专题06 圆（5大考点）（河北专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 河北各地2026届二模圆专题汇编，覆盖圆的基本性质、正多边形、位置关系等五大考点，以生活情境（如乒乓球拍、摩天轮）和动态问题（旋转、折叠）为载体，突出综合探究与实际应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8题|圆的性质（垂径定理）、正多边形内角|结合生活场景（如打碎的圆形玻璃）| |填空|4题|弧长计算、动态轨迹（如正方形内动点）|设置开放探究（如线段最小值）| |解答（综合题）|5题|切线证明、旋转综合、圆与几何图形结合|跨知识综合（如圆与菱形、矩形折叠）|

专题06 圆 考点概览 考点01圆的基本性质 考点02正多边形和圆 考点03与圆有关的位置关系 考点04弧长、扇形面积的计算 考点05圆的综合问题 圆的基本性质 考点01 1．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 2．（2026·河北邯郸·二模）如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．（2026·河北唐山·二模）如图，在矩形中，，，点E在上，，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北廊坊·二模）如图，是的直径，点是上一点，且，弦的长为，则弦的长为________． 5．（2026·河北石家庄·二模）如图，在边长为6正方形中，点分别是边，上的动点，且交于点，则的最小值为___________． 6．（2026·河北石家庄·二模）如图，圆与圆都经过，两点，点在圆上，点是弧上的一点，连接并延长交圆于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，． 求圆的半径； 直接写出圆中弧的长． 7．（2026·河北廊坊·二模）如图为嘉淇购买的乒乓球拍，图②是其正面示意图，优弧的正面粘贴胶皮，侧面贴保护胶带，球拍手柄部分近似为矩形（G，F在上），过点A作交优弧于点K．已知，，． (1)求优弧所在圆的直径； (2)嘉淇想给球拍做一个矩形球拍套，则这个球拍套较长边的长度最少为多少？ (3)求球拍有胶皮（即优弧）的侧面所贴的保护胶带的长度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，；） 正多边形和圆 考点02 8．（2026·河北石家庄·二模）如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A，的大小为（　　） A． B． C． D． 9．（2026·河北邢台·二模）如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（     ） A．该圆的半径是1 B．弦的长是 C．的长为 D．是的2倍 10．（2026·河北保定·二模）如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形的中心O重合，且与边，分别相交于点G，H．图中阴影部分的面积记为S，三条线段，，的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，S和l的值分别是（     ） A．4， B．，4 C．，6 D．S和l的值不能确定 11．（2026·河北石家庄·二模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为（     ） A． B．2 C． D．1 12．（2026·河北石家庄·二模）图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a． （1）连接，的长为__________； （2）a的取值范围是__________． 与圆有关的位置关系 考点03 13．（2026·河北廊坊·二模）如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 14．（2026·河北石家庄·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 15．（2026·河北保定·二模）一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），若轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的接触长度为． (1)求轮胎的半径； (2)如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（与坡面相切于点），过轮胎中心作水平地面的垂线与交于点，与斜坡交于点，与水平地面交于点．直接写出劣弧的长度，并直接比较劣弧与线段的大小（结果保留）． 16．（2026·河北张家口·二模）如图1，为的外接圆，． (1)若，求的半径． (2)在（1）的条件下，求的长． (3)如图2，点在上，且，过点作，则直线和的位置关系为__________． 17．（2026·河北唐山·二模）已知优弧所在的半径为，弦，点为优弧上一点，设的长为，以点为旋转中心，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，如图1， (1)求点到的距离； (2)点落在优弧上时，求的值； (3)线段与优弧有两个公共点时，直接写出的取值范围． 18．（2026·河北保定·二模）如图，在平行四边形中，，，点P在边上（不与点B，C重合），连接，是的外接圆． (1)若． ①当时，的度数为______； ②当P是的中点时，求的长； (2)若，当与边或边所在直线相切时，求的长． 19．（2026·河北廊坊·二模）在等腰中，，点D为平面内一动点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，． (1)如图，点D在边上，F是的中点，连接，若，求的长； (2)如图②，点D在内部． ①尺规作图：作的中点M；（保留作图痕迹，不写作图过程） ②连接．猜想线段，之间存在的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； (3)如图③，点D在上方，点E在内部，连接，连接并延长交射线于点N，若，，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 弧长、扇形面积的计算 考点04 20．（2026·河北石家庄·二模）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 21．（2026·河北廊坊·二模）年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 22．（2026·河北张家口·二模）已知半圆的直径，点在线段上，以为直径作． (1)如图，当点与点重合时，是上半圆上的一个动点（不与点，重合），的延长线交半圆于点，求证：； (2)如图，半圆中的弦，且与相切于点，当时，求的半径长； (3)若是半圆的三等分点，当与相切时，设与交于点，直接写出劣弧的长． 23．（2026·河北保定·二模）如图，射线交于点B，A，的半径为2，圆心O到的距离为1，连接，交于点G，且．一动点P从点G出发，在圆周上顺时针运动，运动一周立即停止． (1)求弦的长度； (2)求阴影部分的面积； (3)过点M作的切线，直接写出P点恰好运动到直线上时走过的路程． （参考数据：） 24．（2026·河北邢台·二模）在图1，图2中，四边形是正方形，，以为直径向上作半圆，点是半圆上一点． (1)如图1，连接，， ①若是半圆的切线，则_____； ②求的最小值； (2)如图2，连接并延长交边于点，若，求阴影部分的面积． 25．（2026·河北石家庄·二模）某大型摩天轮如图1所示，摩天轮共设有28个轿厢（大小忽略不计），把摩天轮看作，摩天轮依靠等腰三角形钢架支撑固定于地面上，如图2所示，已知，，轿厢旋转至最低点距离地面高度为，摩天轮匀速旋转一圈用时． (1)求支架固定点距离地面的高度；（，，，结果保留整数） (2)某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径长为多少；（结果保留） (3)要在摩天轮上安装一条彩灯（为线段，如图3），彩灯到劣弧的中点的距离为，求彩灯的长度． 圆的综合问题 考点05 26．（2026·河北邯郸·二模）综合与实践 【情境】在矩形内画一个最大的半圆． 【模型】操作一：如图1，选取矩形的一个顶点，作的平分线，交于点，在线段上任取一点，过点作，垂足为．以点为圆心，的长为半径作，可知与两边同时相切，切点分别为G、F两点； 操作二：如图2，沿射线方向移动圆心，使逐渐变大．当与矩形的两边分别交于点H、I且圆心落在弦上时，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【探究】 (1)在图2中，顶点C 上？（填“在”或“不在”）； (2)如图3，已知正方形的边长为4，求正方形内最大半圆的半径的长； 【拓展】 (3)如图4，在矩形中，，请用无刻度的直尺和圆规作出矩形内最大的半圆，圆心记为（保留作图痕迹，不写作法）． 