专题04 几何初步与三角形（7大考点）（河北专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦几何初步与三角形，整合2026年河北多地二模真题，以科技（机器人武术）、文化（木杆秤）、生活（试鞋镜光路）情境为载体，覆盖7大核心考点，梯度适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择/填空|36题|立体图形展开图、角的计算、平行线性质判定、三角形线段与角|如机器人武术节目考平行线性质，木杆秤问题融合三角形外角计算| |解答题|13题|全等与等腰三角形综合应用|含动态几何（三角板转动）、方案设计（测两直线夹角），适配中考压轴题趋势|

专题04 几何初步与三角形 考点概览 考点01立体图形的展开图 考点02角的相关概念及计算 考点03相交线与平行线 考点04平行线的性质与判定的应用 考点05与三角形有关的线段 考点06与三角形有关的角 考点07全等三角形与等腰三角形性质与判定的综合应用 立体图形的展开图 考点01 1．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据分析，4和3相对，6和5相对，1和2相对，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，第三次滚动后写有数字3的一面朝下，第四次滚动后写有数字5的一面朝下，第五次滚动后写有数字4的一面朝下，每滚动4次回到初始位置，结合，求解即可； 【详解】解：根据题意，得4和3相对，6和5相对，1和2相对，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，第三次滚动后写有数字3的一面朝下，第四次滚动后写有数字5的一面朝下，第五次滚动后写有数字4的一面朝下，每滚动4次回到初始位置， 因为， 所以朝下一面的数字为3； 2．（2026·河北邢台·二模）已知图1所示的平面图形可以折叠成图2所示的正方体，则小正方形的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可以把图1逆时针旋转90°后向左、向右、向前、向后折叠得到正方体2，再把正前方的图形顺时针旋转90°即可得到解答． 【详解】解：把图1逆时针旋转90°后向左、向右、向前、向后折叠得到正方体2，此时P变为： 把上图顺时针旋转90°即得P图原图如下： 故选D． 【点睛】本题考查旋转的应用，熟练掌握正方体的折叠方法及旋转的方法是解题关键． 3．（2026·河北石家庄·二模）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质、几何体展开图的认识以及勾股定理，通过设，根据勾股定理在中有，在中，即可求出的值进行解答． 【详解】解：如图，正方形硬纸板的边长为， 设， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 解得：或（负值舍去）， 立方体的棱长． 角的相关概念及计算 考点02 4．（2026·河北石家庄·二模）如图为嘉淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼；若；，，则入射角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，结合图形根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·河北邯郸·二模）如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，可得，故可得从点处观察山脚处的俯角为． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． 6．（2026·河北邢台·二模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，使两个三角尺的斜边平行，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在图中取点、、、、、，由三角尺可知，，，由平行线的性质可得，结合三角形外角的性质可得，最后计算出即可． 【详解】解：如图， 由三角尺可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（2026·河北廊坊·二模）如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，将三角板绕点转动，且点在，之间．若减少，则（     ） A．减少 B．增加 C．度数不变 D．度数变化不确定 【答案】B 【分析】作，得到，推出，，得到，据此求解即可． 【详解】解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 若减少，则增加． 8．（2026·河北邢台·二模）如图，在正方形网格图中，位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据方位角的含义绘制点的南偏西方向和点西北方向，即可得到答案． 【详解】解：如图，绘制点的南偏西方向：从点的正南方，向西（左）偏转的方向， 绘制点西北方向：从点的正北方，向西（左）偏转，也就是正西和正北的角平分线方向，两直线交于点， ∴位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是点． 9．（2026·河北保定·二模）如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（     ） A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏西的方向上 D．北偏西的方向上 【答案】C 【分析】利用角的和差求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C ． 10．（2026·河北邯郸·二模）一束光从空气斜射入水中，入射光线和折射光线如图所示，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵法线垂直于水面， ∴法线与水面夹角为， ∵，， ∴． 11．（2026·河北唐山·二模）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 相交线与平行线 考点03 12．（2026·河北邯郸·二模）如图，直线，相交于点，若与互补，则直线，的位置关系是（     ） A．互相平行 B．互相垂直 C．互相平分 D．重合 【答案】B 【分析】根据对顶角相等可得，结合已知条件与互补，可求出的度数，进而判断直线，的位置关系． 【详解】解：与是对顶角 ， ， 与互补， ， ， ， ， 即直线，互相垂直． 13．（2026·河北保定·二模）如图，取两根木条，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型．转动木条，当增大时，则下列说法正确的是（   ） A．减小 B．减小 C．增大 D．与的和不变 【答案】A 【分析】本题考查对顶角和邻补角，根据对顶角得到，，邻补角得到，根据增大，结合角的关系，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：，，， ∴当增大时，增大，减小，与的和减小， 故正确的只有选项A． 故选A． 14．（2026·河北张家口·二模）在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行的判定定理，结合已知，分析得出需满足的角度关系，从而确定两条钢轨平行的条件． 