第3章 圆（暑假单元自测）新九年级数学新教材苏科版

**基本信息** 苏科版初中数学圆单元卷，覆盖点与圆位置关系、圆周角定理等核心知识，含转子发动机情境题及动态几何探究题，适配暑假单元复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题16分|点与圆位置关系、圆锥全面积等|基础概念辨析，如第1题点与圆位置判断| |填空|8题16分|圆内接四边形、正多边形外接圆等|融入文化素材，如第12题《九章算术》方材问题| |解答|10题68分|切线证明、动态几何、实际应用等|突出综合探究，如25题结合转子发动机考圆弧三角形性质，26题动态问题考查推理能力与几何直观|

第3章 圆 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知的半径是2，如果点P到圆心O的距离为3，那么点P与的位置关系是（   ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】设的半径为，点到圆心的距离为，当时，点P在圆外，时，点P在圆上，当时，点P在圆内，据此可得答案． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， 由题意得，， ∵，即， ∴点在外． 2．已知某圆锥的底面直径为6cm，母线长4cm，则它的全面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件得到底面半径，再分别计算底面积和侧面积，求和后即可得到结果． 【详解】解：由圆锥底面直径为可得底面半径，则底面积为， 圆锥侧面积公式为，则， 则圆锥的全面积为， A选项符合题意． 3．如图，为的直径，点C，D是上的两点，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，最后利用直角三角形两锐角互余计算即可． 【详解】解：连接， ， ， 为的直径， ， ． 4．如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心，点，，均在圆弧上，经测量得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】补全整个圆，进而根据圆周角定理作答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 5．如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据圆内接四边形的性质得，然后根据三角形外角的性质得，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， ∴． 6．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，截面如图所示，已知，则球的半径长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过球心作于，延长交于，设球的半径为，根据垂径定理求出的长，根据平行线间的距离处处相等和切线的性质表示出的长，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，设球的半径为， ， ， 由题意，四边形是长方形， ，， 又， ∴， ， 球放在长方体纸盒内， 球与相切， ∵， ∴， ， 在中，， ，解得， 即球的半径长是． 7．如图，内接于，．下列说法错误的是（    ） A．劣弧的度数为 B．优弧与劣弧的度数之差为 C．弦所对的圆周角有2个，小者与大者的度数之比为 D．若弧的度数为，则弧的度数为 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得，再根据劣弧、优弧的定义逐项判断． 【详解】解：A、∵， ∴， 即劣弧的度数为， 故A选项正确； B、∵劣弧的度数为， ∴优弧的度数为， ， 即优弧与劣弧的度数之差为， 故B选项正确； C、弦所对的圆周角有2个，一个为，另一个为， ∴小者与大者的度数之比为， 故C选项正确； D、∵弧的度数为，劣弧的度数为， ∴劣弧的度数为， 故D选项错误． 故选：D． 8．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合证明，进而推出，从而确定点G的运动轨迹是以为直径的圆弧， 将求线段最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题，当O，G，D共线时，有最小值，用点到圆心的距离减去半径即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的圆弧，当O，G，D共线时，有最小值， 如图，以为直径作，连接， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】“定弦定角”模型是发现隐圆、进而求解最值的关键核心． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 【答案】点P在外 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， 可得， 因此点与的位置关系是点在圆外． 10．如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 【答案】/100度 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 11．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 【答案】9/九 【分析】连接，圆周角定理求出，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即可. 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， ∴这个正多边形是边数为. 12．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴寸， ∵寸， ∴(寸)． 13．如图，在等边中，，是边的中点，以点为圆心，的长为半径作圆，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积为________（结果保留根号和）． 【答案】 【分析】连接，根据阴影面积等于求解即可． 【详解】解：连接， 因为在等边中，，是边的中点， 所以，，，， 所以， 阴影部分的面积为： ． 14．如图，在中，是的弦，与相切于点，连接交于点，连接并延长交于点．若，，则_________． 【答案】 【分析】连接，由切线的性质可得，由圆周角定理可得，从而证明，根据平行线的性质结合三角形外角的性质求解的度数即可． 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ． 15．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，过点作直线（为任意实数）的垂线，垂足为点，则线段长度的最小值是________． 【答案】/ 【分析】容易判断直线过定点，结合可得点在以为直径的圆上．以为直径作圆，连接、，由中点公式可得，由勾股定理可得，，则，由可得的最小值为． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上，且点不在轴上， 如图，以为直径作圆，连接、， ∵，， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，，， ∴， ∵， ∴当点在的延长线上时，取得最小值． 16．如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 【答案】 【分析】连接，由得，进而由内心的定义得，即得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，得到，即得到，是等腰直角三角形，得，设，则，由得，得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵于点， ∴， ∴， ∵为的内心， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共68分） 17．如图，在中，于于E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相等的弧对的圆心角相等，全等三角形的判定与性质；由相等的弧对的圆心角相等，得，进而可证明，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点，且．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法（证明直线与圆的半径垂直）是解题的关键． 要证明是的切线，需证明圆心到的距离等于半径（或证明）．通过连接，利用已知条件、，结合公共边，证明，从而得到，即可得证． 【详解】证明：连接， ，，， ， ； 为的半径， 是的切线； 19．如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，． (1)证明：； (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，再由圆周角定理即可得证； （2）连接，设的半径为r，由垂径定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：在中，是直径，是弦， （2）解：由(1)可知 连接， 设半径r，则 在中， ， 解得 20．如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； (2)在（1）的条件下， ①点A经过路径的长度为 （结果保留）； ②点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查旋转变换作图，关键在于先找到旋转后对应的点，也需要牢记弧长公式． （1）利用网格和旋转的性质画出点A、B对应的点和，相连得到所求三角形． （2）①先根据勾股定理求出的长，然后根据弧长公式求解即可；②根据所画图形写出的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解：①， 所以点A经过的路径为； ②由图形可得∶ 点的坐标为∶． 故答案为： 21．如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了圆的切线判定以及含角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形边角关系是解题关键． （1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推导出半径与直线垂直，从而证明切线； （2）在直角三角形中，根据角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求解． 【详解】（1）证明：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， 即， ， 又， ， 的半径为． 22．如图，为的直径． (1)使用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①在上方的上求作一点，使得为等边三角形； ②在①的基础上作的内接矩形； (2)说明（1）中所作四边形是矩形的理由． 【答案】(1)①如图所示，即为所求； ②矩形即为所求； (2)解：理由如下： 点，都在上， ，， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 又是的直径， （直径所对的圆周角是直角）， 四边形是矩形． 【分析】1）以点为圆心，长为半径作弧．交上方的于点；连接，则为等边三角形； ②延长交于点；顺次连接、、和，四边形就是所求作的矩形． （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 23．如图，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）如图：连接，利用垂直的定义、圆周角定理可证明、等腰三角形三线合一的性质可证明，易得，再利用切线的判定定理即可证明结论； （2）如图：连接，过作与F，则，利用含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、，进而得到；再说明，最后根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵为的直径，， ∴， 如图：连接，过作与F，则， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 25．在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 【答案】(1)； (2)①A； ②证明：过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是的半径， ∴与相切，即与有且只有一个公共点． (3)如图所示，圆弧五边形即为所求作的图形： 【分析】（1）圆弧三角形的周长由，，三段弧长构成，由，，利用弧长公式计算即可；圆弧三角形的面积可通过计算三个扇形的面积，但是中间的等边三角形的面积被多算了两次，只需减两次等边三角形的面积即可求出； （2）①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，而无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，即在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的，所以最高点形成的图形是一条直线；②过点作，垂足为，利用正方形的性质可得，得出是的半径，结论即可得证； （3）先画出使其对角线长为的正五边形，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形，再通过圆弧五边形画出正方形． 【详解】（1）解：由题意可得：圆弧三角形是由三段圆弧围成的， ∴圆弧三角形的周长为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴圆弧三角形的周长为， 过点作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧三角形的面积为． （2）解：①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，如图所示： ∵， ∴无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的， ∴在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的， ∴最高点形成的图形是一条直线； ②略 （3）解：如图，画正五边形，使其对角线，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形， 连接，分别过点、点作的垂线，过点作的平行线，与过点、点作的的垂线分别交于点，过点作的垂线交于点，过点作的平行线，与过点、点作的垂线分别交于点， ∴，，， ∴四边形是边长为的正方形， ∴圆弧五边形可以在正方形中转动，并且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点，所作图形符合题意． 26．如图①，在半径为10的中，弦，点P在优弧上，过点P作分别交、弦于点C、D．连接，过点A作分别交、弦、于点E、F、G．    (1)如图②，当为的直径时，求的长； (2)求证：； (3)当点P运动时，的长是否随之改变呢？若不改变，请直接写出的长；若改变，请说明的长的变化情况． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)当点P运动时，的长不改变；的长为16 【分析】（1）根据垂径定理勾股定理求解即可； （2）连接，证明，可得，即可求证； （3）作直径，连接，根据题意可得，再证明四边形为平行四边形，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵为的直径，，， ∴， ∵的半径为10， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：如图，连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当点P运动时，的长不改变， 作直径，连接，    在中，， ∴点G为的垂心， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ∴当点P运动时，的长不改变， 的长为16． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知的半径是2，如果点P到圆心O的距离为3，那么点P与的位置关系是（   ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 2．已知某圆锥的底面直径为6cm，母线长4cm，则它的全面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，为的直径，点C，D是上的两点，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 4．如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心，点，，均在圆弧上，经测量得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，截面如图所示，已知，则球的半径长是（     ） A． B． C． D． 7．如图，内接于，．下列说法错误的是（    ） A．劣弧的度数为 B．优弧与劣弧的度数之差为 C．弦所对的圆周角有2个，小者与大者的度数之比为 D．若弧的度数为，则弧的度数为 8．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 10．如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 11．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 12．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 13．如图，在等边中，，是边的中点，以点为圆心，的长为半径作圆，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积为________（结果保留根号和）． 14．如图，在中，是的弦，与相切于点，连接交于点，连接并延长交于点．若，，则_________． 15．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，过点作直线（为任意实数）的垂线，垂足为点，则线段长度的最小值是________． 16．如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 三、解答题（共68分） 17．如图，在中，于于E，求证：． 18．中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点，且．求证：是的切线． 19．如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，． (1)证明：； (2)当，时，求的半径． 20．如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； (2)在（1）的条件下， ①点A经过路径的长度为 （结果保留）； ②点的坐标为 ． 21．如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 22．如图，为的直径． (1)使用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①在上方的上求作一点，使得为等边三角形； ②在①的基础上作的内接矩形； (2)说明（1）中所作四边形是矩形的理由． 23．如图，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 24．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 25．在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 26．如图①，在半径为10的中，弦，点P在优弧上，过点P作分别交、弦于点C、D．连接，过点A作分别交、弦、于点E、F、G．    (1)如图②，当为的直径时，求的长； (2)求证：； (3)当点P运动时，的长是否随之改变呢？若不改变，请直接写出的长；若改变，请说明的长的变化情况． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $