专题03 函数（10大考点）（河北专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 本试卷汇编2026年河北各地二模函数专题试题，覆盖平面直角坐标系至反比例函数应用10大考点，以新能源汽车、智能机器人等真实情境设计问题，突出函数与几何综合及实际应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约20题|平面直角坐标系、函数图象性质|结合量角器（题54）、杆秤（题26）考查基础概念| |解答题|约15题|一次/二次函数应用、函数与几何综合|新能源汽车充电（题18）、智能机器人能耗（题24）等情境，二次函数翻折与几何综合（题46）|

专题03 函数 考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02从图象获取信息 考点03一次函数的图象和性质 考点04一次函数的实际应用问题 考点05二次函数图象和性质 考点06二次函数与几何图形的综合 考点07二次函数图象的变换问题 考点08二次函数的实际应用 考点09反比例函数的图象和性质 考点10反比例函数与几何图形 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·河北廊坊·二模）在平面直角坐标系中，点在第一象限，则整数可以是__________．（写出一个即可） 2．（2026·河北邯郸·二模）计算机按程序设置构建了平面直角坐标系，并标示了屏幕上A、B、C三个光点的坐标，数据如图，光点在直线上运动，当光点与光点的距离为5时，光点的坐标是____________________． 3．（2026·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，在第一象限内，且轴，各顶点坐标如图所示，则的值是_____． 4．（2026·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，将由点向点的移动称为“交错移动”．例如，点经过两次“交错移动”，先移动到点，再移动到点．下列各点中，无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 从图象获取信息 考点02 5．（2026·河北邯郸·二模）将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邢台·二模）学校田径队教练把运动员小强某次百米跑训练的速度与路程之间的观测数据绘制成如图所示的图象．则下列结论正确的是（     ） A．因为根据图象无法列出关于的解析式，所以不是的函数 B．因为小强百米跑的速度是，所以他百米跑的时间是 C．在小强从跑到的过程中，他的速度最高达到 D．在小强从跑到的过程中，他的速度有一个下降的阶段 7．（2026·河北保定·二模）如图是某外卖平台统计的甲，乙，丙三名骑手的某天的配送数据，甲，乙，丙上午配送数据分别用，，表示，下午配送数据分别用，，表示．若定义一天的配送效率，则下列说法正确的是（    ） A．甲的配送效率最高 B．丙的配送效率最高 C．甲的配送效率最低 D．乙的配送效率最低 一次函数的图象和性质 考点03 8．（2026·河北廊坊·二模）已知直线与轴的交点坐标为，则直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，点是线段上一点（不与点，重合），直线的解析式为，当随增大而减小时，点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，正比例函数与相交于点C． (1)求A，B两点的坐标； (2)若，求k的值； (3)若点C到x轴的距离小于1，请直接写出k的取值范围． 11．（2026·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，，．直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为，直线：（为常数且）与交于点，设点的纵坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)嘉嘉通过探究发现：“无论取何值，直线总过某个定点”．求这个定点的坐标； (3)若对于直线上的点，满足当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 12．（2026·河北邯郸·二模）如图，直线与直线平行，与轴交于点，直线：与直线交于点，并经过点，与轴交于点． (1)直接写出直线的函数表达式，求直线的函数表达式； (2)直线与轴、直线、直线分别交于点，，，设直线，，轴围成的三角形内部（包括边界）为， 当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； 直接写出点关于直线的对称点落在内（包括边界）时的取值范围． 13．（2026·河北保定·二模）如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点． (1)如图，过点C作直线：． ①用含k的代数式表示b； ②若直线与线段有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若，且k，m均为整数，求m的值． 14．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 15．（2026·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上一点，若，求点坐标． 一次函数的实际应用问题 考点04 16．（2026·河北石家庄·二模）如图，线段，点从点出发，点从点出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线运动，其中向点运动，向点运动，两点分别到达点、点时停止运动．以为一边的矩形面积始终为6．设点的运动时间为秒，之间的距离为，的长度为．在平面直角坐标系中，以为横坐标、为纵坐标，得到和随变化的图像．当时，设这两个函数的图像与直线所围成的封闭图形为（包括边界）．在封闭区域中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在或图像上的个数为_____个． 17．（2026·河北保定·二模）如图1，嘉嘉把一长方体铁块放置在高为50厘米的圆柱形容器底部，然后匀速向容器内注水，直至容器注满．注水过程中，他根据实验数据绘制了如图2所示的图象，其中容器内水的高度为y（厘米），注水时间为x（分）． (1)长方体铁块的高度为_____厘米； (2)求的y关于x的函数解析式，并直接写出注满容器所需时间； (3)嘉嘉将容器中的水全部倒掉，将长方体铁块拿走，重新做注水实验，这次实验水面以5厘米／分的速度上升，他发现本次实验注水a分钟时，容器中水的高度与第一次实验注水a分钟时容器中水的高度相同，请求出a的值． 18．（2026·河北石家庄·二模） 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 19．（2026·河北廊坊·二模）阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在到范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）的关系如下表： 气温（） 0 10 20 30 声速 325 331 337 343 349 材料二：声音的频率（）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是． 材料三：声音的波长（）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（）．声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：． (1)当气温为时，声速为________； (2)根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速（）与气温（）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)目前国际通用的钢琴标准音频率为，在室温为的情况下，求钢琴标准音的波长． 20．（2026·河北邯郸·二模）某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗，探究不同种菜苗高度与种植天数的关系．数据记录： 已种菜苗天数/天 0 2 4 6 8 10 … 甲种菜苗高度/天 6 9 12 15 18 21 … 乙种菜苗高度/天 15 16 17 18 19 20 … 初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数均为一次函数关系． (1)在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，（单位：）关于已种菜苗天数（单位：天）的函数图象； (2)求出关于的函数关系式，并直接写出第18天甲种菜苗的高度； (3)观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由． 21．（2026·河北张家口·二模）实践小组利用一个密闭容器研究水面高度与注水和放水时间的关系，容器有一个开放量固定的注水开关和一个可调节开放量的放水开关，容器中初始水面高度为．实验第一阶段只打开注水开关，注水时水面高度为，注水时接着打开放水开关，并持续，最后只打开放水开关并把开关调整至放水量最大，记录水面高度（单位：）与实验时间（单位：）的函数图象如图所示，其中轴，段图象的函数表达式为． (1)求段的函数表达式．（不用写出自变量取值范围） (2)实践小组成员嘉嘉记录如下：“当实验时间为时，容器中的水全部放完”．请通过计算，判断嘉嘉的记录是否正确？ (3)段的每分钟放水量为段每分钟放水量的__________． 22．（2026·河北张家口·二模）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电的状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘显示增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系，数据记录如表： 电池充电状态 充电时间（分钟） 增加的电量（%） 实验二：探究充满电的状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表： 汽车行驶过程 行驶里程（千米） … 显示电量（%） … (1)充电状态下，充电1分钟，增加的电量________，汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量________，该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为________分钟； (2)在表中，如果显示电量与汽车行驶里程满足一次函数关系． ①求与满足的函数关系式； ②如果该汽车行驶到剩余电量为时会自动报警，那么汽车在充满电的情况下，行驶约多少千米会自动报警； (3)某电动汽车在充满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，求电动汽车在服务区充电多长时间？ 23．（2026·河北邯郸·二模）为参加学校举办的“机器人大赛”，嘉淇组装了一款智能送餐机器人，并计划在长度为100m的路面AB上试验该机器人的运行情况，为方便观察，嘉淇站在与起点A距离的点处．如图，该机器人从点A出发，先以的速度运动到点，接着以的速度运动到终点．设机器人运动的时间为，距离观察点的距离为． (1)在机器人从点运动到点的过程中，求与之间的函数关系式（无需写出的取值范围）； (2)若该机器人的视野范围只有（向前看或向后看），求从机器人刚发现嘉淇到嘉淇离开机器人的视野范围共花费了多长时间； (3)当机器人从点出发时，一个用于拍摄机器人前进情况的电子眼同时从点出发，以的速度匀速向点行进，在（2）的条件下，当电子眼恰好进入机器人的视野范围时，求机器人还有多久可以到达终点． 24．（2026·河北廊坊·二模）在某自动化智能工厂中，工业机器人在执行任务时会产生能耗．为优化能源管理，工厂建立了机器人单次连续工作时长与总能耗的动态模型，模型满足： 当时，机器人处于“启动与加速阶段”，是的正比例函数； 当时，机器人进入“恒速作业阶段”，能耗增长趋于平稳．与满足一次函数关系，且该函数在处与“启动与加速阶段”的函数连续（即时，两个阶段的总能耗相等）． (1)若时，，求“启动与加速阶段”关于的函数解析式； (2)若时，总能耗为，求“恒速作业阶段”关于的函数解析式； (3)在（2）的条件下，工厂对机器人进行了技术改进．改进后，“恒速作业阶段”的新能耗系数比原能耗系数降低了，常数项保持不变．若改进后某次连续工作中，原模型与新模型的总能耗差值为，求该机器人的工作时长． 25．（2026·河北廊坊·二模）在化学实验室，嘉嘉同学向一定量的硫酸铝钾溶液中加入氢氧化钡溶液，两者发生反应后生成氢氧化铝沉淀和硫酸钡沉淀，当氢氧化钡过量时，氢氧化铝沉淀会逐渐溶解．如图8是氢氧化钡加入量与生成的沉淀物之间的函数图象． (1)解释点代表的含义，并求的值； (2)求段所在直线表示的关于的函数表达式； (3)求沉淀物大于时，氢氧化钡加入量的范围． 26．（2026·河北石家庄·二模）杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 27．（2026·河北石家庄·二模）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 二次函数图象和性质 考点05 28．（2026·河北张家口·二模）已知二次函数．若，点，在该二次函数的图象上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 29．（2026·河北邢台·二模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围是_____． 30．（2026·河北邯郸·二模）如图，抛物线（为常数）与轴的交点为点，与轴交于点A，B（点在点的左侧）．将抛物线向下平移3个单位长度得到抛物线与轴的交点为点． (1)直接写出拋物线的解析式及的长度； (2)如图1，已知直线始终在拋物线与的顶点的上方，当拋物线的顶点到直线的距离最小时． ①求的值； ②求此时的长； ③如图2，抛物线在y轴右侧的部分（不含点P）和抛物线在轴左侧的部分（含点）记作．若在图象上有且只有4个点到轴的距离等于6，直接写出的取值范围． 31．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为P．抛物线经过点． (1)求b，c的值及点P的坐标； (2)已知点D是上一点，且位于第一象限，其到x轴的距离为3，若经过点D，请求出a的值； (3)与交于点M，N时，点E为线段的中点．点E能否为整点（横纵坐标都为整数的点），若能，求出整点个数；若不能，请说明理由． 32．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点，，与y轴交于点C，抛物线：（）经过A，B两点，与y轴交于点D． (1)求m与n的值； (2)若抛物线的顶点为E，连接，当直线恰好经过点C时，求b的值； (3)点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作垂直于x轴的直线，分别交抛物线，于点M，N，且M是的中点． ①求的最大值； ②设，，若实数d满足关于t的方程在内有实数根，求d的取值范围． 33．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．    (1)求此抛物线的解析式． (2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． (3)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． (4)设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 34．（2026·河北邯郸·二模）如图，抛物线：与轴交于点，，顶点为，抛物线：经过点，，与轴交于点，其中． (1)当点，时， ①直接写出抛物线的函数表达式，并求抛物线的函数表达式； ②对于，求当时，的值． (2)请你判断是否总成立，说明理由； (3)过点作轴的平行线，交抛物线于点（不与点重合），当时， ①求当时的长度； ②将横坐标与纵坐标都是整数的点称为“好点”，当时，由线段，抛物线，与轴围成的封闭图形（含边界）中有8个好点，直接写出的取值范围． 35．（2026·河北邯郸·二模）如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线：经过，两点，与轴正半轴交于点． (1)当，时，求，的值； (2)当，为任意正数时，求证：； (3)过点作轴的平行线，交抛物线于点． ①当时，求的长度； ②将横坐标与纵坐标都是整数的点称为“好点”，当时，由直线，抛物线，与轴围成的阴影部分（含边界）中有8个好点，请直接写出的取值范围． 二次函数与几何图形的综合 考点06 36．（2026·河北保定·二模）在平面直角坐标系中，已知点，，抛物线，当L与线段有公共点时，t的取值范围是（     ） A． B．或 C．， D． 37．（2026·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为：，，，点是线段上的动点（可与端点重合），连接，过点作，交轴于点．则点纵坐标的取值范围是__________． 38．（2026·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线、上的动点．已知点R为抛物线上另一个动点，当平分，且时，则点Q的坐标为______． 39．（2026·河北保定·二模）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数）．已知点，抛物线：经过点． (1)试推算出和的数量关系； (2)若抛物线过点，求抛物线的解析式及顶点坐标； (3)若抛物线使得（为的整数）这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，求的取值范围． 40．（2026·河北廊坊·二模）如图，抛物线L：与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A的坐标； (2)当时，点E在抛物线上运动，且，求点E的坐标； (3)当时，点B的横坐标b，点C的纵坐标c都为整数，且b为满足条件的最大整数． ①求此时抛物线L的函数表达式； ②将直线向下平移与抛物线交于P，Q两点，直线，交于点K，试说明：点K的横坐标是定值． 41．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为和2，过点B作轴，与抛物线相交于点C，分别以，的长为边长向上方作矩形． (1)求抛物线的解析式； (2)将矩形先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点C的对应点在抛物线上． ①求n关于m的函数解析式； ②若边与抛物线相交于点M，点M在抛物线对称轴的右侧，当时，求点的坐标； ③当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的值或取值范围． 42．（2026·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为；抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)直接写出点A，B的坐标及顶点的坐标； (2)无论为何值，点始终在某条直线上运动，求该直线的解析式； (3)当时，直线：经过点，与抛物线交于另一点E，M为线段的中点，若点恰好落在抛物线上，求的值； (4)设抛物线与交于G，H两点，判断四边形是否为平行四边形，并说明理由． 43．（2026·河北张家口·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点，交轴于点，，点在抛物线上，且点的横坐标，连接，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)设的面积为，求与之间的函数关系式． (3)如图2，过点作于点，过点作轴，交的延长线于点，延长，交抛物线于点，交直线于点，过点作，交抛物线于点，连接，交于点，，点在的延长线上，连接，．若，请直接写出的面积的值． 44．（2026·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中有一正方形，正方形的边，分别在轴、轴的正半轴，顶点的坐标为．抛物线：（为常数）与轴交于点，其顶点为． (1)当时，求的顶点及点的坐标； (2)当经过原点时，求的值； (3)下面是两位同学分别提出的问题，请选择其中一人的问题先判断，再说明理由． 嘉嘉提出的问题：是否经过点？ 淇淇提出的问题：是否经过点？ (4)若与正方形的边恰有三个交点，直接写出的值． 45．（2026·河北邢台·二模）如图，在矩形中，，，一动点从点出发沿边运动到点停止，连接，过点作交边于点，以线段为斜边，在的上方作等腰直角，设的长为． (1)当四边形为正方形时，直接写出的值及正方形的边长； (2)嘉嘉通过探究发现：点在的平分线上．请你判断嘉嘉的发现是否成立，并说明理由； (3)求的外心到边的最大距离． (4)在点运动过程中， ①点能否落在边上，若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由； ②直接写出点运动的路径长． 二次函数图象的变换问题 考点07 46．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点．（点在点右侧），与轴交于点，已知抛物线的顶点为，．过，两点作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线在点下方、将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，使点落在点处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案； ①当时，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②当点落在内部（含边界）时，求的取值范围． ③当时，将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，请直接写出的值． 47．（2026·河北张家口·二模）如图，已知抛物线（，是常数，且），顶点为，且点和都在抛物线上． (1)求，的值和点的坐标； (2)将抛物线沿轴翻折得到抛物线，请直接写出的解析式； (3)在（2）的条件下，将抛物线向下平移，与轴的两交点记为， ①从最初的状态，将至少向下平移________个单位长度，点，之间的距离不少于个单位长度； ②若将抛物线向下平移个单位长度后，再向右平移个单位长度，得到抛物线，已知直线与抛物线和一共只有两个公共点，求的取值范围； ③直线（）与②中的抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，嘉琪经过研究发现，无论如何变化，直线始终经过一个定点，请你直接写出这个点的坐标． 48．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，直线经过，两点． (1)____________，____________； (2)求直线的解析式； (3)先作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到，使得抛物线的顶点与点恰好关于原点对称． ①求出的值及抛物线的解析式； ②若将直线沿轴向下平移个单位长度后，与抛物线交于，两点，，两点的纵坐标分别为，，设，直接用含的式子表示． 二次函数的实际应用 考点08 49．（2026·河北邢台·二模）综合与实践 【问题背景】某科研小组通过观察粒子发射实验，发现粒子发射后仅受重力和空气阻力的影响，它的运动轨迹呈抛物线形状，现对相关问题进行研究． 【数据收集】如图1，以粒子发射器的发射口处为原点建立平面直角坐标系，粒子运动到与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为．运动的粒子会落在与点水平距离为的挡板上处（挡板的厚度忽略不计）；若研究者将粒子发射器的发射口从点水平向右平移到处，粒子运动轨迹不变，此时的粒子仍可以达到处（不是抛物线的最高点）． 【问题解决】 (1)求发射口平移前粒子运动轨迹的解析式； (2)求的值； 【拓展应用】 (3)如图2，保持挡板的位置不变，在挡板上设置长为红色带（点在点的上方），将粒子发射器的发射口沿轴竖直向上平移到点，若粒子发射器发射的粒子束的上沿抛物线的关系式为（为点的高度），粒子束的下沿抛物线的关系式为，请问还需将粒子发射器再向左或右平移多少，才能使发射的粒子束正好将红色带覆盖． 50．（2026·河北廊坊·二模）学科实践：根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 为新校区设计拱形校门 背景 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等，从而增强对学校的认同感，提升学校的社会价值．数学实践小组设计出一款拱形校门，拱形在中国古典庭院设计中被广泛应用，同时也是西方古典建筑的重要元素；选取“拱”为主要元素，恰如其分的体现出学校“和而不同，美美与共”的理念． 图示 效果图 示意图 实验数据 图1为“拱形校门”的效果图，由门房、拱形钢架以及电动推拉门组合而成，整个图形呈轴对称，拱形钢架可抽象为抛物线形状；如图2，是其正面示意图，以为原点建立平面直角坐标系，抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为8米，两侧矩形门房、大小相同且米，米，抛物线与关于对称且抛物线、与的形状相同，经过点、、，经过点、、，点的对称点，米． 问题解决 (1)求出抛物线的函数表达式； (2)求点、的坐标； (3)若在抛物线钢架拱门内壁悬挂一个平行于的矩形横幅，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称，横幅长为6米，宽为0.5米，请你计算横幅最低点离地面的距离． 43．（2026·河北唐山·二模）综合与实践 活动主题：探究商品生产、销售过程中的数学问题 问题情境：板枣被列为中国十大名枣之首，特别是稷山板枣，因其优良的品质和悠久的历史而闻名．综合实践小组的同学到某食品店研学，发现该店新开发了一种枣饮品，他们对这种饮品的生产和销售情况进行了数据收集． 信息展示：小华：该店这种饮品每日的产量x（千克）的范围是． 小彬：该饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的关系如下表所示： 每日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 小颖：该饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的关系可用如图的坐标系中的线段所示，所在直线与纵轴的交点为（其中）； 小文：该店每日生产的这种饮品全部售完（即每日销售量=每日产量）． 问题解决： (1)根据小彬收集的信息可知，该饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的变化规律可用我们学习过的______函数刻画（选填“一次”“反比例”或“二次”），其函数关系式为______； (2)当时，解决下列问题： ①该饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为______； ②若该饮品某日的销售利润为1326元，求当日该饮品的产量； (3)若该饮品每日产量为80千克时，可获得最大日销售利润．请通过计算确定相应的m的值及最大日销售利润． 反比例函数的图象和性质 考点09 52．（2026·河北廊坊·二模）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象位于第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点，都在图象上，且，则 53．（2026·河北唐山·二模）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 54．（2026·河北邯郸·二模）如图，使量角器的0刻度线与轴重合，量角器的直径的中点为，原点位于量角器边缘．双曲线（）经过量角器边缘上的另一点，点对应刻度为，则（    ） A．12 B． C．27 D． 55．（2026·河北保定·二模）已知点和在反比例函数（）的图象上，直线（）与该反比例函数的图象交于A，C两点，则下列结论正确的是（    ） A．点A在点B的下方 B．点C在点A的上方 C．点B在点C的上方 D．点A，B均在x轴的下方 56．（2026·河北邢台·二模）已知是一元二次方程的两根之和，则关于双曲线的说法正确的是（     ） A．随增大而增大 B．点在双曲线上 C．双曲线关于直线对称 D．双曲线位于一、三象限 57．（2026·河北邯郸·二模）如图，是某海洋公园“水上滑梯”的侧面图，矩形为梯子，梯子的高米，宽米，滑梯可以近似看成双曲线的一段，为水面，且米，以点为原点，建立平面直角坐标系，轴．当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等，则他距离点的水平距离为（   ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 58．（2026·河北张家口·二模）若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 59．（2026·河北石家庄·二模）一个不透明的袋子里有个小球，上面分别标有数字，，，，小球除所标数字不同外，其它完全相同，摇匀后摸出一球，记下数字为，不放回，再摸出一球，记下数字为，若点的坐标为，则点落在双曲线上的概率为________． b           a 1 2 1 2 60．（2026·河北邢台·二模）如图，已知点，均为反比例函数图象上的点，若点关于直线对称的点在坐标轴上，则的值为________． 61．（2026·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象过定点，与反比例函数的图象交于点B，若点B的横坐标为m，则m的取值范围为______． 反比例函数与几何图形的应用 考点10 62．（2026·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点落在点处，点是反比例函数的图象上一点．要使图象与折线有两个交点，则点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 63．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于x轴，且，，点A的坐标为．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a和k的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 64．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，交反比例函数图象于点．若，则的值为______． 65．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，，点在轴上，点在轴上，轴，平分，交于点，反比例函数的图象经过点，与交于点，则______． 试卷第2页，共113页 2/30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02从图象获取信息 考点03一次函数的图象和性质 考点04一次函数的实际应用问题 考点05二次函数图象和性质 考点06二次函数与几何图形的综合 考点07二次函数图象的变换问题 考点08二次函数的实际应用 考点09反比例函数的图象和性质 考点10反比例函数与几何图形 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·河北廊坊·二模）在平面直角坐标系中，点在第一象限，则整数可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（中任意一个） 【分析】根据第一象限内点的坐标特征，列出关于的不等式组，求解得到的取值范围，再选取范围内的一个整数即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解不等式得， 解不等式得， 因此不等式组的解集为， 又为整数， 可取中任意一个， 则整数可以是（中任意一个）． 2．（2026·河北邯郸·二模）计算机按程序设置构建了平面直角坐标系，并标示了屏幕上A、B、C三个光点的坐标，数据如图，光点在直线上运动，当光点与光点的距离为5时，光点的坐标是____________________． 【答案】或 【分析】首先根据已经条件确定直线轴，由此得到P的横坐标，然后设P的纵坐标，最后利用两点之间的距离公式建立方程求解． 【详解】解：∵，， ∴直线轴， ∴P的横坐标为， 设其纵坐标为m， ∵光点P与光点C之间的距离为， ∴或6， ∴光点P的坐标为或． 3．（2026·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，在第一象限内，且轴，各顶点坐标如图所示，则的值是_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质对边平行且相等，结合点的坐标即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 4．（2026·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，将由点向点的移动称为“交错移动”．例如，点经过两次“交错移动”，先移动到点，再移动到点．下列各点中，无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】该题考查了平面直角坐标系中点的特征，解一元一次不等式组，根据题意设初始点，第一次“交错移动”后为点，第二次“交错移动”后为点，……以此类推，根据“交错移动”方式确定前四次移动后的点坐标，得出规律，再根据无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧列不等式，解不等式，即可解答． 【详解】解：设初始点，第一次“交错移动”后为点，第二次“交错移动”后为点，……以此类推， 根据题意，得 ， ， ，…… 由此可知，以后的点和前面的点开始重复． ∵“交错移动”点都在y轴左侧， ∴，，，， ∴，， 则满足条件的点为， 故选：A． 从图象获取信息 考点02 5．（2026·河北邯郸·二模）将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像得出摩天轮离地面的最高高度和最低高度，利用直径等于最高高度减去最低高度求出直径，进而求出半径． 【详解】解：由函数图像可知，摩天轮上一点离地面的最大高度为，最小高度为 ， 摩天轮的直径等于最大高度与最小高度之差， 摩天轮的直径为， 摩天轮的半径为． 6．（2026·河北邢台·二模）学校田径队教练把运动员小强某次百米跑训练的速度与路程之间的观测数据绘制成如图所示的图象．则下列结论正确的是（     ） A．因为根据图象无法列出关于的解析式，所以不是的函数 B．因为小强百米跑的速度是，所以他百米跑的时间是 C．在小强从跑到的过程中，他的速度最高达到 D．在小强从跑到的过程中，他的速度有一个下降的阶段 【答案】D 【分析】根据函数的定义、平均速度的概念以及函数图象的增减性进行逐一判断即可． 【详解】解：A．对于每一个路程，都有唯一的速度与之对应，符合函数的定义， 故是的函数，此选项错误； B．小强百米跑的速度是变化的，不是匀速运动，不能用总路程除以某一时刻的速度来计算时间，此选项错误； C．观察图象可知，在左侧图象存在高于的部分， ∴在到的过程中，最高速度超过，此选项错误； D．在从80到100的过程中，图象先下降后上升，说明速度先减小后增大，即有一个下降的阶段，此选项正确． 7．（2026·河北保定·二模）如图是某外卖平台统计的甲，乙，丙三名骑手的某天的配送数据，甲，乙，丙上午配送数据分别用，，表示，下午配送数据分别用，，表示．若定义一天的配送效率，则下列说法正确的是（    ） A．甲的配送效率最高 B．丙的配送效率最高 C．甲的配送效率最低 D．乙的配送效率最低 【答案】A 【分析】连接，，，分别取，，的中点，，，连接，，，设，，可计算出甲一天的配送效率，同理可表示出乙的配送效率和丙的配送效率，由图得的倾斜程度的倾斜程度的倾斜程度，故可得结论． 【详解】解：如图， 连接，，，分别取，，的中点，，，连接，，，设，，则，则甲一天的配送效率为， 同理可表示出乙的配送效率和丙的配送效率， 由图可得的倾斜程度的倾斜程度的倾斜程度（直线的倾斜程度表示配送效率，倾斜程度越大，配送效率越高），即甲一天的配送效率乙一天的配送效率丙一天的配送效率． 一次函数的图象和性质 考点03 8．（2026·河北廊坊·二模）已知直线与轴的交点坐标为，则直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线变形，观察与直线的平移规律，得到点的平移规律即可． 【详解】解：∵直线， 即将直线向左平移 个单位长度得到直线， ∵直线与轴的交点坐标为， ∴将直线与轴的交点坐标向左平移 个单位长度得到坐标为． 9．（2026·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，点是线段上一点（不与点，重合），直线的解析式为，当随增大而减小时，点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点和点的坐标判断出轴，则，且，结合一次函数的增减性可得，从而判断出选项． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∵点是线段上一点（不与点，重合） ，且， ∵y随的增大而减小， 又 ∵， ，即， 综上，， ∴只有选项C符合． 10．（2026·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，正比例函数与相交于点C． (1)求A，B两点的坐标； (2)若，求k的值； (3)若点C到x轴的距离小于1，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)，且 【分析】（1）分别把和代入直线进行求解即可； （2）由题意可设，由（1）可得：，然后可得，则有或，进而问题可求解； （3）由题意可设，代入正比例函数得：，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， 把代入直线得：， ∴，； （2）解：由题意可设，由（1）可得：， ∵， ∴， 解得：， ∴或， 代入正比例函数得：或， ∴或； （3）解：由题意可设，代入正比例函数得：， ∵点C到x轴的距离小于1， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，且． 11．（2026·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，，．直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为，直线：（为常数且）与交于点，设点的纵坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)嘉嘉通过探究发现：“无论取何值，直线总过某个定点”．求这个定点的坐标； (3)若对于直线上的点，满足当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)定点 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把函数化为，进一步可得答案； （3）当轴时，，当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则，可得，如图，当轴时，，可得：，进一步可得． 【详解】（1）解：∵直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为， ∴， 解得：， ∴直线：， （2）解：∵直线：（为常数且） ∴， ∴当时，， ∴直线：过定点． （3）解：如图，直线：过定点， 当轴时，， 当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则， ∴， 如图，当轴时， ∴， ∴， 解得：， ∴当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则， ∴， 综上：或． 12．（2026·河北邯郸·二模）如图，直线与直线平行，与轴交于点，直线：与直线交于点，并经过点，与轴交于点． (1)直接写出直线的函数表达式，求直线的函数表达式； (2)直线与轴、直线、直线分别交于点，，，设直线，，轴围成的三角形内部（包括边界）为， 当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； 直接写出点关于直线的对称点落在内（包括边界）时的取值范围． 【答案】(1)直线的函数表达式为；直线的函数表达式为 (2)或； 【分析】（1）根据平行设出直线的函数表达式，利用待定系数法可求出直线的函数表达式；进而求出点的坐标，再利用待定系数法可求出直线的函数表达式； （2）当时，分别确定点，，的坐标，当时，分两种情况讨论，情况一：当点，，在点下方时；情况二：当点，，在点上方时，分别求解即可；设对称点，分别求出当点 落在直线上和落在轴上时对应的值，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：直线与直线平行， 设直线的函数表达式为， 将点代入得，， 直线的函数表达式为； 令，得， ， 将点和点代入直线：得， ，解得， 直线的函数表达式为； （2）解：对于， 令，得， ， 由题意可得，， 直线与轴、直线、直线分别交于点，，，点在线段上（不与点，重合）， ； 令，得，故， 令，得，故， 当时， 情况一：当点，，在点下方时，，如图，此时点为的中点， ，解得，且，符合题意； 情况二：当点，，在点上方时，，如图， ， ，解得，且，符合题意． 综上所述，当或时，； 设点关于直线的对称点 ， 当点落在直线上时，， 此时， 当点落在轴上时，， 此时， 点在直线，，轴围成的三角形内部（包括边界）时，的取值范围为． 13．（2026·河北保定·二模）如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点． (1)如图，过点C作直线：． ①用含k的代数式表示b； ②若直线与线段有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若，且k，m均为整数，求m的值． 【答案】(1)①；②； (2)2或4或16或 【分析】（1）①代入点C的坐标，即可得到k与b的关系； ②先根据函数解析得到点A和点B的坐标，观察题目图象，可知当直线经过点A和点B时，k分别取得最大值和最小值，代入坐标求解即可； （2）由轴，可知的横坐标为，代入D和E的横坐标到对应的直线解析式，得到对应的纵坐标，令纵坐标相等求出m与k的关系，再根据k和m都为整数的条件，求整数解即可． 【详解】（1）解：①∵点在直线：上， ∴， ∴； ②∵直线：交x轴于点A，交y轴于点B， ∴，， 由①得， ∴直线：， 当直线：经过点时，，解得， 当直线：经过点时，，解得， ∴直线与线段有交点（不包含A，B两点）时，k的取值范围为； （2）解：∵平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，， ∴设，， 又∵点D在直线上，点E在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵k，m均为整数， ∴， ∴m的值为2或4或16或． 14．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据直线的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①用含m的代数式表示出的长，再根据得出结论即可；②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式的出m的值． 【详解】（1）点在直线上， ， 一次函数的图象过点和点， ， 解得， 直线的解析式为； （2）①点在直线上，且的横坐标为， 的纵坐标为：， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 点，线段的长度为， ， ， ， 即； ②的面积为， ， 即， 解得， 由①知，， ， 解得， 即的值为或． 【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 15．（2026·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上一点，若，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）分在直线右侧和在直线左侧两种情况进行求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式， ，解得， 则直线的函数表达式； （2）解：当在直线右侧时， ， ，又， 所以点的横坐标为， 时，， 此时； 当在直线左侧时，设直线与轴交于点， ， ，设， 又，， ，则， 在中，， 即，解得，则， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， ，解得， 则； 综上，或． 一次函数的实际应用问题 考点04 16．（2026·河北石家庄·二模）如图，线段，点从点出发，点从点出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线运动，其中向点运动，向点运动，两点分别到达点、点时停止运动．以为一边的矩形面积始终为6．设点的运动时间为秒，之间的距离为，的长度为．在平面直角坐标系中，以为横坐标、为纵坐标，得到和随变化的图像．当时，设这两个函数的图像与直线所围成的封闭图形为（包括边界）．在封闭区域中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在或图像上的个数为_____个． 【答案】6 【分析】根据已知条件分别求出和的表达式，然后结合t的取值范围，找出封闭区域G中的格点，并判断这些格点是否在或的图像上． 【详解】解：∵点从点出发，点从点出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线运动，，点的运动时间为秒， 当时，，，则，即； 当时，，，则, 即； 因为矩形的面积始终为6，，根据矩形面积公式， ∴，即， 如图， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则在封闭区域中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在或图像上的点为，，，，，，共6个点． 17．（2026·河北保定·二模）如图1，嘉嘉把一长方体铁块放置在高为50厘米的圆柱形容器底部，然后匀速向容器内注水，直至容器注满．注水过程中，他根据实验数据绘制了如图2所示的图象，其中容器内水的高度为y（厘米），注水时间为x（分）． (1)长方体铁块的高度为_____厘米； (2)求的y关于x的函数解析式，并直接写出注满容器所需时间； (3)嘉嘉将容器中的水全部倒掉，将长方体铁块拿走，重新做注水实验，这次实验水面以5厘米／分的速度上升，他发现本次实验注水a分钟时，容器中水的高度与第一次实验注水a分钟时容器中水的高度相同，请求出a的值． 【答案】(1)20 (2)，21分钟注满容器 (3) 【分析】（1）两段函数图象的交点表示水刚好没过铁块，据此求解即可； （2）根据函数图象，利用待定系数法求解； （3）结合第（2）问得到的函数解析式列方程求解即可． 【详解】（1）解：长方体铁块的高度为20厘米，理由： 因为一开始有铁块的存在，所以水面高度上升的速度会比较快，故两段函数图象的交点表示刚好没过铁块，由图象可知交点坐标为，因此长方体铁块的高度为20厘米； （2）解：设的y关于x的函数解析式为， 将，代入，得 解得 关于x的函数解析式为． 把代入，得 ， 解得． 所以注满容器所需时间为21分钟； （3）解：由题意，得第2次实验，3分钟时容器内水高（厘米）， 所以两次实验容器水高相同时，注水时间一定大于3分钟， 把代入，得． 根据题意，得， 解得． 所以的值为4.5． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用．能抓住函数图象中的关键信息，准确理解函数图象拐点的实际意义是解题的关键． 18．（2026·河北石家庄·二模） 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 【答案】(1)快速充电的函数解析式为； 慢速充电的函数解析式为； (2)解：当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至， 理由：小时， 把代入得， 把代入得， 解得， 若充到，还需要（小时），， 车辆的电量不能充至， 当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至. 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出车辆的电量能充至所需时间，再与进行比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设快速充电的函数解析式为， 把代入得，解得， 快速充电的函数解析式为； 设慢速充电的函数解析式为， 把，代入得，解得， 慢速充电的函数解析式为； （2）略 19．（2026·河北廊坊·二模）阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在到范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）的关系如下表： 气温（） 0 10 20 30 声速 325 331 337 343 349 材料二：声音的频率（）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是． 材料三：声音的波长（）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（）．声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：． (1)当气温为时，声速为________； (2)根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速（）与气温（）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)目前国际通用的钢琴标准音频率为，在室温为的情况下，求钢琴标准音的波长． 【答案】(1)343 (2)选择一次函数， (3) 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解表格信息，掌握待定系数法，求自变量或函数值的计算是关键． （1）根据表格信息即可求解； （2）根据题意，设声速（）与气温（）的函数关系为，把代入，运用待定系数法即可求解； （3）根据题意，当室温为的情况时，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，当气温为时，声速为， 故答案为：； （2）解：根据表格信息，声速随着气温的增大而增大， ∴ 选择一次函数， ∴设声速（）与气温（）的函数关系为，把代入， ， 解得，， ∴声速（）与气温（）的函数关系为， 当时，，符合题意； （3）解：由（2）可知声速（）与气温（）的函数关系为， ∴室温为时，， ∵声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：， ∴， ∴钢琴标准音的波长约为． 20．（2026·河北邯郸·二模）某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗，探究不同种菜苗高度与种植天数的关系．数据记录： 已种菜苗天数/天 0 2 4 6 8 10 … 甲种菜苗高度/天 6 9 12 15 18 21 … 乙种菜苗高度/天 15 16 17 18 19 20 … 初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数均为一次函数关系． (1)在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，（单位：）关于已种菜苗天数（单位：天）的函数图象； (2)求出关于的函数关系式，并直接写出第18天甲种菜苗的高度； (3)观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)关于的函数关系式为；第18天甲种菜苗的高度为 (3)甲种菜苗先开花，理由见解析 【分析】本题考查了画函数图象、求一次函数解析式、从函数图象上获取信息，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）描点、连线，即可画出函数图象； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，画出函数图象如图所示： ； （2）解：设关于的函数关系式为， 将，代入函数解析式得， 解得：， ∴关于的函数关系式为， 当时，， ∴第18天甲种菜苗的高度为； （3）解：甲种菜苗先开花，理由如下： 由图象可得，当甲、乙两种菜苗高度相同时都为达到的高度，达到相同高度后，的图象始终在的图象上方， ∴甲种菜苗先开花． 21．（2026·河北张家口·二模）实践小组利用一个密闭容器研究水面高度与注水和放水时间的关系，容器有一个开放量固定的注水开关和一个可调节开放量的放水开关，容器中初始水面高度为．实验第一阶段只打开注水开关，注水时水面高度为，注水时接着打开放水开关，并持续，最后只打开放水开关并把开关调整至放水量最大，记录水面高度（单位：）与实验时间（单位：）的函数图象如图所示，其中轴，段图象的函数表达式为． (1)求段的函数表达式．（不用写出自变量取值范围） (2)实践小组成员嘉嘉记录如下：“当实验时间为时，容器中的水全部放完”．请通过计算，判断嘉嘉的记录是否正确？ (3)段的每分钟放水量为段每分钟放水量的__________． 【答案】(1) (2)嘉嘉记录的不正确 (3) 【分析】（1）设出解析式，待定系数法求出解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出点坐标，代入解析式即可得出结果； （3）根据图象可知，段水位不增不降，得到段的注水速度和放水速度一样，即每分钟放水，由段得函数解析式得到段每分钟放水量为，即可得出结果. 【详解】（1）解：设段的函数表达式为． 将点代入上式，得 解得 段的函数表达式为． （2）解：将代入中，得． 轴， ∴点的坐标为． 将点代入，得，解得， 段的函数表达式为． 令，则，解得， ∴嘉嘉记录的不正确． （3）解：由（1）可知，每分钟注水， 由图象可知，段水位不增不降， 故段的注水速度和放水速度一样，即每分钟放水， ∵段图象的函数表达式为． 故段每分钟放水量为， 故段的每分钟放水量为段每分钟放水量的． 22．（2026·河北张家口·二模）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电的状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘显示增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系，数据记录如表： 电池充电状态 充电时间（分钟） 增加的电量（%） 实验二：探究充满电的状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表： 汽车行驶过程 行驶里程（千米） … 显示电量（%） … (1)充电状态下，充电1分钟，增加的电量________，汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量________，该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为________分钟； (2)在表中，如果显示电量与汽车行驶里程满足一次函数关系． ①求与满足的函数关系式； ②如果该汽车行驶到剩余电量为时会自动报警，那么汽车在充满电的情况下，行驶约多少千米会自动报警； (3)某电动汽车在充满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，求电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】(1)，， (2)①；②行驶约千米会自动报警 (3)充电时间为25分钟 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）①由题意可设函数关系式为，然后根据待定系数法进行求解即可； ②由题意可把代入①中函数解析式进行求解即可； （3）设充电分钟，据题意可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 充电状态下，充电1分钟，增加的电量；汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量；该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为分钟； （2）解：①由表格可知当时，，设函数关系式为， 时，， ， ， ∴函数关系式为； ②由题意可把代入①中函数解析式，得：， 解得：， 答：行驶约千米会自动报警 （3）解：设充电分钟，据题意可得： 解得； 答：充电时间为25分钟． 23．（2026·河北邯郸·二模）为参加学校举办的“机器人大赛”，嘉淇组装了一款智能送餐机器人，并计划在长度为100m的路面AB上试验该机器人的运行情况，为方便观察，嘉淇站在与起点A距离的点处．如图，该机器人从点A出发，先以的速度运动到点，接着以的速度运动到终点．设机器人运动的时间为，距离观察点的距离为． (1)在机器人从点运动到点的过程中，求与之间的函数关系式（无需写出的取值范围）； (2)若该机器人的视野范围只有（向前看或向后看），求从机器人刚发现嘉淇到嘉淇离开机器人的视野范围共花费了多长时间； (3)当机器人从点出发时，一个用于拍摄机器人前进情况的电子眼同时从点出发，以的速度匀速向点行进，在（2）的条件下，当电子眼恰好进入机器人的视野范围时，求机器人还有多久可以到达终点． 【答案】(1) (2) (3)机器人还有可以到达终点 【分析】（1）先求出机器人到达点P时，所用时间，然后根据路程=速度×时间求解即可； （2）分别求出机器人从点左侧距离点行进至点所用的时间、机器人从P点行进到P点右侧所用的时间，然后计算总和即可； （3）根据题意判断出机器人到达点时，电子眼前进至点右侧处，设机器人从点开始向右运动至电子眼恰好进入机器人的视野范围的时间为，根据题意列出一元一次方程求出，则机器人距离终点B的距离为，然后根据时间=路程÷速度求解即可． 【详解】（1）解：当机器人到达点P时，所用时间为 ∵在机器人从点P运动至点B的过程中，速度为， ∴机器人从点P运动到点B的过程中， y与x之间的函数关系式为 ； （2）解：设花费总时间为，以的速度前进的时间为，以的速度前进的时间为， 当机器人从点左侧距离点行进至点的过程中，速度为 当机器人从P点行进到P点右侧的过程中，速度为 ； （3）解：∵机器人以的速度前进至点时，电子眼以同样的速度前进至点右侧处，设机器人从点开始向右运动至电子眼恰好进入机器人的视野范围的时间为， 则机器人前进的距离为，电子眼前进的距离为， 可列方程： ，解得， ∴机器人从A点开始前进的距离为 ， ∴距离终点B的距离为， ∴还要走 ∴机器人还有可以到达终点． 24．（2026·河北廊坊·二模）在某自动化智能工厂中，工业机器人在执行任务时会产生能耗．为优化能源管理，工厂建立了机器人单次连续工作时长与总能耗的动态模型，模型满足： 当时，机器人处于“启动与加速阶段”，是的正比例函数； 当时，机器人进入“恒速作业阶段”，能耗增长趋于平稳．与满足一次函数关系，且该函数在处与“启动与加速阶段”的函数连续（即时，两个阶段的总能耗相等）． (1)若时，，求“启动与加速阶段”关于的函数解析式； (2)若时，总能耗为，求“恒速作业阶段”关于的函数解析式； (3)在（2）的条件下，工厂对机器人进行了技术改进．改进后，“恒速作业阶段”的新能耗系数比原能耗系数降低了，常数项保持不变．若改进后某次连续工作中，原模型与新模型的总能耗差值为，求该机器人的工作时长． 【答案】(1) (2) (3)该机器人的工作时长为 【分析】（1）根据题意可知“启动与加速阶段”是的正比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知“恒速作业阶段”与满足一次函数关系 ，将代入，利用待定系数法求解即可； （3）先求出新模型的解析式为 ，根据原模型与新模型的总能耗差值为，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设“启动与加速阶段”关于的函数解析式为 将，代入，得 解得 ∴“启动与加速阶段”关于的函数解析式为 ； （2）解：将代入，得 将代入 ，得， 解得， ∴“恒速作业阶段”关于的函数解析式为； （3）解：由（2）可知，原“恒速作业阶段”的解析式为， 改进后，新能耗系数 ， 新模型的解析式为 ， 根据题意，得 ， 解得， 答：该机器人的工作时长为． 25．（2026·河北廊坊·二模）在化学实验室，嘉嘉同学向一定量的硫酸铝钾溶液中加入氢氧化钡溶液，两者发生反应后生成氢氧化铝沉淀和硫酸钡沉淀，当氢氧化钡过量时，氢氧化铝沉淀会逐渐溶解．如图8是氢氧化钡加入量与生成的沉淀物之间的函数图象． (1)解释点代表的含义，并求的值； (2)求段所在直线表示的关于的函数表达式； (3)求沉淀物大于时，氢氧化钡加入量的范围． 【答案】(1)点表示当氢氧化钡加入量为时，生成的沉淀物为； (2) (3) 【分析】（1）分别判断点的横坐标和纵坐标表示什么，即可得出点代表的含义；先求出段所在直线的函数表达式，再求当时，的值，即可得出的值； （2）已知点，，用待定系数法求函数解析式即可； （3）分别求出段，段函数表达式中，当时，的值，即可得出的范围． 【详解】（1）点表示当氢氧化钡加入量为时，生成的沉淀物为；（言之有理即可） 由题图得，当时，与成正比例关系， 设段所在直线的函数表达式为， 将代入得 ， 段所在直线的函数表达式为 ， 当时，， 的值为5； （2）解：设段所在直线的函数表达式为， 由（1）得， ， 将点，分别代入中， 得 ，解得 ， 段所在直线表示的关于的函数表达式为． （3）解：由（1）得段所在直线的函数表达式为， 令，则 ，解得； 由（2）得段所在直线的函数表达式为， 令，则，解得， ∴结合图象可得当沉淀物大于时，氢氧化钡加入量的范围为． 26．（2026·河北石家庄·二模）杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 【答案】(1)①；②零刻度所对应的点与点之间的距离为 (2)生锈秤砣的质量为 (3) 【分析】（1）①根据公式代入已知数量可得答案；②由零刻度时，，即可求解； （2）根据题意可得当一个物体的质量为，，设生锈的秤砣的质量为，可得，即可求解； （3）把 ，代入，可得，从而得到越大，越小，即可求解． 【详解】（1）解：① ，，， ， ． ②∵零刻度时， ， ． ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为． （2）解：∵当一个物体的质量为， ， ， 设生锈的秤砣的质量为， ， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． （3）解：由题意得： ，代入．得： ， ， ， 越大，越小， 当时，， ． 27．（2026·河北石家庄·二模）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)①1；②见解析 (2)增大 (3)该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量，见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解； ②依据题意，根据表格数据描点即可得解； （2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解； （3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，将代入中，得， ． 故答案为：1． ②图象如下图所示，即为所求． ； （2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大． （3）解：不能，理由如下： 由题意，设（，b为常数） 将，代入，得， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当时，则 ∴． ∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 二次函数图象和性质 考点05 28．（2026·河北张家口·二模）已知二次函数．若，点，在该二次函数的图象上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据二次函数的增减性求解即可； 【详解】∵点在二次函数的图象上， ，， ． ，， ， ． 29．（2026·河北邢台·二模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先判断抛物线开口方向，明确二次函数y值与点到对称轴距离的关系，再结合题目对任意，都有的条件，推导得到p需满足的不等式，进而求出p的取值范围． 【详解】解：抛物线中，， 因此抛物线开口向下，开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应y值越小， 该抛物线的对称轴为直线， 根据题意，对任意，，都有， 因此任意满足条件的，到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 即两边平方得， 展开整理得，移项因式分解得， 因为，所以， 可得，即对任意，恒成立， 由，，可得， 因此． 30．（2026·河北邯郸·二模）如图，抛物线（为常数）与轴的交点为点，与轴交于点A，B（点在点的左侧）．将抛物线向下平移3个单位长度得到抛物线与轴的交点为点． (1)直接写出拋物线的解析式及的长度； (2)如图1，已知直线始终在拋物线与的顶点的上方，当拋物线的顶点到直线的距离最小时． ①求的值； ②求此时的长； ③如图2，抛物线在y轴右侧的部分（不含点P）和抛物线在轴左侧的部分（含点）记作．若在图象上有且只有4个点到轴的距离等于6，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②的长为3；③或 【分析】（1）根据平移规律可求出，再求出点的坐标，可求出； （2）①求出可得结论； ②求出点的横坐标即可求解； ③分和两种情况，结合图象，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（为常数） 当时，， ∴； 将抛物线向下平移3个单位长度得到抛物线， 令，则， ∴, ∴； （2）解：①∵， ∴顶点坐标为， 设抛物线的顶点到直线的距离为， ∴， 当时，有最小值， ∴的值为； ②当时，抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ∴；此时的长为3； ③两抛物线的对称轴为, 当时，， 解得或（舍去）； 当时，， 解得（舍去）或； 综上，的取值范围为或． 31．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为P．抛物线经过点． (1)求b，c的值及点P的坐标； (2)已知点D是上一点，且位于第一象限，其到x轴的距离为3，若经过点D，请求出a的值； (3)与交于点M，N时，点E为线段的中点．点E能否为整点（横纵坐标都为整数的点），若能，求出整点个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)点E不能为整点，理由见解析 【分析】（1）把，代入求出 ，，再求出顶点坐标即可； （2）令，解得，，根据点D在第一象限，得到，再把，代入计算即可； （3）联立，整理得，则，根据中点得到点E横坐标为，当为整数时，为1的因数，此时或0，不满足，得到点E横坐标不能为整数，点E不能为整点． 【详解】（1）解：经过点，，分别代入得：，， ， ， ∴顶点． （2）解：∵点D是上一点，且位于第一象限，其到x轴的距离为3， ∴， 解得，， ∵点D在第一象限， ， ∵经过， ∴， ， ， 经过， ， 解得． （3）解：点E不能为整点，理由如下： ∵与交于点M，N， 联立， 整理得， ， ∵点E为线段的中点， ∴点E横坐标为， ∵当为整数时，为1的因数， ∴， 或0， ， 或0不符题意， ∴点E横坐标不能为整数，点E不能为整点． 32．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点，，与y轴交于点C，抛物线：（）经过A，B两点，与y轴交于点D． (1)求m与n的值； (2)若抛物线的顶点为E，连接，当直线恰好经过点C时，求b的值； (3)点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作垂直于x轴的直线，分别交抛物线，于点M，N，且M是的中点． ①求的最大值； ②设，，若实数d满足关于t的方程在内有实数根，求d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①的最大值是2；② 【分析】（1）将，代入求解； （2）首先求出，得到直线的解析式为，求出，然后利用待定系数法求解； （3）①首先求出抛物线的顶点坐标为，得到的最大值是2，然后结合M是的中点求解即可； ②根据题意得到点，点，点，然后根据点M是的中点求出，得到，然后表示出d，得到当时，，然后利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：与x轴交于点，， ∴ 解得； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵抛物线：与y轴交于点C，当时， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得 ∴直线的解析式为， ∵抛物线：（）经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点， ∵点E在直线上， ∴， ∴ ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴； （3）解：①∵抛物线：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴的最大值是2， ∵点M是的中点， ∴的最大值是2； ②∵设，， ∴点，点， ∵抛物线：（）经过点，， ∴抛物线的解析式为， ∴点， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当或时，， ∴当时，， ∵关于t的方程，即，在内有实数根， ∴， 解得， ∴d的取值范围为． 33．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．    (1)求此抛物线的解析式． (2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． (3)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． (4)设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)点与点的纵坐标的差为或 (4)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点的横坐标为，即可求解； （3）分轴时，轴时分别根据抛物线的对称性求得的横坐标与的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解； （4）分四种情况讨论，①如图所示，当都在对称轴的左侧时，当在对称轴两侧时，当点在的右侧时，当的纵坐标小于时，分别求得，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点． ∴ ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， 顶点坐标为， ∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为 ∴， 解得：； （3）①轴时，点关于对称轴对称， ， ∴，则，， ∴， ∴点与点的纵坐标的差为； ②当轴时，则关于直线对称， ∴， 则 ∴，； ∴点与点的纵坐标的差为； 综上所述，点与点的纵坐标的差为或； （4）①如图所示，当都在对称轴的左侧时，    则 ∴ ∵，即 ∴； ∵ ∴ 解得：或（舍去）； ②当在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，    则，即， 则， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点在的右侧且在直线上方时，即，   ， ∴ 解得：或（舍去）； ④当在直线上或下方时，即，   ，， ， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 34．（2026·河北邯郸·二模）如图，抛物线：与轴交于点，，顶点为，抛物线：经过点，，与轴交于点，其中． (1)当点，时， ①直接写出抛物线的函数表达式，并求抛物线的函数表达式； ②对于，求当时，的值． (2)请你判断是否总成立，说明理由； (3)过点作轴的平行线，交抛物线于点（不与点重合），当时， ①求当时的长度； ②将横坐标与纵坐标都是整数的点称为“好点”，当时，由线段，抛物线，与轴围成的封闭图形（含边界）中有8个好点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①； ②； (2)总成立，理由如下： 抛物线与轴交于，， 设， 将点代入得，， ， ； (3)①； ②． 【分析】（1）①抛物线顶点为，故；代入得，求出，得，抛物线过点，用交点式或待定系数法可求解析式． ②令的函数值，解一元二次方程得的值． （2）利用抛物线与轴交点，顶点；抛物线过，，，用待定系数法表示与的关系，化简可证恒成立． （3）①时，先求抛物线解析式，再求过的水平线与的交点，利用对称性得长度． ②时，结合，通过封闭图形内整数点（好点）的数量限制，反推的取值范围，核心是分析边界处整数点的分布． 【详解】（1）解：①抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于，且对称轴为轴， ， 当时，抛物线的解析式为， ， ． 将代入得， ，解得， ． ②当时，， 解方程得． （2）略； （3）解：①抛物线与轴交于， 抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ． ②抛物线与轴交于，， 由①得，当时，， 当时，封闭部分（含边界）有8个好点： ， 当抛物线经过点时，由于， 代入，得， 由④×＋⑤，得， 则， 由（2）得， ， 封闭部分（含边界）有个好点时，， 由（2）得， ， 的取值范围为． 35．（2026·河北邯郸·二模）如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线：经过，两点，与轴正半轴交于点． (1)当，时，求，的值； (2)当，为任意正数时，求证：； (3)过点作轴的平行线，交抛物线于点． ①当时，求的长度； ②将横坐标与纵坐标都是整数的点称为“好点”，当时，由直线，抛物线，与轴围成的阴影部分（含边界）中有8个好点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3)①1；② 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数上的点坐标，熟练掌握二次函数相关的计算，并能够运用数形结合是解题的关键． （1）将，代入得，，利用待定系数法求解即可； （2）将点代入化简即可； （3）①当时，根据（2）可得，，令求解即可；②当时，：，：，根据题意找到好点的坐标，利用极限思想求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴：，：，， 将，代入得， ，解得， 将代入得， ，解得， 即，； （2）证明：将代入得， ，则， 将，代入得， ， 则， 则， 由于，为任意正数，则， 故； （3）解：①由（2）可知，，且， ∵， ∴，，， 则，， ∵轴， ∴令得，，解得，， 则的横坐标为1，故； ②当时，，则：，：， ∵， ∴， 由题可知，，则，如图， 由于包含边界，所以8个好点为，，，，，，，， 则当过时，，即， 当过时，，即， 则此时． 二次函数与几何图形的综合 考点06 36．（2026·河北保定·二模）在平面直角坐标系中，已知点，，抛物线，当L与线段有公共点时，t的取值范围是（     ） A． B．或 C．， D． 【答案】B 【分析】线段上所有点横坐标均为，纵坐标满足，由抛物线与线段有公共点结合图象求解即可． 【详解】解：∵ 点，， ∴ 线段上所有点横坐标为，且． ∵ 抛物线与线段有公共点，如图，      当抛物线过时， ∴， 解得：或， 当抛物线过时，如图，      ∴， 解得：或， ∵抛物线，L与线段有公共点， ∴或． 37．（2026·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为：，，，点是线段上的动点（可与端点重合），连接，过点作，交轴于点．则点纵坐标的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据点在线段上确定的取值范围，过点作轴的垂线，延长交轴于点，构造相似三角形，证明，利用相似三角形的性质建立与的函数关系式，根据二次函数的性质求出的取值范围． 【详解】设， 点是线段上的动点（可与端点重合），，， ， 过点作轴于点，延长交轴于点， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 当时，，， ， ， ， 当时，，， ， ， ， 当时，，，轴， ， 轴， ，即，此时也成立， 综上，，抛物线开口向上， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ． 38．（2026·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线、上的动点．已知点R为抛物线上另一个动点，当平分，且时，则点Q的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据抛物线图象的性质得到，，则轴，点P在上方，点R在下方，过点P作轴于点，过点R作轴于点，作延长线于点G，则轴，轴，设，分别表示出值，证明，得到，则，在中根据正切值的计算得到，结合题意，分类讨论：当点在的位置时；当点在的位置时；列式求解即可． 【详解】解：抛物线，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2， ∴，即， 当时，，即， ∴轴， 如图所示，当点P在y轴右侧时，点P在上方，点R在下方，过点P作轴于点，过点R作轴于点，作延长线于点G，则轴，轴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点在抛物线的图象上， ∴设， ∴，， ∴，，，，， 根据作辅助线得到，， ∴，且平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点在抛物线的图象上， ∴设， ∵， ∴如图所示，当点在的位置时，，过点作轴于点，则轴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，则 ∴， 整理得，， ∴， ∴，； 当点在的位置时，，过点作轴于点，则轴， ∴， ∴，则， 整理得，， ∴， ∴，； ∴，， ∴或； 当点P在下方，点R在上方，如图所示，设， 同理可证，得到， ∴， ∴， 在中，， ∴同上可得，，即， ∴，； 当点在y轴左侧时，， ∵当平分， ∴此种情况不符合题意； 综上所述，或． 39．（2026·河北保定·二模）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数）．已知点，抛物线：经过点． (1)试推算出和的数量关系； (2)若抛物线过点，求抛物线的解析式及顶点坐标； (3)若抛物线使得（为的整数）这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）将点P坐标代入抛物线解析式，通过化简整理，推导出a与b的数量关系． （2）把坐标代入解析式求出a、b，得到函数表达式，再利用配方法化为顶点式，进而写出顶点坐标． （2）先用化简解析式，算出四点横坐标对应的函数值． 分、讨论点位：依据两点在上、两点在下，列不等式求解a范围． 【详解】（1） 抛物线经过点， 将，代入解析式， ， ， ， ． （2） 抛物线经过点， 将，代入解析式， ， ， ， ， ， ，， 抛物线解析式为． ， ， ， 抛物线顶点坐标为． （3）， 抛物线解析式可化为． 该图象是抛物线， ． 由题意可得四个点坐标：，，，． 将各点横坐标代入抛物线解析式， 时，； 时，； 时，； 时，． 当时， ，，， ，，， 、、恒在抛物线上方． 上方已经存在个点，无论在哪一侧，都不能实现两点在上、两点在下， 不符合题意，舍去． 当时， ，，， ，在抛物线上方；，在抛物线上方， 、恒在抛物线上方． 要求四个点恰好两点在上方、两点在下方， 、必须同时在抛物线下方． 点在抛物线下方等价于点的纵坐标小于同横坐标抛物线函数值， 列不等式组： 解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组的解集为． 综上，的取值范围是． 40．（2026·河北廊坊·二模）如图，抛物线L：与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A的坐标； (2)当时，点E在抛物线上运动，且，求点E的坐标； (3)当时，点B的横坐标b，点C的纵坐标c都为整数，且b为满足条件的最大整数． ①求此时抛物线L的函数表达式； ②将直线向下平移与抛物线交于P，Q两点，直线，交于点K，试说明：点K的横坐标是定值． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)当时，点E的坐标为或 (3)①；②见解析 【分析】（1）令，解出，根据两点的位置，确定点A的坐标； （2）由题意先设点E的坐标为，根据函数图象对的位置进行分类讨论，再根据列方程进行求解即可； （3）①由（1）得两点的横坐标，结合题干条件可得，即可写出函数表达式； ②可设点P，Q的坐标分别为，先写出直线和直线的解析式，联立两直线方程求出交点的横坐标；再设出直线的函数表达式，联立二次函数，根据根与系数关系，得到，代入即可说明交点的横坐标是定值． 【详解】（1）解：∵抛物线L：， ∴令，则， ∵， ∴， ∵点A在点B的左侧， ∴点A的坐标为； （2）解：当时，抛物线L：，设点E的坐标为, 如图，过点E作轴于点H，分两种情况： 当点E在点A左侧抛物线上运动，即点E在第二象限时， ， ∵， ∴， ∴，解得(舍去)， ∴点的坐标为； 当点E在点A右侧抛物线上运动，即点E在第三象限时， ， ∵， ∴， ∴，解得(舍去)， ∴点的坐标为， 当时，点E的坐标为或． （3）解：①∵时，点B的横坐标b，点C的纵坐标c都为整数，且b为满足条件的最大整数， 由(1)得点A的横坐标为，点B的横坐标，且， ∴， ∴抛物线L：； ②设点P，Q的坐标分别为， 设直线AP的函数表达式为， 将， 代入得， 解得，， ∴直线的函数表达式为， 同理可得，直线的表达式为， 联立上述两式得 解得， 由点A，C的坐标得，直线AC的函数表达式为． ∵直线是由直线平移得到， ∴， ∴设直线的函数表达式为， 联立可得，整理得， 设分别为的两个根， 则， ∴， 即K的横坐标为定值． 【点睛】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、直线平移与抛物线相交、直线交点横坐标为定值的证明．第（1）问关键是将解析式因式分解；第（2）问需注意点的位置，并分情况讨论；第（3）问通过根与系数的关系消去参数证明交点横坐标为定值，解决此类问题的核心是代数与几何的结合，以及用参数表示点坐标并利用根与系数的关系化简． 41．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为和2，过点B作轴，与抛物线相交于点C，分别以，的长为边长向上方作矩形． (1)求抛物线的解析式； (2)将矩形先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点C的对应点在抛物线上． ①求n关于m的函数解析式； ②若边与抛物线相交于点M，点M在抛物线对称轴的右侧，当时，求点的坐标； ③当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的值或取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)①关于的解析式为 ②点的坐标为或 ③或 【分析】（1）首先根据点A，B在函数上求解点A，B的坐标，再代入抛物线中求解解析式即可； （2）①：根据向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，写出点C的坐标为，再根据点在抛物线上，代入化简即可得到关于的解析式； ②：首先根据平移写出点E的坐标，再根据结合勾股定理求解出的长，即可表示出点M的坐标，结合点M在抛物线上即可求解m的值，再求解点的坐标即可； ③：首先利用数形结合得到与抛物线只有一个公共点时的情况，当与的顶点相交时，根据抛物线的顶点坐标写出点的纵坐标即可求解此时m的值；当点在抛物线上时，根据平移写出点的坐标，利用点在抛物线上求解m的值，画图发现在范围内边与抛物线只有一个公共点，即可写出此时m的取值范围． 【详解】（1）解：对于函数，当时，，当时，, ∴点，， 将点、的坐标代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：①：∵轴，函数的对称轴为轴， ∴点，关于轴对称， ∵，∴， ∵向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴平移后点为， 当点在抛物线上时，将代入得：， ∴，即关于的解析式为； ②：∵，点，关于轴对称， ∴， ∵以为长构造长方形的宽， ∴， ∴，则，即， 在中，，， ∴， ∴， 将代入，得：，解得：， 又 当时， 当时， 综上：点的坐标为或； ③：情况一：当边与抛物线只有一个公共点时，即与的顶点相交， ∵抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标为， ∴点的纵坐标为5， ∴点的纵坐标为3， ∴，解得：， ∵， ∴此时； 情况二：当点在抛物线上时， ∵，且点在抛物线上， ∴， 即为，解得：， 当时，如图， 当时，如图， ∴当，边与抛物线只有一个公共点， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题、平移的性质，根据平移的结果写出点的坐标是解题的关键． 42．（2026·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为；抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)直接写出点A，B的坐标及顶点的坐标； (2)无论为何值，点始终在某条直线上运动，求该直线的解析式； (3)当时，直线：经过点，与抛物线交于另一点E，M为线段的中点，若点恰好落在抛物线上，求的值； (4)设抛物线与交于G，H两点，判断四边形是否为平行四边形，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)该直线的解析式为 (3) (4)解：四边形是平行四边形．理由如下： 令 ，得 由根与系数的关系，得 ， ， ， ∴中点坐标为， 而，，中点坐标为，即， 故与中点重合，即与互相平分， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）令，则，求出，，由，得到，即可解答； （2）先推导出顶点的坐标为，设，，得到该直线的解析式为，即可解答； （3）当时，抛物线： ，直线过点，推导出直线：，令 ，即 ，得到 ，求出 再根据中点公式，得到 ，解得，即可解答； （4）令，得 由韦达定理知 ，推导出，得到中点坐标为，继而推导出中点坐标为，即，故与中点重合，即与互相平分，则四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）解：，，， 令，则， 解得，， ∴，， ， ∴； （2）解：： ，顶点的坐标为， 设，，得 ∴该直线的解析式为； （3）解：当时，抛物线： ，直线过点， ， ， ∴直线：， 令 ，即 ， 由根与系数的关系，得 故 为线段的中点 ， 代入抛物线，得 ， 整理，得 ， 解得； （4）略 43．（2026·河北张家口·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点，交轴于点，，点在抛物线上，且点的横坐标，连接，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)设的面积为，求与之间的函数关系式． (3)如图2，过点作于点，过点作轴，交的延长线于点，延长，交抛物线于点，交直线于点，过点作，交抛物线于点，连接，交于点，，点在的延长线上，连接，．若，请直接写出的面积的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线解析式，确定的坐标为，，继而得到点的坐标为，代入解析式求解即可． （2）过点作轴于点M，故，，根据，得到，利用比例求解即可； （3）利用待定系数法，三角函数的应用，三角形外角性质等解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点， ∴点的坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：在中，令， 则， 解得， ∴点的坐标为． ∴． ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为． 过点作轴于点M， 故，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故， ， ． （3）解：解：设D的横坐标为t，则，且， 根据题意，得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故， ， 根据题意，得， 解得（与点C重合，舍去）或， 故， 设直线的表达式为， 将代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：， 令，得， 解得， 故点， ，， ， 即， 作线段的垂直平分线，交于点R，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得， 解得，负的舍去， 故． ． 44．（2026·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中有一正方形，正方形的边，分别在轴、轴的正半轴，顶点的坐标为．抛物线：（为常数）与轴交于点，其顶点为． (1)当时，求的顶点及点的坐标； (2)当经过原点时，求的值； (3)下面是两位同学分别提出的问题，请选择其中一人的问题先判断，再说明理由． 嘉嘉提出的问题：是否经过点？ 淇淇提出的问题：是否经过点？ (4)若与正方形的边恰有三个交点，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)解：①选择嘉嘉提出的问题，不经过点，理由如下： 将点代入抛物线的解析式得：， 整理得：， ∵这个方程根的判别式，方程没有实数根， ∴不存在常数，使得抛物线经过点，即不经过点． ②选择淇淇提出的问题，不经过点，理由如下： 将点代入抛物线的解析式得：，即， ∵这个方程根的判别式，方程没有实数根， ∴不存在常数，使得抛物线经过点，即不经过点． (4)或2 【分析】（1）将代入求出抛物线的解析式，由此即可得； （2）将代入抛物线的解析式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得； （3）两位同学提出的问题的解答思路一样：将相应点的坐标代入抛物线的解析式可得一个关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式解答即可； （4）先求出顶点在直线上，再据此分两种情况：①抛物线经过原点，且对称轴在轴的右侧；②抛物线的顶点在边上，分别求出与的边的另两个交点的坐标进行验证即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， ∴的顶点的坐标为； 将代入抛物线的解析式得：， ∴点的坐标为． （2）解：∵抛物线：经过原点， ∴， 解得或． （3）解：略． （4）解：抛物线：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点在直线上， 则有以下两种情况： ①如图，抛物线经过原点，且对称轴在轴的右侧， 由（2）可知，或（舍去）， ∴抛物线的解析式为， 由对称性可知，抛物线与轴的另一个交点为， ∵， ∴， ∴点在边上， 将代入抛物线的解析式得：， 即点在抛物线上， ∵， ∴， 又∵当时，随的增大而增大， ∴当时，， ∴此时抛物线与有一个交点， ∴此时与正方形的边恰有三个交点，符合题意； ②如图，抛物线的顶点在边上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， ∴抛物线与轴的交点在边上， 将代入得：，解得或（舍去）， ∴抛物线上的点在边上， ∴此时与正方形的边恰有三个交点，符合题意； 综上，的值为或2． 【点睛】本题的难点在于确定顶点的轨迹，进而进行分类讨论． 45．（2026·河北邢台·二模）如图，在矩形中，，，一动点从点出发沿边运动到点停止，连接，过点作交边于点，以线段为斜边，在的上方作等腰直角，设的长为． (1)当四边形为正方形时，直接写出的值及正方形的边长； (2)嘉嘉通过探究发现：点在的平分线上．请你判断嘉嘉的发现是否成立，并说明理由； (3)求的外心到边的最大距离． (4)在点运动过程中， ①点能否落在边上，若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由； ②直接写出点运动的路径长． 【答案】(1)，正方形的边长为 (2)嘉嘉的发现成立，理由如下： 如图2，作于点M，作于点N， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是正方形， ∴点在的平分线上； (3)的外心到边的最大距离为 (4)①点不能落在边上，理由如下： 如图2，设，由（2）知， ∴四边形是正方形， ， 由，则， ， ， 同（3）得 ， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值为， ， ∴点不能落在边上； ② 【分析】（1）先求出，得出，即可求出结论； （2）作于点M，作于点N，证明，进而证明四边形是正方形，即可得出结论； （3）中点O即为等腰直角的外心，作于点H，证明，求出，再根据二次函数性质求出最值即可； （4）①设，由，则，，根据得出，即可求出，再根据二次函数性质求出结论； ②点E运动的起点是，当点P运动至点，且时，点E从点运动至最高点，作于点M，得出点E运动的路径为，求出运动路径长即可． 【详解】（1）解：如图1，当四边形为正方形时， ， ， ， ， 正方形的边长； （2）略 （3）解：如图2， 为等腰直角斜边， ∴中点O即为等腰直角的外心， 作于点H， ， ， ， ， 当时，取得最大值为， 即的外心到边的最大距离为； （4）解：①略； ②由（2）知，点在的平分线上，如图（3）， 当点P从点B出发时，点与点B重合，点与点A重合， 此时点E运动的起点是， 由，则， 当点P运动至点，且时，点E从点运动至最高点， 作于点M，由①知，， 则， 当点P运动至与点A重合时，点均与点A重合， 故点E运动的路径为， 运动路径长为． 二次函数图象的变换问题 考点07 46．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点．（点在点右侧），与轴交于点，已知抛物线的顶点为，．过，两点作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线在点下方、将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，使点落在点处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案； ①当时，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②当点落在内部（含边界）时，求的取值范围． ③当时，将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①存在，点坐标为或； ②当点落在内部（含边界）时，； ③ 【分析】（1）设该抛物线的解析式为，把点代入解答即可； （2）①先求出点，根据，可得，再求出当时，翻折后部分得到的图形所在的抛物线的解析式，即可求解； ②求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，再求出当点落在上时，当点落在上时，t的值，即可求解； ③求出当时，翻折后得到的图形所在的抛物线的解析式，直线的解析式，然后求出当直线过点时， 当直线与翻折后部分得到的图形只有一个交点时，n的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵， ∴点， 把点代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：①存在， 对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴， 对于，当时，， 解得，， 点坐标为或； 由折叠的性质得：点， ∴当时，翻折后部分得到的图形所在的抛物线的解析式为， 此时图象开口向上，顶点坐标为，图象最低点的纵坐标为， 所以翻折后出现的函数图像部分不存在点， 综上所述，点H的坐标为或； ②设直线的解析式为，经过， 当时，，当时，， ， 设点的坐标为， ∵点，关于直线对称， ， ． 对于，当时，， ∴当点落在上时，，解得； 当点落在上时，，解得． ∴当点落在内部（含边界）时，； ③当时，由折叠的性质得：点， 此时翻折后得到的图形所在的抛物线的解析式为． 由②得：直线l的解析式为， ∵将直线向下平移个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为：， 当直线过点时，， 此时， 当直线与翻折后部分得到的图形只有一个交点时， 联立：得：， 整理得：， 此时， 解得：， ∴当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，n的取值范围为． 47．（2026·河北张家口·二模）如图，已知抛物线（，是常数，且），顶点为，且点和都在抛物线上． (1)求，的值和点的坐标； (2)将抛物线沿轴翻折得到抛物线，请直接写出的解析式； (3)在（2）的条件下，将抛物线向下平移，与轴的两交点记为， ①从最初的状态，将至少向下平移________个单位长度，点，之间的距离不少于个单位长度； ②若将抛物线向下平移个单位长度后，再向右平移个单位长度，得到抛物线，已知直线与抛物线和一共只有两个公共点，求的取值范围； ③直线（）与②中的抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，嘉琪经过研究发现，无论如何变化，直线始终经过一个定点，请你直接写出这个点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)①；②；③ 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）由题意直接进行求解即可； （3）①设将向下平移n（）个单位长度，则平移后的表达式为，由题意可令，则有，设该方程的两个根为，则有与轴的两交点为，，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； ②由题意易得抛物线的表达式为，然后得出当直线与抛物线和一共只有两个公共点时的临界值，进而问题可求解； ③设直线（）与②中的抛物线的交点，，直线与抛物线的交点，，根据一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式可得，，然后得出直线的解析式为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ，解得：， ∴抛物线， ∴， ∴顶点的坐标为； （2）解：由将抛物线沿轴翻折得到抛物线，可知：抛物线与抛物线的开口方向相反，顶点坐标相同， ∴抛物线的表达式为； （3）解：①设将向下平移n（）个单位长度，则平移后的表达式为， 令，则有，设该方程的两个根为，则有与轴的两交点为，， ∴根据根与系数的关系可得， 当点，之间的距离为个单位长度时，即， ∴， 解得：， ∴从最初的状态，将至少向下平移个单位长度，点，之间的距离不少于个单位长度； ②由将抛物线向下平移个单位长度后，再向右平移个单位长度，得到抛物线，可知抛物线的表达式为， ∴当直线与抛物线相切时，此时直线与抛物线和有3个公共点， 联立得：，消去y得：，即， ∴，解得：； 当直线与抛物线相切时，此时直线与抛物线和有1个公共点， 联立，消去y得：，即， ∴，解得：； ∴当直线与抛物线和一共只有两个公共点时，则的取值范围为； ③设直线（）与②中的抛物线的交点，，直线与抛物线的交点，， 由②可知：抛物线的表达式为，与直线联立得：， 消去y得：，即，根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵点，在直线上， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴根据中点坐标公式可得：，即； 同理可得：， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴直线过定点的坐标为． 48．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，直线经过，两点． (1)____________，____________； (2)求直线的解析式； (3)先作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到，使得抛物线的顶点与点恰好关于原点对称． ①求出的值及抛物线的解析式； ②若将直线沿轴向下平移个单位长度后，与抛物线交于，两点，，两点的纵坐标分别为，，设，直接用含的式子表示． 【答案】(1)， (2) (3)①p=4，；② 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）①根据题意得出抛物线的顶点坐标为，根据平移的性质即可求解； ②根据平移的性质可得平移后的解析式为，联立二次函数解析式，结合一元二次方程根与系数的关系即可求得的值． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ，； （2）当时，， ， 设直线解析式为，则，解得， ； （3）①∵抛物线的顶点与点恰好关于原点对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵作关于x轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到， ∴抛物线解析式的二次项系数为，， ∴抛物线解析式为；             ②∵直线l沿y轴向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， 联立方程组，化简得， ， 又，， 二次函数的实际应用 考点08 49．（2026·河北邢台·二模）综合与实践 【问题背景】某科研小组通过观察粒子发射实验，发现粒子发射后仅受重力和空气阻力的影响，它的运动轨迹呈抛物线形状，现对相关问题进行研究． 【数据收集】如图1，以粒子发射器的发射口处为原点建立平面直角坐标系，粒子运动到与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为．运动的粒子会落在与点水平距离为的挡板上处（挡板的厚度忽略不计）；若研究者将粒子发射器的发射口从点水平向右平移到处，粒子运动轨迹不变，此时的粒子仍可以达到处（不是抛物线的最高点）． 【问题解决】 (1)求发射口平移前粒子运动轨迹的解析式； (2)求的值； 【拓展应用】 (3)如图2，保持挡板的位置不变，在挡板上设置长为红色带（点在点的上方），将粒子发射器的发射口沿轴竖直向上平移到点，若粒子发射器发射的粒子束的上沿抛物线的关系式为（为点的高度），粒子束的下沿抛物线的关系式为，请问还需将粒子发射器再向左或右平移多少，才能使发射的粒子束正好将红色带覆盖． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，可设，再代入点即可求解； （2）先得到点坐标，设抛物线向右移动后的表达式为：，再代入点点坐标求解； （3）先得到两者的差值可知需要向右移动，设顶点向右平移厘米，平移后的抛物线表达式为：，再通过纵坐标之差列式求解即可． 【详解】（1）解：设粒子运动轨迹抛物线的表达式为：， 代入点：，，解得：， 因此，抛物线表达式为：； （2）解：当时，代入抛物线表达式：， 点的坐标为， 抛物线向右移动后的表达式为：， 代入点：，，， 解得：，（舍去）， 因此，移动距离的值为； （3）当时，两条抛物线的纵坐标分别为：， ， 两者的差值：， 说明需要向右移动， 设顶点向右平移厘米，平移后的抛物线表达式为：， ， 当时：，， ， 解得：，（舍去）， 因此，粒子发射器需向右移动． 50．（2026·河北廊坊·二模）学科实践：根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 为新校区设计拱形校门 背景 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等，从而增强对学校的认同感，提升学校的社会价值．数学实践小组设计出一款拱形校门，拱形在中国古典庭院设计中被广泛应用，同时也是西方古典建筑的重要元素；选取“拱”为主要元素，恰如其分的体现出学校“和而不同，美美与共”的理念． 图示 效果图 示意图 实验数据 图1为“拱形校门”的效果图，由门房、拱形钢架以及电动推拉门组合而成，整个图形呈轴对称，拱形钢架可抽象为抛物线形状；如图2，是其正面示意图，以为原点建立平面直角坐标系，抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为8米，两侧矩形门房、大小相同且米，米，抛物线与关于对称且抛物线、与的形状相同，经过点、、，经过点、、，点的对称点，米． 问题解决 (1)求出抛物线的函数表达式； (2)求点、的坐标； (3)若在抛物线钢架拱门内壁悬挂一个平行于的矩形横幅，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称，横幅长为6米，宽为0.5米，请你计算横幅最低点离地面的距离． 【答案】(1) (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)横幅最低点离地面的距离为7米 【分析】（1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为．再把顶点，分别代入计算，得，即可作答． （2）先理解题意，得点的坐标为，点的坐标为，结合抛物线、与的形状相同，故设抛物线表达式为，再运用待定系数法进行解方程，得抛物线表达式为，故点的坐标为以及点的坐标为； （3）由（1）得抛物线的顶点的坐标为，再求出点的横坐标为，代入函数解析式求出，结合横幅宽为0.5米，列式计算得横幅最低点离地面的距离为7米，即可作答． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为． 抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为8米， 米， 抛物线的顶点的坐标为， ， 点的坐标为， 将点代入，得，解得， 抛物线表达式为； （2）解：米，米， 点的坐标为， 米， 点的坐标为， 抛物线、与的形状相同， 设抛物线表达式为， 把代入得， 解得：， 抛物线表达式为， 令时，则， 点的坐标为， 由（1）得抛物线的顶点的坐标为， 点的对称点为， 点的坐标为； （3）解：由（1）得抛物线的顶点的坐标为， 横幅长为6米，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称， 点的横坐标为， ∵， 当时，， 横幅宽为0.5米， （米）， 横幅最低点离地面的距离为7米． 43．（2026·河北唐山·二模）综合与实践 活动主题：探究商品生产、销售过程中的数学问题 问题情境：板枣被列为中国十大名枣之首，特别是稷山板枣，因其优良的品质和悠久的历史而闻名．综合实践小组的同学到某食品店研学，发现该店新开发了一种枣饮品，他们对这种饮品的生产和销售情况进行了数据收集． 信息展示：小华：该店这种饮品每日的产量x（千克）的范围是． 小彬：该饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的关系如下表所示： 每日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 小颖：该饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的关系可用如图的坐标系中的线段所示，所在直线与纵轴的交点为（其中）； 小文：该店每日生产的这种饮品全部售完（即每日销售量=每日产量）． 问题解决： (1)根据小彬收集的信息可知，该饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的变化规律可用我们学习过的______函数刻画（选填“一次”“反比例”或“二次”），其函数关系式为______； (2)当时，解决下列问题： ①该饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为______； ②若该饮品某日的销售利润为1326元，求当日该饮品的产量； (3)若该饮品每日产量为80千克时，可获得最大日销售利润．请通过计算确定相应的m的值及最大日销售利润． 【答案】(1)一次； (2)①；②当日该饮品产量为102千克或78千克 (3)m的值为100，最大日销售利润为1600元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确找到相关的等量关系是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）①利用待定系数法即可解答； ②根据题意列方程，即可解答； （3）求得，根据题意表示出日销售利润，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的变化规律可用我们学习过的一次函数， 设饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为， 把代入可得， ， 解得， 所以饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为， 故答案为：一次；； （2）解：①当时，设饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为， 把代入可得， 解得， 所以饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为， 故答案为：； 解：②由题意，得， 即． 解，得，，且均符合题意． 答：当日该饮品产量为102千克或78千克． （3）解：设与x之间的关系式为， 将分别代入，得 解，得 ． 设该饮品日销售利润为w元． 则． 由此可知，当时，w是x的二次函数． ， ， ∴抛物线开口向下，w有最大值． 且每日产量为80千克时，可获得最大销售利润， ， 解，得，经检验是上述方程的解． 当，时，． 答：m的值为100，最大日销售利润为1600元． 反比例函数的图象和性质 考点09 52．（2026·河北廊坊·二模）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象位于第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点，都在图象上，且，则 【答案】B 【分析】根据的符号判断反比例函数的象限分布和增减性，逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， A选项说图象位于第二、四象限，不符合结论，故A错误， 当时，图象在第一象限，由反比例函数性质可得随的增大而减小，故B正确， 将代入，得，因此图象不经过点，故C错误， 对于D选项，若，则，此时，所以不一定成立，故D错误． 53．（2026·河北唐山·二模）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 54．（2026·河北邯郸·二模）如图，使量角器的0刻度线与轴重合，量角器的直径的中点为，原点位于量角器边缘．双曲线（）经过量角器边缘上的另一点，点对应刻度为，则（    ） A．12 B． C．27 D． 【答案】D 【分析】根据题意确定量角器所在圆的圆心和半径，结合量角器读数及图形位置确定的度数，通过解直角三角形求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式求出的值． 【详解】解：如图，连接， 量角器直径的中点为，原点在量角器边缘， 量角器所在圆的半径． 点在量角器边缘，对应刻度为， ． 过点作轴于点， 在中，，， ，． 点坐标为， ， 点的坐标为． 双曲线经过点， ． 55．（2026·河北保定·二模）已知点和在反比例函数（）的图象上，直线（）与该反比例函数的图象交于A，C两点，则下列结论正确的是（    ） A．点A在点B的下方 B．点C在点A的上方 C．点B在点C的上方 D．点A，B均在x轴的下方 【答案】C 【分析】正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点中心对称，根据题意画出对应图象，结合图象判断选项即可． 【详解】解：根据题意，画出大致图象如图，由图可得C选项正确． 56．（2026·河北邢台·二模）已知是一元二次方程的两根之和，则关于双曲线的说法正确的是（     ） A．随增大而增大 B．点在双曲线上 C．双曲线关于直线对称 D．双曲线位于一、三象限 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程两根之和的规律求出的值，得到反比例函数的比例系数，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程 中，二次项系数为，一次项系数为， ∴ 两根之和 ， ∴ 双曲线解析式为 ，比例系数 ， 反比例函数的增减性仅在每个象限内成立， 不是在全体定义域内随增大而增大，故A错误； B. 将代入，得，所以点不在双曲线上，故B错误； C. 反比例函数的图象关于直线对称，故C正确； D. ∵ ， ∴ 双曲线位于第二、四象限，故D错误． 57．（2026·河北邯郸·二模）如图，是某海洋公园“水上滑梯”的侧面图，矩形为梯子，梯子的高米，宽米，滑梯可以近似看成双曲线的一段，为水面，且米，以点为原点，建立平面直角坐标系，轴．当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等，则他距离点的水平距离为（   ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】C 【分析】设反比例函数的表达式为，可得．求解，，进一步可得答案． 【详解】解：四边形为矩形， ， 点B的坐标为． 设反比例函数的表达式为， ， ． ， ∴， ∵轴． ∴， ∵当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等， ∴，即， ∴， ∴他距离点的水平距离为． 58．（2026·河北张家口·二模）若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 59．（2026·河北石家庄·二模）一个不透明的袋子里有个小球，上面分别标有数字，，，，小球除所标数字不同外，其它完全相同，摇匀后摸出一球，记下数字为，不放回，再摸出一球，记下数字为，若点的坐标为，则点落在双曲线上的概率为________． 【答案】 【分析】通过列表得出所有等可能结果即可，找出落在双曲线上的情况数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： b           a 1 2 1 2 由表知，共有12种等可能结果，横纵坐标之积为2的情况有：，，，，共4种， 所以落在双曲线上的概率为：． 60．（2026·河北邢台·二模）如图，已知点，均为反比例函数图象上的点，若点关于直线对称的点在坐标轴上，则的值为________． 【答案】 或 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再根据轴对称的性质求出点 关于直线的对称点坐标，最后根据对称点在坐标轴上分类讨论求解的值． 【详解】解：把点代入得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得，解得， 点的坐标为， 设点关于直线的对称点为， 连接并延长交y轴于点C， 记直线与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点D，直线与x轴的交点为点B，如图， 在直线中，令，可得；令，则， ，且， 为等腰直角三角形， ， 由对称可知，直线与直线互相垂直， ， ， 为等腰直角三角形， ， 设点，则点， 设直线的函数表达式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为， 联立直线与对称轴的方程， 解得交点坐标为， 根据中点坐标公式可得， 解得，， 对称点的坐标为， 点在坐标轴上， 分两种情况讨论：当点在轴上时，纵坐标为，即，解得， 当点在轴上时，横坐标为，即，解得， 综上所述，的值为或 ． 61．（2026·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象过定点，与反比例函数的图象交于点B，若点B的横坐标为m，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】过点A作y轴与x轴的垂线，分别交反比例函数图象于点C和点D，可知B点只能在C点与D点之间，求出点C的坐标为，点D的坐标为，即可得到m的取值范围． 【详解】解：如图，过点A作y轴与x轴的垂线，分别交反比例函数图象于点C和点D， ∵， ∴B点只能在C点与D点之间， 把代入，得． 把代入，得， ∴点C的坐标为，点D的坐标为， ∴m的取值范围是． 反比例函数与几何图形的应用 考点10 62．（2026·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点落在点处，点是反比例函数的图象上一点．要使图象与折线有两个交点，则点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件对四个选项逐一验证即可． 【详解】由点A、B的坐标分别为、可知轴，． 由线段绕点旋转后得到，则，轴，所以点的对应点的坐标为． 选项A，此时点和点重合，反比例函数的图象与折线只有一个交点，故选项A不符合题意； 选项B，此时点恰好在线段上，把代入，得 ，解得． 所以反比例函数的解析式为． 令，代入，得， 此时反比例函数的图象与线段的交点为， 所以图象与折线有两个交点，故选项B符合题意； 选项C，把代入，得 ，解得． 所以反比例函数的解析式为． 令，代入，得，此时反比例函数的图象与线段的交点为， 令，代入，得，此时反比例函数的图象与线段没有交点， 所以图象与折线只有1个交点，故选项C不符合题意； 选项D，把代入，得 ，解得． 所以反比例函数的解析式为． 令，代入，得，此时反比例函数的图象与线段的交点为， 令，代入，得，此时反比例函数的图象与线段没有交点， 所以图象与折线只有1个交点，故选项D不符合题意； 【点睛】解决本题除了采用对四个选项逐一判断的方法外，还可以通过寻找临界位置的方法来确定满足条件的的取值范围，从而快速地找到答案，同学们可以试一试． 63．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于x轴，且，，点A的坐标为．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a和k的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设矩形平移后A的坐标是（2，6-a），C的坐标是（6，4-a），得出k=2（6-a）=6（4-a），求出a，即可得出矩形平移后A的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可． 【详解】解：由题意可得A、C落在反比例函数的图象上， 设矩形平移后A的坐标是（2，6-a），C的坐标是（6，4-a）， ∵A、C落在反比例函数的图象上， ∴k=2（6-a）=6（4-a），a=3， 即矩形平移后A的坐标是（2，3）， 代入反比例函数的解析式得：k=2×3=6， 故选：B 【点睛】本题考查了矩形性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质的应用，主要考查学生的计算能力． 64．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，交反比例函数图象于点．若，则的值为______． 【答案】8 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，则，求解，进一步结合相似三角形的性质与一次函数的平移的性质求解即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则． ∵直线与反比例函数交于点， ， 解得或（舍去）． ， ． 由平移知，， ， ， ． ， ． ， 点的纵坐标为9． 把代入，解得． ， ∵将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线， ∴把的坐标代入得， 解得． 65．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，，点在轴上，点在轴上，轴，平分，交于点，反比例函数的图象经过点，与交于点，则______． 【答案】 【分析】作轴于点，交于点，设点，由条件可知，则有，证明，所以，即，则，即，设，则，所以，然后解方程即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点，交于点， 设点， 由条件可知，， ， 轴，轴， ， ， ，即， ，即， 设，则， ，解得或（舍去）， ， ． 试卷第2页，共113页 2/113 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