2.若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（　　） A.0 B.﹣1 C.1 D.不能确定 3.若一元二次方程x2﹣3x﹣a＝0有一个根为1，则a的值为（　　） A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣2 4.已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m+2022的值为 　　． 5.关于x的方程有两个不相等的实数根，是其中一个根，则      ． 6.已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 7.若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值． 沪科版八年级下册 17.1 一元二次方程 暑假巩固（参考答案） 一、利用一元二次方程的概念求字母的值 1.若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A.0 B. C.1 D. 【答案】C 【解析】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故选：C． 2.如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（　　） A.2 B.﹣3 C.3 D.±3 【答案】B 【解析】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴p2﹣7＝2且p﹣3≠0， ∴p＝±3且p≠3， 即p＝﹣3． 故选：B． 3.已知（k+1）x|k﹣1|﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为（　　） A.﹣1 B.0 C.3 D.﹣1或3 【答案】C 【解析】∵（k+1）x|k﹣1|﹣4＝0是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：k＝3． 故选：C． 4.当m＝　   　时，关于x的方程2xm﹣2＝5是一元二次方程． 【答案】4 【解析】依题意得：m﹣2＝2， 解得m＝4． 故答案为：4． 5.若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　   　． 【答案】-1 【解析】∵方程ax＝2是关于x的一元二次方程， ∴a2+1＝2，a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 6.若（m2﹣2m）x|m﹣2|﹣mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】解：由题意得： |m﹣2|＝2且m2﹣2m≠0， 解得m＝4． 即m的值为4． 7.当a为何实数时，方程（a）2x+1＝0是关于x的一元二次方程？ 【答案】解：∵方程（a）2x+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴， 解得a， 即当a为时，方程（a）2x+1＝0是关于x的一元二次方程． 二、化为一元二次方程的一般形式 1.将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ， 故选C． 2.将一元二次方程化成一般形式正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵ ∴ 故选：A． 3.下列一元二次方程是一般形式的为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得 是一元二次方程的一般形式； 故选：B． 4.把一元二次方程化为一般形式为      ． 【答案】 【解析】∵ ∴ 故答案为： 5.将方程化成一元二次方程的一般形式为      ． 【答案】 【解析】， 去括号、移项，得． 故答案为：． 6.把关于x的一元二次方程5x2+a（1﹣x）＝3x+1化成一般形式． 【答案】解：5x2+a（1﹣x）＝3x+1， 5x2+a﹣ax﹣3x﹣1＝0， 5x2﹣（a+3）x+a﹣1＝0． 7.把下列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）2x2＝31； （2）x（x）＝0； （3）（x﹣2）2+1＝x﹣2； （4）x2﹣（x﹣1）2+（2x+3）2＝x2﹣2． 【答案】解：（1）∵2x2＝31， ∴2x2﹣31＝0； （2）x（x）＝0， x2x＝0； （3）（x﹣2）2+1＝x﹣2， x2﹣4x+4+1＝x﹣2， x2﹣4x﹣x+4+1+2＝0， x2﹣5x+7＝0； （4）x2﹣（x﹣1）2+（2x+3）2＝x2﹣2， x2﹣x2+2x﹣1+4x2+12x+9＝x2﹣2， x2﹣x2+2x﹣1+4x2+12x+9﹣x2+2＝0， 3x2+14x+10＝0． 三、利用一元二次方程的一般形式确定各项系数 1.一元二次方程3x2+1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（　　） A.3，1 B.﹣3，﹣1 C.3，﹣1 D.﹣3x2，﹣1 【答案】B 【解析】3x2+1＝6x， 3x2+1﹣6x＝0， ﹣3x2+6x﹣1＝0， ∵一次项系数是6， ∴二次项系数是﹣3，常数项是﹣1， 故选：B． 2.一元二次方程2x2﹣12x﹣9＝5的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A.2，﹣12，14 B.2，﹣12，﹣14 C.2，12，14 D.2，12，﹣14 【答案】B 【解析】由已知方程得到：2x2﹣12x﹣14＝0，所以一元二次方程2x2﹣12x﹣9＝5的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣12，﹣14． 故选：B． 3.一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝1化为一般形式后，常数项为（　　） A.﹣6 B.6 C.﹣5 D.5 【答案】D 【解析】方程整理得：x2﹣3x﹣2x+6＝1， 即x2﹣5x+5＝0， 则常数项为5． 故选：D． 4.将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a+b+c＝　     　． 【答案】﹣3． 【解析】（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3 整理得3x2﹣7x+1＝0， ∴a＝3，b＝﹣7，c＝1， ∴a+b+c＝3﹣7+1＝﹣3， 故答案为：﹣3． 5.方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是　        　；其中二次项系数是　       ． 【答案】6x2﹣5x﹣11＝0；6． 【解析】（3x+2）（2x﹣3）＝5， 去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5， 移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0， 合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0． 故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0， 二次项系数为：6． 故答案为：6x2﹣5x﹣11＝0；6． 6.把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项． （1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2； （2）． 【答案】解：（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4； （2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1． 7.将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0， 它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1． 四、根据实际问题抽象为一元二次方程 1.如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（　　） A.（50+x）（80+x）＝2800 B.（50+2x）（80+2 x）＝2800 C.