【详解】解：根据平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行， ， 只需要确保，此时， 两条钢轨平行． 15．（2026·河北邯郸·二模）阅读下列证明过程，判断所填理由错误的代号是（    ） 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补． 求证：． 证明：∵（①平角的定义）， ∴是的补角（②互补的定义）． ∵是的补角（③已知）， ∴（④等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】由平角的定义和补角的定义得出∠1 =∠3，由同位角相等，两直线平行即可得出结论． 【详解】证明：∵（①平角的定义）， ∴是的补角（②互补的定义）． ∵是的补角（③已知）， ∴（④同角的补角相等）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴所填理由错误的代号是④． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定方法、补角的定义、平角的定义，根据题意得出同位角相等是解决问题的关键． 16．（2026·河北张家口·二模）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 【答案】8（答案不唯一） 【分析】设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数，求解即可； 【详解】解：设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数， 故乙走的路程是8千米或9千米或10千米； 平行线的性质与判定的应用 考点04 17．（2026·河北廊坊·二模）小明试图利用两个三角尺验证直线，则下列验证方式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，观察图形判定即可． 【详解】解：观察选项，A选项中，因为内错角(两直角)相等，所以，，，选项不能得到． 18．（2026·河北邯郸·二模）如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点放置在刻度尺的边上，点落在尺子内部，与尺子的边交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，根据平行线的性质得到、，由等腰直角三角形的性质得到，利用求解即可． 【详解】解：如图，过点B作， 刻度尺的两边， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 19．（2026·河北廊坊·二模）2026年央视春晚武术节目《武》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武器动态操控，成为科技与传统文化融合的典范之作．如图1是机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，其中，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由平行和垂直可得，进而得出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．（2026·河北石家庄·二模）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得，可求出，由可得，进而求解． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 21．（2026·河北保定·二模）甲、乙、丙为了得到下图中“跑到画板外面去的两直线a，b所成的角（锐角）的大小”，设计出如下三个方案： 甲的方案 乙的方案 丙的方案 过直线b上任意一点，作．测度数． 测图中，的度数． 过画板上任意一点M，分别作a，b平行线．测度数． 以上方案可行的是（     ） A．只有甲的方案可行 B．只有乙和丙的方案可行 C．只有丙的方案可行 D．甲、乙、丙的方案均可行 【答案】D 【分析】根据两直线平行即可判断甲的方案可行，根据外角的性质即可判断乙的方案可行，根据平行四边形的判定和性质即可判断丙的方案可行． 【详解】解：设两直线a，b所成的角（锐角）的大小为， 甲的方案：∵ ∴， 故甲的方案可行； 乙的方案：根据外角的性质得， ∴， 故乙的方案可行； 丙的方案：根据题意可知，所围成的四边形是平行四边形， 根据平行四边形的对角相等，可得， 故丙的方案可行． 综上所述，甲、乙、丙的方案均可行． 22．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 23．（2026·河北石家庄·二模）在两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥（děng）子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 故选：B． 24．（2026·河北邢台·二模）如图是正边形的一部分及它的一个外角，根据图中所给出的信息，的值是____． 【答案】 8/八 【分析】根据平角的定义列出关于α的方程，求出正边形的外角度数，再根据多边形的外角和等于即可求出n的值． 【详解】由图可知，α与互为补角， ∴， 解得， ∵多边形的外角和为，且该多边形为正n边形， ∴． 与三角形有关的线段 考点05 25．（2026·河北保定·二模）如图，将沿虚线剪去一个角后，得到四边形，则裁剪前后（     ） A．面积不变 B．周长变小 C．外角和变大 D．外角和变小 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积，构成三角形的三边关系，多边形的外角．结合有关知识对选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A，裁剪后的图形减少了一个小三角形的面积，故裁剪后的面积变小了，所以选项A不符合题意； 选项B，如图，裁剪后四边形的周长为，故裁剪后的周长变小了，所以选项B符合题意； 因为任意四边形的外角和均为，故裁剪前后图形的外角和不变，所以选项C，D不符合题意． 26．（2026·河北廊坊·二模）在中，，分别是边上的高线和中线，是的角平分线，下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离垂线段最短的性质，对比和，的长度关系，再通过特殊的直角三角形验证和的大小关系． 【详解】解：∵是边上的高线， ∴， 由垂线段最短可得，一定不大于，，所以选项A正确，选项B，C错误，选项B，C不符合题意； 如解图， 在一个角为（）的直角三角形中，为直角顶点，过点作于点， ∴， 设的长为1， ∵是边上的中线， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， ∵， ∴， ∴D选项错误，不符合题意． 27．（2026·河北邯郸·二模）如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地的路程分别为和．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长、交于点，易证明，则、，进而求出和，根据三角形三边关系得到，据此求出和的关系． 【详解】解：延长、交于点， 由图甲可知，、，由图乙可知，、， 、， 在和中， ， ， 、 、， ， 、， ， ． 28．