27．（2026·河北廊坊·二模）【模型】在矩形中，，． (1)【操作】在图1中，用直尺和圆规在的上方作出以为直径的半圆（保留作图痕迹，不写作法）． (2)【探究】如图2，点在半圆上，连接，，过点作，交所在直线于点，连接． ①求证：； ②随着点的位置变化，的面积始终保持不变，请求出的面积． (3)【拓展】如图3，在梯形中，，，，，是线段的中点，是线段上一点，连接，过点在上方作，使．当的面积最小时，直接写出的值． 28．（2026·河北廊坊·二模）如图，为半圆的直径，点在半圆上，连接，，且，．点在直径上（不与点，重合），点与点关于直线对称，连接，过点作，交的延长线于点． (1)直接写出线段的长； (2)嘉嘉说：在点移动过程中，始终有；淇淇说：当时，直线与半圆相切．请选择其中一人的说法进行说理； (3)当线段与半圆有第二个交点时，交点为，若的长为，求的度数． 29．（2026·河北邢台·二模）如图1和图2，与直线相切于点，在中裁掉一个圆心角为的扇形，且．点是上一点，连接，从出发以每秒的速度按顺时针方向转动，当与重合时停止转动，设转动时间为秒． (1)如图1，过点且始终与平行的直线也随运动，设直线与的另一个交点为． ①求点到直线的距离； ②当直线与相切时，求的值． (2)如图2，过点且始终与垂直的直线也随运动，直线交直线于点，与的另一个交点为． ①当时，求的值； ②直接写出的最大值． 30．（2026·河北张家口·二模）综合与实践： 【情境】在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助数学知识予以解释，在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究性数学实践活动． 【操作】 如图，在矩形纸片中，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． 【探究】 (1)在图中，连接，的长为________； (2)在图中，当点落在上时，求的长； 【拓展】 (3)在图中，尺规作图：作，且满足点到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法），此时________； (4)连接、，当最大时，直接写出的值． 31．（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，交于点，点是边的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，的平分线所在直线交对角线于点．当点与点重合时，停止旋转．设，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点在线段上时．求的度数及的长； (3)当时，求的值； (4)直接写出点到边距离的最大值与最小值的差． 32．（2026·河北邯郸·二模）如图，点，点在数轴上表示的数分别为和4，点为原点，在数轴的上方作，，．点，同时从点出发在数轴上背向而行，速度均为1个单位长度/秒，当点与点重合时，立即以原速返回，点继续沿数轴正方向移动，当点与点重合时，点，同时停止运动．以为直径构造半圆，设点，的运动时间为秒． (1)直接写出的度数及当秒时点在数轴上表示的数； (2)直接写出的最大值，求当点，重合时，落在半圆外部的图形的面积； (3)若半圆与直线相切时，求点在数轴上所表示的数； (4)求边落在半圆内部（包括边界）的弦长不变的时长．（参考数据：取） 33．（2026·河北保定·二模）嘉嘉和淇淇一起研究图形的折叠问题：如图1，纸片中，，，，点E为边上一点．嘉嘉折叠纸片，使点B与点C重合，找到了边的中点D． (1)在图1中用尺规作图作出边的高线，垂足为N（保留作图痕迹，不写作法）；并直接写出_______； (2)如图2，淇淇将沿折叠，得到，与交于点G，连接． ①当时，求的长度； ②若，直接写出的长度（用含x的式子表示）； (3)如图3，嘉嘉过点A作直线于点H，连接，当最大时，直接写出的长． 34．（2026·河北保定·二模）如图，已知矩形，，，延长到点，使，点为中点，点从出发，以1个单位每秒的速度由向运动，设运动时间为秒，将线段绕点逆时针旋转并缩小，得到线段，连接． (1)当时，求的长． (2)当位于矩形内（包括边界），求的取值范围． (3)将沿所在直线翻折，当点恰好落到矩形边上时，求的值． (4)直接写出在运动过程中，的最大值． 35．（2026·河北石家庄·二模）如图1和图2，在菱形中，，点在射线上运动，是的外接圆． (1)如图1，当的长度为__________时，圆心落在边上； (2)如图2，当边与相切时，切点为，小明说：“此时劣弧与劣弧的长度相等．”请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； (3)延长交射线于点．当是直角三角形时，求的长； (4)点M在射线上运动的过程中，连接，请直接写出线段的最小值． 36．（2026·河北邢台·二模）如图，在矩形中，，，一动点从点出发沿边运动到点停止，连接，过点作交边于点，以线段为斜边，在的上方作等腰直角，设的长为． (1)当四边形为正方形时，直接写出的值及正方形的边长； (2)嘉嘉通过探究发现：点在的平分线上．请你判断嘉嘉的发现是否成立，并说明理由； (3)求的外心到边的最大距离． (4)在点运动过程中， ①点能否落在边上，若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由； ②直接写出点运动的路径长． 37．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转（）得到，连接，并取三等分点和，连接． (1)若，求扫过区域的面积．（结果保留） (2)如图2，连接，在旋转过程中求出其最小值，并直接写出此时的长． (3)如图3，为中点，连接，当和取到最小值时，在线段上有一动点，请直接写出的最小值． (4)如图4，将绕点顺时针旋转得，为的对应点，延长和相交于点． ①当时，求； ②直接写出点的运动路径长．（参考：） 试卷第88页，共91页 2/17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆 考点概览 考点01圆的基本性质 考点02正多边形和圆 考点03与圆有关的位置关系 考点04弧长、扇形面积的计算 考点05圆的综合问题 圆的基本性质 考点01 1．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 2．（2026·河北邯郸·二模）如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】连接，，作于点，交于点，交于点，证明四边形是矩形，得出，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，作于点，交于点，交于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 由题意得，， ∴． ∵圆盘的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·河北唐山·二模）如图，在矩形中，，，点E在上，，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，如图所示，在上方作，使得，以点为圆心，以为半径作，连接，过点作于点Q，作于点J，得到点P在上运动，证明四边形是矩形，由解直角三角形的计算得到，由勾股定理得到，当点共线时，的值最小，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，在上方作，使得，以点为圆心，以为半径作，连接，过点作于点Q，作于点J， ∴，此时点P在上运动， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴中，，， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴当点共线时，的值最小，最小值为， 故选：B ． 4．（2026·河北廊坊·二模）如图，是的直径，点是上一点，且，弦的长为，则弦的长为________． 【答案】 【分析】本题考查的是圆的相关性质及直角三角形的计算，关键是运用圆周角定理和直径所对圆周角为直角的性质来解题．根据同弧所对的圆周角相等，可得到，再结合直径所对的圆周角是直角，可知是直角三角形，进而利用三角函数求出弦的长． 【详解】解：， ， 又是的直径， ， 在中，． 故答案为：． 5．（2026·河北石家庄·二模）如图，在边长为6正方形中，点分别是边，上的动点，且交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】证明，确定P点轨迹是以为直径的圆，设中点为O（圆心），则圆半径，点C到圆O上点的最小距离为：点C到圆心O的距离减去半径，求解即可； 【详解】 解：在正方形中，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又， 则，故， 根据“直角对直径”，点P的轨迹是以为直径的圆， 设中点为O（圆心），连接，则圆半径， 点C到圆O上点的最小距离为：点C到圆心O的距离减去半径， 在中，，，， 由勾股定理得： ， 因此的最小值为． 