（50﹣x）（80﹣x）＝2800 D.（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800 【答案】D 【解析】依题意，设边框的宽为xcm， （80﹣2x）（50﹣2x）＝2800， 故选：D． 2.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A.200（1+x）2＝242 B.200（1﹣x）2＝242 C.200（1+2x）＝242 D.200（1﹣2x）＝242 【答案】A 【解析】根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242， 故选：A． 3.某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（　　） A.（80﹣x）（200﹣20x）＝8000 B.（80﹣x）（200+20x）＝8000 C.（80﹣50﹣x）（200﹣20x）＝8000 D.（80﹣50﹣x）（200+20x）＝8000 【答案】D 【解析】由题意可得， （80﹣50﹣x）（200+20x）＝8000， 故选：D． 4.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则可列方程是 　                  　（方程化为一般形式）． 【答案】x2﹣60x+864＝0． 【解析】∵长与宽和为60步，且长为x步， ∴宽为（60﹣x）步． 依题意得：x（60﹣x）＝864， 即x2﹣60x+864＝0． 故答案为：x2﹣60x+864＝0． 5.读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄．若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程 　                   　． 【答案】x2＝10（x﹣3）+x 【解析】∵去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，他去世时年龄的个位数为x， ∴他去世时年龄的十位数为（x﹣3）． 根据题意得：x2＝10（x﹣3）+x． 故答案为：x2＝10（x﹣3）+x． 6.此题只需解设、列出方程： 某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利，并尽快减少库存．经市场调查发现： （1）如果每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ （2）如果每件童装降价3元，平均每天就可多售出9件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】解：（1）设每件童装应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件， 根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200； （2）设每件童装应降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（209）件， 根据题意得：（40﹣y）（209）＝1200． 7.一个大正方形的边长是小正方形边长的3倍多1，若两正方形面积和为53，求两正方形的边长．（列方程，并化为一般式） 【答案】解：设小正方形边长为x，则大正方形边长为3x+1， ∵两正方形面积和为53， 则得（3x+1）2+x2＝53， 所以10x2+6x﹣52＝0． 五、一元二次方程解的定义与识别 1.若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 【答案】B 【解析】设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 2.若关于x的一元二次方程的解是，则关于y的一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵关于x的一元二次方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解是， ∴关于y的一元二次方程的解是． 故选：D． 3.下列一元二次方程中有一个根是的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】、把方程得，左边右边， ∴不是方程的根，该选项不合题意； 、把方程得，左边右边， ∴不是方程的根，该选项不合题意； 、把方程得，左边右边， ∴不是方程的根，该选项不合题意； 、把方程得，左边右边， ∴是方程的根，该选项不合题意； 故选：． 4.写出一个未知数为x，二次项系数为1，且有一个根为1的一元二次方程：            【答案】（不唯一）． 【解析】答案不唯一． 设一元二次方程为， 把代入可得，， 所以， 如：，时，． 故答案为：（不唯一）． 5.在和中，      是方程的解． 【答案】 【解析】将代入到方程中，得 ∴不是方程的解； 将代入到方程中，得 ∴是方程的解． 故答案为：． 6.从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 【答案】（1）解：一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根； （2）由于时，，故也是方程的一个根． 即：方程还有另一个根：． 7.观察下列方程： (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 【答案】（1）解：由规律得，第5个方程为：；其两个解，； 故答案为：；，； （2）解：根据规律，第n个方程为：，其两个解为：，； 当时，方程左边右边， 当时，方程左边右边， ∴，是方程的两个根． 六、根据一元二次方程的解求未知字母或代数式的值 1.若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则3a+6b＝（　　） A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.﹣6 【答案】C 【解析】把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0， 所以a+2b＝﹣1， 所以3a+6b＝3（a+2b）＝3×（﹣1）＝﹣3． 故选：C． 2.若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（　　） A.0 B.﹣1 C.1 D.不能确定 【答案】A 【解析】把x＝1代入方程得：a+b+c＝0， 故选：A． 3.若一元二次方程x2﹣3x﹣a＝0有一个根为1，则a的值为（　　） A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣2 【答案】D 【解析】∵一元二次方程x2﹣3x﹣a＝0的一个根为1， ∴12﹣3﹣a＝0， 解得a＝﹣2， 故选：D． 4.已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m+2022的值为 　　． 【答案】2024． 【解析】∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根， ∴m2﹣m﹣2＝0， ∴m2﹣m＝2， ∴m2﹣m+2022＝2+2022＝2024， 故答案为：2024． 5.关于x的方程有两个不相等的实数根，是其中一个根，则      ． 【答案】2 【解析】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 整理得：， 解得：或； ∵， ∴； 故答案为：2． 6.已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 【答案】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根， ∴2a2﹣7a﹣1＝0， ∴2a2﹣7a＝1， ∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6． 7.若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值． 【答案】解：将x＝a代入x2﹣3x﹣9＝0得a2﹣3a﹣9＝0， ∴a2﹣3a＝9， （a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1） ＝a2﹣16﹣3a+3 ＝a2﹣3a﹣13 ＝9﹣13 ＝﹣4． 学科网（北京）股份有限公司 $$