4.4.3两个一次函数图象的应用-课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦两个一次函数图象的应用，核心知识点包括交点意义、图象位置关系及方案选择规律。课堂导入通过复习一次函数性质（k、b意义、增减性等），搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合销售、行程等实际案例，用数学眼光观察现实问题，通过联立方程求交点、图象分析培养数学思维中的推理能力，以函数表达式和图象描述问题发展数学语言。采用问题驱动和实例分析，助力学生理解实际意义，教师可高效开展教学。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 4.4.3两个一次函数图象的应用 第四章 一次函数 北师大版八年级上册4.4.3 两个一次函数图象的应用 练习题 本节核心考点：掌握同一坐标系中两个一次函数图象的实际应用，核心是理解交点坐标的实际意义、利用图象比较两个函数值大小、对比两种方案的优劣，是本章压轴基础题型，常考选择、填空、大题。 核心知识点（必背） 1. 交点意义：两个一次函数图象的交点，是两个函数自变量、函数值均相等的时刻，对应实际问题中两种方案费用相等、距离相等、数量相等的临界点。 2. 图象上下位置关系：同一x取值，图象在上方的函数值更大，下方的函数值更小。 3. 方案选择规律：以交点为分界点，左右区间分别对应最优方案（省钱、省时、省力）。 4. 解题核心：联立两个函数解析式可求交点坐标，结合图象可直接判断取值范围。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 同一坐标系中，两个一次函数图象的交点，表示两个函数的________和________分别相等。 2. 在交点左侧，直线A在直线B上方，则相同自变量下，________的函数值更大。 3. 两个收费方案的函数图象交点，代表两种方案________的时刻。 4. 若$$y_1=2x+1$$，$$y_2=x+3$$，当$$y_1=y_2$$时，x=________。 5. 实际问题中，常以________为分界点，选择最优方案。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 关于两个一次函数图象交点，下列说法正确的是（） A. 仅自变量相等 B. 仅函数值相等 C. 自变量和函数值都相等 D. 无特殊意义 2. 同一x值下，直线$$y_1$$在$$y_2$$下方，则（） A. $$y_1>y_2$$ B. $$y_1<y_2$$ C.$$y_1=y_2$$ D. 无法比较 3. 两种租车方案图象相交于点(100,200)，下列说法正确的是（） A. 行驶100km时，两种方案费用相同 B. 行驶100km后费用都不变 C. 行驶100km前无费用 D. 交点无实际意义 4. 已知$$y_1=3x-2$$，$$y_1<y_2$$，则图象位置关系是（） A. $$y_1$$在$$y_2$$上方 B. $$y_1$$在$$y_2$$下方 C. 两线重合 D. 互相平行 5. 解决两种实际方案最优选择的关键是（） A. 求函数解析式 B. 找图象交点 C. 看图象增减性 D. 看与y轴交点 三、解答应用题（共60分） 1.（20分）已知两个一次函数$$y_1=2x+2$$，$$y_2=-x+5$$。 （1）求两个函数图象的交点坐标；（2）求x取何值时，$$y_1>y_2$$；（3）求x取何值时，$$y_1<y_2$$。 2.（20分）甲乙两家文具店售卖同款笔记本，费用与购买数量的函数关系： 甲店：$$y_甲=3x$$ 乙店：$$y_乙=2x+5$$（x为购买数量，单位：本；y为费用，单位：元） （1）求两家店费用相等时的购买数量；（2）购买数量多少时，选乙店更划算？（3）购买数量多少时，选甲店更划算？ 3.（20分）甲乙两车从同一地点出发，路程随时间变化的一次函数： 甲车：$$y_甲=60t$$，乙车：$$y_乙=40t+40$$（t单位：h，y单位：km） （1）求两车路程相等的时间与路程；（2）出发多久后甲车路程超过乙车？（3）出发多久前乙车路程更远？ 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. 自变量、函数值 2. 直线A 3. 费用（函数值）相等 4. 2 5. 图象交点 选择题答案 1.C 2.B 3.A 4.B 5.B 解答题详细解析 1. 解： （1）联立解析式：$$2x+2=-x+5$$，移项得$$3x=3$$，解得$$x=1$$， 代入得$$y=4$$，∴交点坐标$$(1,4)$$； （2）由图象位置关系可知：当$$x>1$$时，$$y_1>y_2$$； （3）当$$x<1$$时，$$y_1<y_2$$。 2. 