6．（2026·河北石家庄·二模）如图，圆与圆都经过，两点，点在圆上，点是弧上的一点，连接并延长交圆于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，． 求圆的半径； 直接写出圆中弧的长． 【答案】(1)证明：连接，，，如图， ， 根据题意可知，、为圆与圆圆心，点，点，点，点，四点都在圆上， 在圆中， ∵是圆心角，对应，，是圆周角，对应， ∴， 在圆中， ∵是圆心角，对应，是圆周角，对应， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)， 【分析】（1）根据圆周角定理求解，注意区分好圆周角和圆心角． （2）利用（1）中结论求出，构造直角三角形，利用三角函数求半径．直接利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，为圆半径， ∴， ∴为等腰三角形， 过作，交于点，如图， ， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴圆半径是． 解：在圆中， ∵，半径， ∴长度． 7．（2026·河北廊坊·二模）如图为嘉淇购买的乒乓球拍，图②是其正面示意图，优弧的正面粘贴胶皮，侧面贴保护胶带，球拍手柄部分近似为矩形（G，F在上），过点A作交优弧于点K．已知，，． (1)求优弧所在圆的直径； (2)嘉淇想给球拍做一个矩形球拍套，则这个球拍套较长边的长度最少为多少？ (3)求球拍有胶皮（即优弧）的侧面所贴的保护胶带的长度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，；） 【答案】(1)优弧所在圆的直径为 (2)矩形球拍套较长边的长度最少为 (3)球拍有胶皮（即优弧）的侧面所贴的保护胶带的长度约为 【分析】（1）根据圆周角定理可以确定为直径，再根据勾股定理计算即可； （2）取的中点O，过点O作于点，先计算出（），再由勾股定理计算出，即可算出矩形球拍套较长边的长度； （3）连接，先计算出圆心角的度数，再由弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴为直径， ∵，， ∴（）， ∴优弧所在圆的直径为； （2）解：如（1）图，取的中点O，过点O作于点P，则O为圆心，（）， 由(1)得的直径为， ∴， 在中，由勾股定理得（）， ∴矩形球拍套较长边的长度最少为； （3）解：如（1）图，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴优弧的长度约为（）， ∴球拍有胶皮（即优弧）的侧面所贴的保护胶带的长度约为． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长的计算，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 正多边形和圆 考点02 8．（2026·河北石家庄·二模）如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A，的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA，，先求出，再求出，根据切线的性质，即可求解， 本题考查了，正多边形与圆，切线的性质，解题的关键是：添加辅助线求出的度数． 【详解】解：如图，连接OA，， ∵多边形ABCDE为圆内接正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵PA为圆O的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（2026·河北邢台·二模）如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（     ） A．该圆的半径是1 B．弦的长是 C．的长为 D．是的2倍 【答案】C 【分析】先将图形补充完整，再根据圆的内接正六边形和内接正方形性质，求出半径，利用勾股定理，弧长公式逐项分析即可． 【详解】解：如图，将圆、正方形，正六边形补充完整， 设正方形对角线交点为，连接， 对于A，由图形，正方形四个角都为，圆内接正方形的对角线为圆的直径， 点为圆的圆心，也为圆内接正六边形的中心， ，且，为等边三角形， 该圆的半径，故A选项正确，不符合题意； 对于B，，弦的长是，故B选项正确，不符合题意； 对于C，，的长为，故C选项错误，符合题意； 对于D，，是的2倍，故D选项正确，不符合题意． 10．（2026·河北保定·二模）如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形的中心O重合，且与边，分别相交于点G，H．图中阴影部分的面积记为S，三条线段，，的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，S和l的值分别是（     ） A．4， B．，4 C．，6 D．S和l的值不能确定 【答案】B 【分析】连接，，．证明，，，即可得到，． 【详解】解：如图，连接，，，过作于， 根据正六边形的性质得， ，，， ∴，和是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 同理可得 ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ． ∴S和l的值分别是，4． 11．（2026·河北石家庄·二模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为（     ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】连接，根据正六边形的性质可得为等边三角形，再结合切线的性质可得，从而得到，从而得到正六边形的边长，同理得到正六边形的边长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵正六边形的外接圆与正六边形的各边相切， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形的边长为， 同理正六边形的边长为， ……， 正六边形的边长为． 12．（2026·河北石家庄·二模）图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a． （1）连接，的长为__________； （2）a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最小值是解题的关键． （1）正方形的两个相对的顶点，分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点，在正六边形内部（包括边界），点，分别是正六边形的顶点． （2）当正方形的顶点、、、在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长的值最小，是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，， 则，， 是正六边形的一条对角线， ， 在中，，， ， ， 故答案为：； 如图①，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时， 正方形边长的值最小，是正方形的对角线， ， ， 如图②，当正方形的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长的值最大，是正方形的对角线， 设时，正方形的边长最大， ， ， 设直线的解析式为，，， ， ， 直线的解析式为， 将代入得， 此时，取最大值， ， 正方形边长的取值范围是：． 故答案为：． 与圆有关的位置关系 考点03 13．（2026·河北廊坊·二模）如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理可得点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是，然后利用勾股定理求出，，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵菱形的边长为4，，为边上的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧， 如图，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是， ∴， ∴， ∴， 即线段长度的最大值是， 故选：C． 14．（2026·河北石家庄·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图：连接 ∵， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∴。 ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． (2)． 【分析】（1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论； （2）如图：连接，有圆周角定理可得，再解直角三角形可得，进而得到，然后说明，最后根据弧长公式即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图：连接 ∵是的直径， ∴, 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键． 15．（2026·河北保定·二模）一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），若轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的接触长度为． (1)求轮胎的半径； (2)如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（与坡面相切于点），过轮胎中心作水平地面的垂线与交于点，与斜坡交于点，与水平地面交于点．直接写出劣弧的长度，并直接比较劣弧与线段的大小（结果保留）． 【答案】(1) (2)劣弧的长，劣弧线段 【分析】（1）连接，，交于点，利用切线性质得地面，结合地面推出，由垂径定理求出的长，设轮胎半径为，用含的式子表示，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）先由斜坡坡角和地面，求出，再结合切线性质，在中求出圆心角；然后利用弧长公式计算劣弧的长度，利用三角函数求出线段的长度，最后通过数值比较，即可得出劣弧与线段的大小关系． 【详解】（1）解：如图，连接，，交于点， ∵与地面相切于点， ∴地面， 又地面， ∴， ∴， 设轮胎半径为，则， 由题意得， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，即轮胎的半径为； （2）解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与坡面相切于， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长， 在中，， ∵， ∴劣弧线段． 16．（2026·河北张家口·二模）如图1，为的外接圆，． (1)若，求的半径． (2)在（1）的条件下，求的长． (3)如图2，点在上，且，过点作，则直线和的位置关系为__________． 【答案】(1) (2) (3)相切 【分析】（1）连接，过点O作于点Q，利用圆周角定理，垂径定理，三角函数求解即可． （2）根据弧长公式求解即可． （3）连接，交于点M，根据垂径定理，切线的判定解答即可． 【详解】（1）解：连接，过点O作于点Q， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以， 所以； （2）解：根据题意，得； （3）解：直线和的位置关系为相切．理由如下： 连接，交于点M， 因为点在上，且， 所以于点M， 因为， 所以， 所以直线是的切线； 17．（2026·河北唐山·二模）已知优弧所在的半径为，弦，点为优弧上一点，设的长为，以点为旋转中心，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，如图1， (1)求点到的距离； (2)点落在优弧上时，求的值； (3)线段与优弧有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，，得出是等边三角形，，利用的正弦值求出的长即可得出答案； （2）根据圆周角定理得出点落在优弧上时是的直径，根据旋转的性质，结合等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用弧长公式即可得出答案； （3）根据得出当与相切时，与有一个交点，此时为直径，求出此时的值，结合（2）中结论即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接，，作于， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴点到的距离为． （2）解：如图，连接， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵点落在优弧上， ∴是的直径， ∵，， ∴，， ∵的半径为， ∴． （3）解：如图所示， 由（2）可知点落在优弧上时， ∴时，点在内部，与有一个交点， ∵， ∴当与相切时，与有一个交点，此时为直径， ∴， 当时，点在外部，线段与有一个交点， ∴线段与优弧有两个公共点时，的取值范围为． 18．（2026·河北保定·二模）如图，在平行四边形中，，，点P在边上（不与点B，C重合），连接，是的外接圆． (1)若． ①当时，的度数为______； ②当P是的中点时，求的长； (2)若，当与边或边所在直线相切时，求的长． 【答案】(1)①；② (2)当与边所在直线相切时，的长为，当与边所在直线相切时，的长为 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到， ①由垂直关系得到，利用三角形内角和计算即可； ②根据已知的线段长，推出，从而得到是等边三角形，根据这个条件，求出此时的半径，和所对圆周角是求解即可； （2）分情况讨论，利用，过点A作的垂线，通过三角函数值设参，利用图中的平行线找到相等角，从而得到相似三角形，最后用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：①在平行四边形中，， ∴， 当时，， ∴； ②∵P是的中点， ∴， 又由（1），得， ∴是等边三角形， ∴， 如解图①，连接，，过点O作于点E， ∵，， ∴，， ∴， ∴的长为； （2）解：分两种情况， 第一种：当与边所在直线相切时，A是切点，如解图②，连接并延长，交于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由垂径定理，可知， ∵， ∴， 设，则， 由，得， ∴，， ∴； 第二种：当与所在直线相切时，如解图③，设切点为Q，连接并延长，交于点N，过点A作于点H，连接，， 同第一种情况，可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理，得，即， 解得， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 综上，当与边所在直线相切时，的长为，当与边所在直线相切时，的长为． 19．（2026·河北廊坊·二模）在等腰中，，点D为平面内一动点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，． (1)如图，点D在边上，F是的中点，连接，若，求的长； (2)如图②，点D在内部． ①尺规作图：作的中点M；（保留作图痕迹，不写作图过程） ②连接．猜想线段，之间存在的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； (3)如图③，点D在上方，点E在内部，连接，连接并延长交射线于点N，若，，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)① ②，，理由如下： 如图所示，作关于的对称图形，连接，与交于点G， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵ M是的中点，， ∴ 是的中位线， ∴，． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴． ∵ ， ∴ ； (3)当线段取得最小值时，的面积为4 【分析】（1）证明和全等， 推导出，根据勾股定理求出的长，再利用直角三角形中斜边中线等于斜边的一半求解出的长； （2）①利用尺规作图作出的垂直平分线；      ②先作出关于的对称图形，再证明与全等，进而得出，的数量和位置关系； （3）先确定点 E的运动轨迹，再证明和全等，然后确定与的位置关系，最后确定取得最小值时与相切，从而求出的面积． 【详解】（1）解：如答案图①所示，连接； ，， ∴， 绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴，， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴    ． （2）①略 ②略 （3）如图③，易知点E的运动轨迹为以点A为圆心，长为半径的圆上的一段圆弧． ∵和均为等腰直角三角形，，， ∴ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴，记，交于点P． ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形， ∵、、三点共线，点E始终在的一段弧上运动， ∴ 与的位置关系为相切或相交． 如图④，由点B和的位置关系可知，当与相切于点E时，点A到直线的距离最大，点B到直线的距离最小，此时最小， ∴ ， ∴ 四边形为矩形， ∵ ， ∴ 四边形为正方形， ∴ ， 在中，． ∴． ∴ ，， ∴ ， ∴ 当线段取得最小值时，的面积为4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，经典手拉手全等模型，直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理，隐圆轨迹求线段最值． 弧长、扇形面积的计算 考点04 20．（2026·河北石家庄·二模）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 21．（2026·河北廊坊·二模）年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由垂径定理的推论即可得解； （2）由勾股定理可得的长，即可得到，从而可得是等腰直角三角形，即可得解； （3）连接，由垂径定理可得的长，证明，再由列式计算即可． 【详解】（1）解：是圆心，是弦的中点， ； （2）解：是半圆上的一点，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， 是弦的中点，， ，， ． 22．（2026·河北张家口·二模）已知半圆的直径，点在线段上，以为直径作． (1)如图，当点与点重合时，是上半圆上的一个动点（不与点，重合），的延长线交半圆于点，求证：； (2)如图，半圆中的弦，且与相切于点，当时，求的半径长； (3)若是半圆的三等分点，当与相切时，设与交于点，直接写出劣弧的长． 【答案】(1)连接， 为的直径， ， ， ， ． (2) (3)或 【分析】（1）连接，由题意易得，然后根据垂径定理可进行求解； （2）连接，过点作，由题意易得，，然后根据垂径定理及勾股定理可建立方程进行求解； （3）由题意可分：当点E靠近于点A的半圆的三等分点，当点E靠近于点B的半圆的三等分点，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作，如图所示： ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴， ∵半圆的直径， ∴， 设，则有， 解得：（负根舍去）， 即的半径为； （3）解：由题意可分：当点E靠近于点A的半圆的三等分点，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长为； 当点E靠近于点B的半圆的三等分点，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴劣弧的长为； 综上所述：劣弧的长为或． 23．（2026·河北保定·二模）如图，射线交于点B，A，的半径为2，圆心O到的距离为1，连接，交于点G，且．一动点P从点G出发，在圆周上顺时针运动，运动一周立即停止． (1)求弦的长度； (2)求阴影部分的面积； (3)过点M作的切线，直接写出P点恰好运动到直线上时走过的路程． （参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)P点恰好运动到直线上时走过的路程为或 【分析】（1）连接，过点O作于点C，根据勾股定理求出，然后根据垂径定理即可求解； （2）连接，先求出，然后根据求解即可； （3）当P点恰好运动到直线上时，则点P为切点，连接，则，解直角三角形求出，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：连接，过点O作于点C， 依题意，在中，， ∴， ∵ ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； （3）解：∵过点M作的切线，P点恰好运动到直线上， ∴点P为切点，连接，则， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 当点P位于时，运动路程：， 当点P位于时，运动路程：， 综上可知，P点恰好运动到直线上时走过的路程为或． 24．（2026·河北邢台·二模）在图1，图2中，四边形是正方形，，以为直径向上作半圆，点是半圆上一点． (1)如图1，连接，， ①若是半圆的切线，则_____； ②求的最小值； (2)如图2，连接并延长交边于点，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】（1）①连接、，可证，根据全等三角形对应边相等可知； ②连接交于点，当点、、三点共线时最小，根据勾股定理求出，根据圆的性质可知，所以的最小值是； （2）连接，过点作，根据勾股定理求出的长度，利用，可以求出，根据圆周角定理可知，利用的正弦求出，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）①解：如下图所示，连接、， 四边形是正方形，， ，， 是半圆的切线， ， 在和中，， ， ； ②解：如下图所示，连接交于点， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， 的最小值为； （2）解：如下图所示，连接，过点作， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 25．（2026·河北石家庄·二模）某大型摩天轮如图1所示，摩天轮共设有28个轿厢（大小忽略不计），把摩天轮看作，摩天轮依靠等腰三角形钢架支撑固定于地面上，如图2所示，已知，，轿厢旋转至最低点距离地面高度为，摩天轮匀速旋转一圈用时． (1)求支架固定点距离地面的高度；（，，，结果保留整数） (2)某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径长为多少；（结果保留） (3)要在摩天轮上安装一条彩灯（为线段，如图3），彩灯到劣弧的中点的距离为，求彩灯的长度． 【答案】(1)支架固定点距离地面的高度约为； (2)该轿厢所经过的路径长度为； (3)彩灯的长度为． 【分析】（1）延长交于点，解，可求出； （2）先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可； （3）连接交于点，连接，根据勾股定理和垂径定理的推论求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点， 在中，，， ， ∴ ， 解得 ， 答：支架固定点距离地面的高度约为． （2）解：由题意得， ∴半径 ， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点出发，后到达点， ∴ ， ∴． 答：该轿厢所经过的路径长度为． （3）解：连接交于点，连接， ∵点为劣弧的中点， ∴，， ∵ ， ， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， 答：彩灯的长度为． 圆的综合问题 考点05 26．（2026·河北邯郸·二模）综合与实践 【情境】在矩形内画一个最大的半圆． 【模型】操作一：如图1，选取矩形的一个顶点，作的平分线，交于点，在线段上任取一点，过点作，垂足为．以点为圆心，的长为半径作，可知与两边同时相切，切点分别为G、F两点； 操作二：如图2，沿射线方向移动圆心，使逐渐变大．当与矩形的两边分别交于点H、I且圆心落在弦上时，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【探究】 (1)在图2中，顶点C 上？（填“在”或“不在”）； (2)如图3，已知正方形的边长为4，求正方形内最大半圆的半径的长； 【拓展】 (3)如图4，在矩形中，，请用无刻度的直尺和圆规作出矩形内最大的半圆，圆心记为（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)在 (2) (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，再根据直角三角形的性质得出答案即可； （2）设的半径为与分别相切于点，则连接，延长交于点G，根据切线的性质和正方形的性质说明四边形为矩形，可得，再根据垂径定理得，可得，然后根据勾股定理求出答案即可； （3）以点A为顶点作的平分线，交于点O，再以点O为圆心，为半径画圆，则答案可得． 【详解】（1）解：在； 如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴． 在中，， ∴点C在上； （2）解：如图，连接，延长交于点G， 设的半径为与分别相切于点，则 与分别相切于点， ，即． ∵四边形是正方形， ， ∴四边形为矩形， ，即， ， 在Rt中，，即， 解得（舍去），， ∴正方形内最大半圆O的半径的长为； （3）略 27．（2026·河北廊坊·二模）【模型】在矩形中，，． (1)【操作】在图1中，用直尺和圆规在的上方作出以为直径的半圆（保留作图痕迹，不写作法）． (2)【探究】如图2，点在半圆上，连接，，过点作，交所在直线于点，连接． ①求证：； ②随着点的位置变化，的面积始终保持不变，请求出的面积． (3)【拓展】如图3，在梯形中，，，，，是线段的中点，是线段上一点，连接，过点在上方作，使．当的面积最小时，直接写出的值． 【答案】(1)解：如图所示为所求： (2)①证明：∵四边形是矩形， ， 是直径， ， ， ， ， ； ②； (3) 【分析】（1）先作线段的垂直平分线交于点，再以点为圆心，为半径画半圆即可； （2）①由矩形的性质可得，再根据直径所对圆周角为，得到 ，利用，可证，即可证明结论；②由①中结论，可得，即可得出结果； （3）先求出 ，进而得到，取，作矩形，则，，连接，可得 ，易证 ，得到 ，推出点在为直径的圆上，当的面积最小时，点为的垂直平分线与圆的交点，求出，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：， ，即， ∵，， ； （3）解：∵在梯形中，，，，， ， ， ，即， 是线段的中点， ， 如图所示，取，作矩形，则，，连接， ， ∴ ， ， 又， ， ， ， ∴点在为直径的圆上， ∴当的面积最小时，点为的垂直平分线与圆的交点， 则此时是等腰直角三角形， ，， ． 28．（2026·河北廊坊·二模）如图，为半圆的直径，点在半圆上，连接，，且，．点在直径上（不与点，重合），点与点关于直线对称，连接，过点作，交的延长线于点． (1)直接写出线段的长； (2)嘉嘉说：在点移动过程中，始终有；淇淇说：当时，直线与半圆相切．请选择其中一人的说法进行说理； (3)当线段与半圆有第二个交点时，交点为，若的长为，求的度数． 【答案】(1) (2)①选择嘉嘉的说法 如图所示，连接 ∵点与点关于直线对称 ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ②选择淇淇的说法 如图所示，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴为的中点 ∵， ∴ ∴ ∴为等边三角形 ∴， 在中，， ∴ 由对称性可知平分 ∴ ∴ 即 又是半圆的半径 ∴直线与半圆相切 (3)的度数为或 【分析】（1）先由为半圆的直径，点在半圆上，得，再根据直角三角形对边为斜边一半求； （2）嘉嘉：先根据轴对称得，，再根据等角对等边证，最后推出；淇淇：先算出，接着证为等边三角形、，再结合对称得，判定切线； （3）弧长公式求圆心角，由，分两段弧分类算． 【详解】（1）解：∵为半圆的直径，点在半圆上， ∴， 在中，，， ∴； （2）略； （3）（3）设， ∵半径，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， 当点在上时，， 当点在上时，， 综上，的度数为或． 29．（2026·河北邢台·二模）如图1和图2，与直线相切于点，在中裁掉一个圆心角为的扇形，且．点是上一点，连接，从出发以每秒的速度按顺时针方向转动，当与重合时停止转动，设转动时间为秒． (1)如图1，过点且始终与平行的直线也随运动，设直线与的另一个交点为． ①求点到直线的距离； ②当直线与相切时，求的值． (2)如图2，过点且始终与垂直的直线也随运动，直线交直线于点，与的另一个交点为． ①当时，求的值； ②直接写出的最大值． 【答案】(1)①；② (2)①或；② 【分析】（1）①过点作于点，作于点，证明四边形是矩形，在中利用三角函数求出，进而得到，根据矩形对边相等得出，即点到直线的距离为；②根据切线性质得，结合推出，得到，除以转动速度即可求出的值； （2）①连接，在中求出，得，分点在点左侧和右侧讨论，在左侧时直线过圆心，再分在和上，得和，在右侧直线过点且与圆相切，不符合题意舍去，综合即得的值；②延长交直线于点，过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，得，，进而求出，得，由得，求出，在中利用三角函数推出，得，根据垂线段最短得，当取最大值时，取得最大值，代入计算即可得的最大值． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点，作于点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵与直线相切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴即点到直线的距离为； ②如图，当直线与相切时，切点为，设直线与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵从出发以每秒的速度按顺时针方向转动， ∴秒； （2）解：①如图，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， 点在直线上，分两种情况讨论： 情况一：点在点左侧： ∴， ∴， ∵直线过点且始终与垂直，直线交直线于点， ∴点、、在直线上， 如图，当点在上时， 旋转角度，此时； 如图，当点在上时， 旋转角度，此时； 情况二：点在点右侧： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴直线过点， 又∵直线， ∴直线与相切，与只有一个公共点，不符合“有另一个交点”的条件，故舍去； 综上，当时，的值为或； ②延长交直线于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴是点到直线的垂线段， ∴， ∴， 当且仅当点与点重合（即）时，取得最大值， 此时的最大值为：． 30．（2026·河北张家口·二模）综合与实践： 【情境】在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助数学知识予以解释，在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究性数学实践活动． 【操作】 如图，在矩形纸片中，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． 【探究】 (1)在图中，连接，的长为________； (2)在图中，当点落在上时，求的长； 【拓展】 (3)在图中，尺规作图：作，且满足点到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法），此时________； (4)连接、，当最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)所在图形如图所示： (4) 【分析】（1）根据矩形的性质及勾股定理进行求解即可； （2）由折叠的性质可知：，然后可得，进而根据三角函数可进行求解； （3）先作线段的垂直平分线（分别以点C、点D为圆心，以大于长为半径画弧，上下分别交于一点，这两点所连直线即为线段的垂直平分线 ），然后以点A为圆心，长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点Q，再分别以点B、Q为圆心，大于长为半径画弧交于一点，最后连接这个点和点A，交于点P，则问题可求解； （4）由题意易得点Q是以点A为圆心，2为半径的圆弧上运动，要使最大，则需满足与点Q所在圆相切，如图，过点C作，然后可得，进而根据解直角三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； （2）解：由折叠的性质可知：， ∵点落在上，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：所作图形略， 由作图得的垂直平分线也垂直平分， 由线段的垂直平分线的性质可知：， 由折叠可知：，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （4）解：由折叠可知：，则点Q是以点A为圆心，2为半径的圆弧上运动，如图， 要使最大，则需满足与点Q所在圆相切，如图，过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 31．（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，交于点，点是边的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，的平分线所在直线交对角线于点．当点与点重合时，停止旋转．设，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点在线段上时．求的度数及的长； (3)当时，求的值； (4)直接写出点到边距离的最大值与最小值的差． 【答案】(1)证明：由旋转的性质可知，， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)， (3)2或8 (4) 【分析】（1）证明即可； （2）先得出，，再根据角平分线的定义可得的度数；然后利用勾股定理求出的长，根据即可得； （3）分两种情况：①当点在上，即时，延长交于点，先求出的长，则可得，再在中，利用勾股定理求解即可；②当点在上，即时，设交于点，同情况①的方法求解即可； （4）判断出点的运动轨迹，结合圆的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵在矩形中，，，点是边的中点， ∴，，， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴，， ∵是的平分线， ∴， 在中，， 由旋转的性质可知，， ∴． （3）解：由题意可知，，即， ①如图，当点在上，即时，延长交于点， ∵ ∴， ∴，，即， ∴，， ∴，， ∴在中，，即， 解得（符合题设）或（不符合题设，舍去）； ②如图，当点在上，即时，设交于点， 同理可得：，，， ∴，， ∴在中，，即， 解得（符合题设）或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为2或8． （4）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴点到边的距离等于， 由旋转的性质可知，， ∴如图，点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的一段圆弧上， 由圆的性质可知，点到边距离的最小值等于点到边的距离减去半径，即； 当点与点重合，点到边的距离最大，此时过点作于点，连接，交直线于点，则最大值为， 在中，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴点到边距离的最大值为， ∴点到边距离的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题的难度在于正确判断出点的运动轨迹． 32．（2026·河北邯郸·二模）如图，点，点在数轴上表示的数分别为和4，点为原点，在数轴的上方作，，．点，同时从点出发在数轴上背向而行，速度均为1个单位长度/秒，当点与点重合时，立即以原速返回，点继续沿数轴正方向移动，当点与点重合时，点，同时停止运动．以为直径构造半圆，设点，的运动时间为秒． (1)直接写出的度数及当秒时点在数轴上表示的数； (2)直接写出的最大值，求当点，重合时，落在半圆外部的图形的面积； (3)若半圆与直线相切时，求点在数轴上所表示的数； (4)求边落在半圆内部（包括边界）的弦长不变的时长．（参考数据：取） 【答案】(1)；； (2)8； (3)或 (4)秒 【分析】（1）过点A作于点E，利用平行四边形的面积公式求出长，在中，，从而求出的度数，当秒时，点M从点B返回运动，据此求解即可； （2）分析M、N的运动过程，根据两点坐标差的绝对值表示长度，结合运动阶段求最大值；当M与B重合时，确定半圆P的圆心、半径，用梯形面积减去扇形面积，得到外部图形面积； （3）分情况讨论：当半圆与第一次相切于点K时，此时点M向点B处运动，当半圆与第二次相切于点K时，此时点M从点B处返回向点O运动，分析此时半圆P的位置，利用勾股定理求解即可； （4）设半圆与的两个交点分别为R、S（R在S的左侧），当点M返回，点R、A重合时，过点A作于点，线段开始达到固定长度，过圆心P作于点F，连接，当时，此时半圆的半径为4，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，从点R、A重合到点S与点D重合结束，线段的长度持续为，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， ， 由题意知，、， ， ， 即， 解得：， 在中，， ； 点M从O向左运动，到达B需要：秒， 当秒时，点M从B返回向右走了1秒，位置为； （2）解：由题意知，，点到达点再返回到达点需要的时间为：秒， 当时，点的位置是，点的位置是， 时，点与点B重合，点N与点C重合，此时， 当时，点的位置是，点的位置是， 此时， 综上所述，的最大值为8； 解：的最大值为8； 如图1，当点M、B重合时，，则以为直径构造半圆的半径为， 过点O作于点T，平行四边形与交与点G，过点G作与点H，连接， 四边形是平行四边形， 、， ， 在中，， ， ， 在中，， 、、、， 、， 四边形、都是矩形， 、， 在中，由勾股定理得：， ， ， （3）解：若半圆与直线相切时， 如图2，当半圆与第一次相切于点K时，连接，此时点、重合， ， 在中，、、， ， ， 当半圆与第一次相切于点K时，点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为； 当半圆与第二次相切于点K时，点从点B处向右侧运动， 如图3， 此时，， ， ， 当半圆与第二次相切于点K时，点N在数轴上所表示的数为； 综上所述，当半圆与相切时，点N在数轴上所表示的数为或； （4）解：设半圆与的两个交点分别为R、S（R在S的左侧）， 如图4，当点M返回，点R、A重合时，过点A作于点，线段开始达到固定长度，过圆心P作于点F，连接，， 当时，此时半圆的半径为4， ， 在中，、、， 、， ， 在中，由勾股定理得：， 同理得：， ， 线段的长度为； 从图4的状态开始，到图5的状态点S与点D重合结束，线段的长度持续为， 持续时间为秒． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、圆的切线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法是解题的关键． 33．（2026·河北保定·二模）嘉嘉和淇淇一起研究图形的折叠问题：如图1，纸片中，，，，点E为边上一点．嘉嘉折叠纸片，使点B与点C重合，找到了边的中点D． (1)在图1中用尺规作图作出边的高线，垂足为N（保留作图痕迹，不写作法）；并直接写出_______； (2)如图2，淇淇将沿折叠，得到，与交于点G，连接． ①当时，求的长度； ②若，直接写出的长度（用含x的式子表示）； (3)如图3，嘉嘉过点A作直线于点H，连接，当最大时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析， (2)①；②的长度为 (3)当最大时， 【分析】（1）按要求作于点N即可；先由勾股定理求出，再根据求； （2）①由折叠和中点可得，过作于，则，再证明四边形是矩形，得到，在中求出，最后根据求解 ②，设，，则，由折叠和等腰三角形得到，即可证明，得到，代入得到，消去即可得到； （3）取中点，过作于，连接，则，先由，得到，即可求出，再根据得到点在以为圆心，半径为的圆上运动，当与相切时，最大，此时，，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：边的高线如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①∵边的中点D，， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴， ∴， 过作于，则， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②，设，，则， ∵将沿折叠，得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由可得， 由可得， ∴， 整理得， 即； （3）解：取中点，过作于，连接，则， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∴当与相切时，最大， 此时， ． 34．（2026·河北保定·二模）如图，已知矩形，，，延长到点，使，点为中点，点从出发，以1个单位每秒的速度由向运动，设运动时间为秒，将线段绕点逆时针旋转并缩小，得到线段，连接． (1)当时，求的长． (2)当位于矩形内（包括边界），求的取值范围． (3)将沿所在直线翻折，当点恰好落到矩形边上时，求的值． (4)直接写出在运动过程中，的最大值． 【答案】(1) (2)当时，点F恰好落在矩形的内部（含边）上； (3)当点恰好落在矩形的边上时，t的值为或 (4) 【分析】（1）当，可得，，求解，结合旋转可得：，进一步可得答案； （2）当点F落在边上或点F落在边上时，根据相似三角形的判定和性质解题即可； （3）过点F作，垂足为G，则，然后得到，可得点F到直线的距离为2，再分两种情况：当点落在边上和点落在边上时，利用勾股定理解题即可； （4）设经过A，E，P三点的圆的圆心为O，连接，可知当与相切于点P 时，最大，过点O作于点I， 则，然后计算求最大值． 【详解】（1）解：如图， ∵矩形，，，， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由旋转可得：，， ∴． （2）解：点F落在边上时，如图， ∵是矩形，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 当点F落在边上时，如图 同理可得， ∴， ∴， ∴， 综上可知，当时，点F恰好落在矩形的内部（含边）上； （3）解：如图，过点F作，垂足为G， ∵， ∴. 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴点F到直线的距离为2； 设翻折后的对应点为，分两种情况讨论． ①当点落在边上时，如图，， ∴， 根据折叠的性质可知，， 在中，根据勾股定理，得， 即 ∴ ， ②当点落在边上时，如图，． 分别过点F，P  作，，垂足分别为R，S，  则． 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴ 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 综上可知，当点恰好落在矩形的边上时，t的值为或. （4）解：设经过A，E，P三点的圆的圆心为O，连接，可知当与相切于点P 时，最大，过点O作于点I， 连接，，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 综上：的最大值为． 35．（2026·河北石家庄·二模）如图1和图2，在菱形中，，点在射线上运动，是的外接圆． (1)如图1，当的长度为__________时，圆心落在边上； (2)如图2，当边与相切时，切点为，小明说：“此时劣弧与劣弧的长度相等．”请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； (3)延长交射线于点．当是直角三角形时，求的长； (4)点M在射线上运动的过程中，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2) 解：说法正确，理由如下： 设，由圆周角定理可得， 连接，，， ∵边与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧与劣弧的长度相等； (3)当是直角三角形时，或 (4)最小值 【分析】（1）根据菱形的性质得到，当圆心落在边上时，即为直径，此时，与重合，； （2）设，由圆周角定理可得，连接，，，根据切线得到，由，，则，即可得到，根据圆心角相等得到劣弧与劣弧的长度相等； （3）根据或分情况讨论，分别画出图形，根据菱形的性质和勾股定理计算即可； （4）作的垂直平分线，过作于，于，则四边形为矩形，，利用面积和勾股定理求出，则，根据是的外接圆，得到在的垂直平分线上移动，根据垂线段最短求出线段有最小值即可． 【详解】（1）解：连接交于， ∵在菱形中，， ∴，，，，， ∴，， ∵是的外接圆， ∴圆心落在边上时，即为直径，此时， ∴与重合， ∴； （2）略 （3）解：当时，即，过作于， ∵， ∴， ∴，， 由菱形面积可得， ∴， ∴，， ∴， ∵中， ∴， 解得； 当时，即，交于，连接， 由过程同理可得，，，， ∴，， 由菱形的性质可得， ∴，， ∴和中， ∴， 解得； 综上所述，当是直角三角形时，或； （4）解：作的垂直平分线，过作于，于，则四边形为矩形，， ∴， 由菱形面积可得， ∴， ∴， ∴， ∵∵是的外接圆， ∴在的垂直平分线上移动， ∴当，即在点时，线段有最小值，最小值． 36．（2026·河北邢台·二模）如图，在矩形中，，，一动点从点出发沿边运动到点停止，连接，过点作交边于点，以线段为斜边，在的上方作等腰直角，设的长为． (1)当四边形为正方形时，直接写出的值及正方形的边长； (2)嘉嘉通过探究发现：点在的平分线上．请你判断嘉嘉的发现是否成立，并说明理由； (3)求的外心到边的最大距离． (4)在点运动过程中， ①点能否落在边上，若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由； ②直接写出点运动的路径长． 【答案】(1)，正方形的边长为 (2)嘉嘉的发现成立，理由如下： 如图2，作于点M，作于点N， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是正方形， ∴点在的平分线上； (3)的外心到边的最大距离为 (4)①点不能落在边上，理由如下： 如图2，设，由（2）知， ∴四边形是正方形， ， 由，则， ， ， 同（3）得 ， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值为， ， ∴点不能落在边上； ② 【分析】（1）先求出，得出，即可求出结论； （2）作于点M，作于点N，证明，进而证明四边形是正方形，即可得出结论； （3）中点O即为等腰直角的外心，作于点H，证明，求出，再根据二次函数性质求出最值即可； （4）①设，由，则，，根据得出，即可求出，再根据二次函数性质求出结论； ②点E运动的起点是，当点P运动至点，且时，点E从点运动至最高点，作于点M，得出点E运动的路径为，求出运动路径长即可． 【详解】（1）解：如图1，当四边形为正方形时， ， ， ， ， 正方形的边长； （2）略 （3）解：如图2， 为等腰直角斜边， ∴中点O即为等腰直角的外心， 作于点H， ， ， ， ， 当时，取得最大值为， 即的外心到边的最大距离为； （4）解：①略； ②由（2）知，点在的平分线上，如图（3）， 当点P从点B出发时，点与点B重合，点与点A重合， 此时点E运动的起点是， 由，则， 当点P运动至点，且时，点E从点运动至最高点， 作于点M，由①知，， 则， 当点P运动至与点A重合时，点均与点A重合， 故点E运动的路径为， 运动路径长为． 37．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转（）得到，连接，并取三等分点和，连接． (1)若，求扫过区域的面积．（结果保留） (2)如图2，连接，在旋转过程中求出其最小值，并直接写出此时的长． (3)如图3，为中点，连接，当和取到最小值时，在线段上有一动点，请直接写出的最小值． (4)如图4，将绕点顺时针旋转得，为的对应点，延长和相交于点． ①当时，求； ②直接写出点的运动路径长．（参考：） 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3) (4)①；② 【分析】（1）根据题意，，，利用勾股定理的逆定理容易判断，则扫过区域是圆心角为，半径为的扇形，使用扇形面积公式进行计算即可； （2）容易判断点在以点为圆心，为半径的半圆上运动，则当、、三点共线时，取得最小值．作于点，作于点，利用勾股定理计算出，进而求出的最小值．利用和分别计算出，，再使用勾股定理计算出即可； （3）延长至点，使得，连接，容易证明和，则，，因此当取得最小值时，和取到最小值．由（2）可知，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动，因此当、、三点共线时，取得最小值．延长至点，使得，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，作于点，连接，作于点，利用和可计算出，，，使用面积法可计算出．容易计算出，进而得到，因此，结合垂线段最短可知，当时，取得最小值，此时点与点重合，即； （4）①作于点，根据题意可得，进而可判断是等边三角形，则，，利用三角函数计算出，，利用勾股定理计算出后，根据正弦函数的定义进行求值即可； ②在上取点，使得，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、，作于点，容易证明，则为定值，因此在点的旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动．结合旋转的性质可得，进而可证明，则，利用三角函数计算出，因此在点的旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动，最后使用扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵、是的三等分点， ∴， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴扫过区域是圆心角为，半径为的扇形， ∴扫过的面积为； （2）解：∵为定值， 又∵， ∴点在以点为圆心，为半径的半圆上运动， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 如图，、、三点共线，作于点，作于点， ∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵、是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在 中，； （3）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴当取得最小值时，和取到最小值， 由（2）可知，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 如图，、、三点共线，延长至点，使得，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，作于点，连接，作于点， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， 在 中， 在中，， ∴， 又∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，此时点与点重合，即， ∴的最小值为； （4）解：①如图，作于点， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，； ②如图，在上取点，使得，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、，作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为定值， ∴在点的旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为定值， ∴在点的旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动， ∴点的运动路径长为 ． 试卷第88页，共91页 2/89 学科网（北京）股份有限公司 $