（2026·河北保定·二模）将一根质地均匀的细铁丝，裁剪成三段或四段，不可以围成三角形或四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项：由图可知，分成三段的长分别为3，4，5，由三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得A选项能围成三角形； B选项：由图可知，分成三段的长分别为2，6，4，由三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得B选项无法围成三角形； C选项：由图可知，分成四段的长分别为3，3，3，3，可以围成菱形； D选项：由图可知，分成四段的长分别为2，4，2，4，可以围成平行四边形． 29．（2026·河北石家庄·二模）甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】A．∵，故标注正确； B．∵，故标注正确； C．∵，故标注错误； D．∵，故标注正确． 故选：C． 30．（2026·河北保定·二模）已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则可以取的值为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边求解范围，进一步可得答案． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：，即， 则可以取的值为（答案不唯一）． 与三角形有关的角 考点06 31．（2026·河北邢台·二模）下图中一定比的度数大的一个角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质进行判断即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴． 32．（2026·河北保定·二模）如图，把等边纸片沿折叠，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，结合平角的定义和图形中角的关系求出的度数，再利用三角形的外角性质或内角和定理求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的外角， ， ， ． 故选：A． 33．（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是（   ） A．减少 B．减小 C．增大 D．增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外角，熟练掌握三角形的外角等于不相邻两内角之和是解题的关键． 由，，可得，从而，即可得的变化情况． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当减少时，增大． 故选：D． 34．（2026·河北邯郸·二模）如图，在中，点和分别是边，上一点，连接，，的平分线交于点，是的外角，若，，，则，，三者间的数量关系是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角性质，平行线的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，两直线平行同位角相等．由平行线的性质推出，由角平分线的定义得到，由三角形的外角性质得到，因此． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． 全等三角形与等腰三角形性质与判定的综合应用 考点07 35．（2026·河北唐山·二模）如图，，点在上．下列说法正确的个数是（   ） ①；②；③；④点在的中垂线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形“等边对等角”及“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”是解题的关键． 先根据等腰三角形“等边对等角”的性质判断是否成立；再依据等腰三角形“三线合一”的性质，判断点是否在的中垂线上；最后分析点为上任意一点时，与是否一定成立，从而统计正确说法的个数． 【详解】解：， ， 正确； ， 点在的中垂线上， 正确； 点为上任意一点，不一定是中点， ， 错误； 不一定成立， 错误； 正确的说法有，共个， 故选：． 36．（2026·河北张家口·二模）如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可知，进而根据全等三角形的性质可证是等边三角形，进而根据三角形的外角定理可知，进而可知即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴,, ∵, ∴是等边三角形， ∴, ∴, ∴， ∴, ∴，, ∴， ∴． 37．（2026·河北邯郸·二模）如图，在中，，，点D为上一点，且，连接，于点E，将绕点B逆时针旋转得到线段，连接交于点G，若，则的长为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及平行线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质、正确作出辅助线是解题的关键． 根据旋转和已知条件证明 ，得出且 ，进而得到，利用平行线性质和等腰直角三角形的性质，通过构造全等三角形证明G点为的中点，最后利用求解． 【详解】解：连接， 、， 是等腰直角三角形， 、， 绕点B逆时针旋转得到线段， 、 ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 过 D点作交 的于点 K， ， ， ， ，即， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 38．（2026·河北保定·二模）如图，中，，．甲、乙两人想在外部取一点，使得与全等，其作法如下： 甲：①作的角平分线． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． 乙：①过作平行的直线． ②过作平行的直线，交于点，则即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（   ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，逐一进行判断即可． 【详解】解：甲：如解图①， ∵， ∴， ∴，由甲的作法可知，， 故和不可能全等， 故甲的作法错误； 乙：如解图②， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴乙的作法是正确的． 39．（2026·河北石家庄·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确． ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确． ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD． ∴点D在AB的中垂线上．故③正确． ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD． ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD． ∴S△DAC：S△ABC．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 40．（2026·河北张家口·二模）如图，已知和，，，，与交于点，点在上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ． 在和中 ， ． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据“”证明全等即可； （2）由（1）可知，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ． ， ． 41．（2026·河北张家口·二模）如图，这是嘉琪折的纸飞机的外轮廓图，其中点在的延长线上，点在的延长线上，，交的延长线于点，，交的延长线于点，，点和点分别在边和边上，且． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行得到，再结合和即可证明． （2）由等腰三角形和三角形内角和得到，再根据得到，最后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ． （2）解：， ． ， ， ． 42．（2026·河北廊坊·二模）如图，点B，E，C，F在直线l上，，相交于点，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)证明： ， ， 即， 在和中， ． (2)证明：由（1）可知，， ， ， 是等腰三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，等腰三角形的判定方法，进行解答，即可． （1）根据全等三角形的判定方法，可证明，即可； （2）由全等三角形的性质，得到，根据等角对等边，即可． 【详解】（1）略 （2）略 43．（2026·河北保定·二模）如图，在中，点D，E分别在边，上，连接，相交于点O，，． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：由（1）得， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【分析】（1）利用等角的补角相等，得到，再借助公共角和，即可利用证明两个三角形全等； （2）借助（1）中的全等关系，可以得到，，通过公共角和等边对等角，可以得到，由同位角相等，可以得到两直线平行． 【详解】（1）略 （2）略 44．（2026·河北保定·二模）如图，点，，，在同一直线上，和都是等边三角形，且． (1)求证：； (2)当时，连接，求的长． 【答案】(1) 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴, 又， ∴， ∴， ∴， 在和中， , ∴； (2)8 【分析】（1）分别证明，，再根据证明即可； （2）证明点C与点E重合，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在中，，， ∴, ∴, ∴, ∵是等边三角形，， ∴, ∴, 即点C与点E重合， ∵和都是等边三角形，且， ∴, ∴． 45．（2026·河北唐山·二模）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)11 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 46．（2026·河北石家庄·二模）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2），是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 47．（2026·河北石家庄·二模）如图，在四边形中，，对角线平分，点是上一点，且． (1)求证：； (2)当时，把沿直线翻折得到，证明：． 【答案】(1) 证明：平分， ， 又，， ∴． (2) 证明：由翻折得， ， 由（1）得， ， ， ， ， ，即， ． 【分析】（1）通过角平分线的性质得到，再根据已知条件证全等即可； （2）由翻折得到，根据全等得到，根据推出，即可得证； 【详解】（1）略 （2）略 试卷第4页，共39页 2/39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 几何初步与三角形 考点概览 考点01立体图形的展开图 考点02角的相关概念及计算 考点03相交线与平行线 考点04平行线的性质与判定的应用 考点05与三角形有关的线段 考点06与三角形有关的角 考点07全等三角形与等腰三角形性质与判定的综合应用 立体图形的展开图 考点01 1．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·河北邢台·二模）已知图1所示的平面图形可以折叠成图2所示的正方体，则小正方形的图案是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北石家庄·二模）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为（     ） A． B． C． D． 角的相关概念及计算 考点02 4．（2026·河北石家庄·二模）如图为嘉淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼；若；，，则入射角的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河北邯郸·二模）如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邢台·二模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，使两个三角尺的斜边平行，则（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河北廊坊·二模）如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，将三角板绕点转动，且点在，之间．若减少，则（     ） A．减少 B．增加 C．度数不变 D．度数变化不确定 8．（2026·河北邢台·二模）如图，在正方形网格图中，位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 9．（2026·河北保定·二模）如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（     ） A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏西的方向上 D．北偏西的方向上 10．（2026·河北邯郸·二模）一束光从空气斜射入水中，入射光线和折射光线如图所示，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·河北唐山·二模）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 相交线与平行线 考点03 12．（2026·河北邯郸·二模）如图，直线，相交于点，若与互补，则直线，的位置关系是（     ） A．互相平行 B．互相垂直 C．互相平分 D．重合 13．（2026·河北保定·二模）如图，取两根木条，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型．转动木条，当增大时，则下列说法正确的是（   ） A．减小 B．减小 C．增大 D．与的和不变 14．（2026·河北张家口·二模）在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（    ） A． B． C． D． 15．（2026·河北邯郸·二模）阅读下列证明过程，判断所填理由错误的代号是（    ） 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补． 