解： （1）令$$y_甲=y_乙$$，$$3x=2x+5$$，解得$$x=5$$， 即购买5本时，两家费用相等； （2）$$x>5$$时，$$y_乙<y_甲$$，乙店更划算； （3）$$0<x<5$$时，$$y_甲<y_乙$$，甲店更划算。 3. 解： （1）令$$y_甲=y_乙$$，$$60t=40t+40$$，解得$$t=2$$， 代入得$$y=120$$，即出发2h后，两车路程均为120km； （2）$$t>2$$时，甲车路程超过乙车； （3）$$0<t<2$$时，乙车路程更远。 五、易错点总结 1. 核心易错：只会解方程求交点，不会结合实际情境解释交点意义，大题极易扣分； 2. 大小关系搞反：图象在上函数值大、在下函数值小，需结合区间判断，不能凭直觉； 3. 实际范围遗漏：数量、时间均为正数，取值范围必须大于0，不能写全体实数； 4. 方案表述模糊：最优方案必须写清交点前后两个区间的不同选择； 5. 混淆平行与相交：两一次函数k不同必相交，k相同b不同必平行，无交点。 复习导入 想一想一次函数具有什么性质? 在一次函数 中: 当 时，y随x的增大而增大， 当 时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当 时，直线交y轴于负半轴，必过一、三、四象限. 当 时，y随x的增大而减小， 当 时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、四象限； 当 时，直线交y轴于负半轴，必过二、三、四象限. 一级标题：黑体， 2 如图，l1 表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2 表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系. 根据图象填空: 探索新知 （2）当销售量为 6 t 时， 销售收入为_____元， 销售成本为_____元. （1）当销售量为 2 t 时， 销售收入为______元， 销售成本为______元. 2000 3000 6000 5000 销售收入 销售成本 （3）当销售量________时， 销售收入等于销售成本. 等于4 t （4）当销售量_________时， 销售收入大于销售成本， 该公司赢利； 当销售量__________时， 销售收入小于销售成本， 该公司亏损. 大于4 t 小于4 t 销售收入 销售成本 （5）当销售量为______t时， 该公司赢利 1000 元. 6 销售收入 销售成本 l1对应的函数表达式 是 ， （6） l2对应的函数表达式 是 . y＝1000x y＝500x＋2000 销售收入 销售成本 y＝1000x y＝500x＋2000 解：由（5）题意，得 1000x－(500x＋2000)=1000. 解这个方程得，x=6. 所以当销售量为 6 t时， 该公司赢利 1000 元. （7）你能借助（6）的结论求解（5）吗？ 设l1对应的一次函数为 y＝k1x ＋b1，k1和b1的实际意义各是什么？ 销售收入 y＝1000x k1表示每销售1吨产品，可收入1000元； b1表示未销售时，销售收入为0元. 思考·交流 设l2对应的一次函数为 y＝k2x ＋b2，k2和b2的实际意义各是什么？ 销售成本 y＝500x＋2000 k2表示每销售1 吨产品的成本为500元； b2表示未销售时，为销售所花的成本为2000元. 1. 教材P103习题 如图，表示一艘轮船和一艘快 艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶路程随时间变化的图象. 则下列结论错误的是( ) D （第1题） A. 轮船的速度为20千米/时 B. 快艇的速度为40千米/时 C. 轮船比快艇先出发2小时 D. 快艇到达乙港用了6小时 返回 中考考法 10 【例3】下图是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙. 图中 l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系. (1) 哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？ 当t = 0时，甲到观景台1的路程为0m，即s=0，故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系. 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 解 甲 乙 （2）甲和乙哪个人的速度快？ t 从 0 增加到 20 时，l1 上点的纵坐标增加了1000， l2 上点的纵坐标增加了 600，即 20 min内，甲行走了1000m，乙行走了600m，所以甲的速度快. 解 甲 乙 （3）30 min 内甲能否追上乙？ 延长 l1，l2，可以看出， 当t＝30时，l1 上的对应点在 l2 上对应点的下方，这表明，30 min时甲尚未追上乙. 解 P 甲 乙 （4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ 如图，l1 与 l2 的交点 P 的纵坐标 小于800＋1300=2100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙. P 甲 乙 2000 （5）设l1与l2对应的两个一次函数分别为s＝k1t＋b1与s＝k2t＋b2，k1，k2的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ 甲的速度是50 m/min， 乙的速度是30 m/min. k1 表示甲的速度， k2 表示乙的速度。 解 甲 乙 思考：你能用其他方法解决例3（1）~（4）吗？ 依据“速度＝路程÷时间”，求出甲的速度是 50 m/min， 乙的速度是 30 m/min. 问题即可依据行程问题解决. 方法2 求出l1和l2对应的函数表达式，y＝50x，y＝30x＋800，再依据实际意义解决. 方法3 （第2题） 2. ［2025聊城月考］小王同学从家出发,步行到 离家的公园晨练, 后爸爸也从家出发沿 着同一路线骑自行车到公园晨练,爸爸到达公园 后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离 单位:与出发时间单位: 的函数关系如 C A. B. C. D. 图所示,则两人先后两次相遇的时间间隔为 ( ) 中考考法 19 （第2题） 【点拨】由题图可得小王的速度为 ,爸爸的速度为 .设小王出发 两人第一次相遇，出发 两人第二 次相遇，则 , ,解 得,.所以 . 故选C. 返回 中考考法 20 3.［2025太原迎泽区月考］某快递公司每 天下午 为集中揽件和派件 时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来 派发快件，如图，线段， 分别表示 甲仓库、乙仓库的快件数量, （件）与 揽件（或派件）时间（分钟）之间的函数关系，线段 ， 相交于点 . 中考考法 21 （1）求甲仓库快件数量（件）与揽件时间 （分钟）之间的函数表达式 ； 【解】设 ，由题图可知， 的图象过点, ， 所以，，解得， . 所以 . 中考考法 22 （2）若已知乙仓库快件数量 （件） 与派件时间 （分钟）之间的函数表达 式是，则点 的坐标 为（____，160），点 的坐标表示的 实际意义是_______________________ ______________________________. 20 经过20分钟，甲乙两个仓库中的快件数量相等，均为160件 返回 中考考法 23 4. 甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠，所 挖河渠的长度与挖掘时间 之间的函数关 系如图所示，以下信息一定正确的有( ) D ④开挖 后，甲、乙两队所挖河渠长度相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ①甲队挖掘，用了 ； ②开挖后，甲队比乙队多挖掘 ； ③乙队从开挖后到之间，每小时挖掘 ； 中考考法 24 【点拨】由题图可知，开挖 ，甲队一共挖掘 ，所以甲队的速度为 .所以甲 队挖掘，用了 ，故①正确；由题图可知， 开挖后，甲队挖掘了，乙队挖掘了 ，则甲队比 乙队多挖掘，故②正确；由题图可知，乙队从开挖 后到之间挖了，则每小时挖掘 ，故③ 正确；开挖后，甲队挖了 ，乙队挖了 ，则开挖 后，甲、乙两队所挖 河渠长度相等，故④正确. 返回 中考考法 25 5. 春节临近，某网商紧急备货，但目前缺少 大量礼品盒，该网商通过调研，发现这种礼品盒的来源有两 种方案： 方案一：从纸箱厂订购，购买所需费用 （单位：元）与礼 品盒的数量 （单位：盒）满足如图所示的函数关系. 方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这种 礼品盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产 礼品盒的费用） （单位：元）与礼品盒的数量 （单位：盒）满足如图所示的函数关系. 中考考法 26 请回答下列问题： （1）方案一中，礼品盒的单价为___元. 3 中考考法 27 （2）请直接写出，关于 的函数 表达式. , . 中考考法 28 （3）如何选择方案，才能够更省钱?请说明 理由. 【解】令,解得 , 所以当 时，两种方案同样省钱； 当 时，选择方案一更省钱； 当 时，选择方案二更省钱. 返回 中考考法 29 01获取 02解决 两个一次函数的应用 观察图象 获取关键信息 建立 一次函数模型 解决实际问题 课堂小结 $