求证：． 证明：∵（①平角的定义）， ∴是的补角（②互补的定义）． ∵是的补角（③已知）， ∴（④等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． A．① B．② C．③ D．④ 16．（2026·河北张家口·二模）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 平行线的性质与判定的应用 考点04 17．（2026·河北廊坊·二模）小明试图利用两个三角尺验证直线，则下列验证方式中正确的是（     ） A． B． C． D． 18．（2026·河北邯郸·二模）如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点放置在刻度尺的边上，点落在尺子内部，与尺子的边交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 19．（2026·河北廊坊·二模）2026年央视春晚武术节目《武》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武器动态操控，成为科技与传统文化融合的典范之作．如图1是机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，其中，，，则（     ） A． B． C． D． 20．（2026·河北石家庄·二模）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．（2026·河北保定·二模）甲、乙、丙为了得到下图中“跑到画板外面去的两直线a，b所成的角（锐角）的大小”，设计出如下三个方案： 甲的方案 乙的方案 丙的方案 过直线b上任意一点，作．测度数． 测图中，的度数． 过画板上任意一点M，分别作a，b平行线．测度数． 以上方案可行的是（     ） A．只有甲的方案可行 B．只有乙和丙的方案可行 C．只有丙的方案可行 D．甲、乙、丙的方案均可行 22．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2026·河北石家庄·二模）在两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥（děng）子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 24．（2026·河北邢台·二模）如图是正边形的一部分及它的一个外角，根据图中所给出的信息，的值是____． 与三角形有关的线段 考点05 25．（2026·河北保定·二模）如图，将沿虚线剪去一个角后，得到四边形，则裁剪前后（     ） A．面积不变 B．周长变小 C．外角和变大 D．外角和变小 26．（2026·河北廊坊·二模）在中，，分别是边上的高线和中线，是的角平分线，下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 27．（2026·河北邯郸·二模）如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地的路程分别为和．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 28．（2026·河北保定·二模）将一根质地均匀的细铁丝，裁剪成三段或四段，不可以围成三角形或四边形的是（    ） A． B． C． D． 29．（2026·河北石家庄·二模）甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（    ） A．   B．   C．   D．   30．（2026·河北保定·二模）已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则可以取的值为________．（写出一个即可） 与三角形有关的角 考点06 31．（2026·河北邢台·二模）下图中一定比的度数大的一个角是（     ） A． B． C． D． 32．（2026·河北保定·二模）如图，把等边纸片沿折叠，若，则是（     ） A． B． C． D． 33．（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是（   ） A．减少 B．减小 C．增大 D．增大 34．（2026·河北邯郸·二模）如图，在中，点和分别是边，上一点，连接，，的平分线交于点，是的外角，若，，，则，，三者间的数量关系是______． 全等三角形与等腰三角形性质与判定的综合应用 考点07 35．（2026·河北唐山·二模）如图，，点在上．下列说法正确的个数是（   ） ①；②；③；④点在的中垂线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．（2026·河北张家口·二模）如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 37．（2026·河北邯郸·二模）如图，在中，，，点D为上一点，且，连接，于点E，将绕点B逆时针旋转得到线段，连接交于点G，若，则的长为（   ） A． B． C． D．8 38．（2026·河北保定·二模）如图，中，，．甲、乙两人想在外部取一点，使得与全等，其作法如下： 甲：①作的角平分线． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． 乙：①过作平行的直线． ②过作平行的直线，交于点，则即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（   ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 39．（2026·河北石家庄·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 40．（2026·河北张家口·二模）如图，已知和，，，，与交于点，点在上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 41．（2026·河北张家口·二模）如图，这是嘉琪折的纸飞机的外轮廓图，其中点在的延长线上，点在的延长线上，，交的延长线于点，，交的延长线于点，，点和点分别在边和边上，且． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 42．（2026·河北廊坊·二模）如图，点B，E，C，F在直线l上，，相交于点，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 43．（2026·河北保定·二模）如图，在中，点D，E分别在边，上，连接，相交于点O，，． (1)求证：； (2)连接，求证：． 44．（2026·河北保定·二模）如图，点，，，在同一直线上，和都是等边三角形，且． (1)求证：； (2)当时，连接，求的长． 45．（2026·河北唐山·二模）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 46．（2026·河北石家庄·二模）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 47．（2026·河北石家庄·二模）如图，在四边形中，，对角线平分，点是上一点，且． (1)求证：； (2)当时，把沿直线翻折得到，证明：． 试卷第4页，共39页 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $