第3章 圆全章综合检测卷（暑假预习举一反三单元自测·提高篇）新九年级数学上册新教材苏科版

**基本信息** 苏科版初中数学圆单元提高卷，融合多地模拟题，通过风筝骨架传统工艺、动态几何等情境，考查圆的性质、切线、内接多边形等，适合暑假综合检测与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|半径计算、切线性质（如第4题）|几何直观，基础巩固| |填空题|6/30|外心内心关系（第13题）、弦长计算|推理意识，能力提升| |解答题|8/80|传统工艺应用（第19题）、动态实践操作（第23题）|创新应用，融合文化传承与真题趋势|

第3章 圆全章综合检测卷（提高篇） 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江台州·二模）如图，圆的内接六边形中，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·北京顺义·二模）如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．（2026·河北唐山·二模）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，与y轴相切于点B．点A在函数的图象上，点P是上的动点，连接，若半径为6．的最大值是16，则k的值为（   ） A．6 B．12 C．48 D．24 8．（2026·湖北武汉·一模）如图，是的直径，点，在上，，，，则的长是（     ） A．6 B． C． D． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，为半圆上的一条弦，将沿着对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·山东济南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线过原点O和点C．若直线上存在点，满足，则的值为（     ） A． B．3或 C．或 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（2025·北京密云·一模）如图，为直径，为的一条弦，于E，连接，．，则的大小为 _______ °． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图， 四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为__________． 13．（2025·宁夏银川·二模）如图，点分别是的外心和内心，连接．若，则________． 14．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）四边形是的内接四边形，为上一点（不与，重合），且的度数为，则_____． 15．（2025·四川绵阳·二模）如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 ______． 16．（2026·山东枣庄·一模）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是________ 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 18．（8分）（2026·安徽六安·模拟预测）如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 19．（8分）（2026·浙江杭州·二模）【问题背景】 风筝，古称“纸鸢”，是中国传统手工艺瑰宝，其经典骨架结构的平面图如图1所示．某校开展“传统工艺中的数学”探究活动，对风筝骨架展开证明与计算． 【数学理解】 如图2，在风筝骨架中，，，分别是两个等圆和的弧，且． (1)求证：． (2)在制作好风筝骨架结构后，需贴上如图1所示的风筝纸，其中，，，求所需风筝纸的面积（点，，三处的装饰物不计）． 20．（10分）（2026·吉林长春·模拟预测）如图，半圆O与直线相切于点，为半圆O的直径，．P为直线上的一动点，过点P作射线，，射线随点P的移动而平移． (1)如图1，移动点P，使得射线与半圆O交于点D，E，连接，．当时，求的长． (2)如图2，移动点，使得射线经过点C，射线与半圆O交于另一点F，求的长． 21．（10分）（2026·山西运城·二模）阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 等径三角形定义：若三角形中有一条边长等于该三角形外接圆的半径，则该三角形被称为等径三角形． 特例分析：如图1，是等径三角形，的外接圆半径． ①尺规作图：作的外接圆． ②结论：______（判断依据：____________）． 一般结论：如图2，是的弦，且等于的半径，C是上一动点．若记，，则： ①______； ②______． 问题解决： (1)尺规作图：在图1中，作的外接圆． (2)填空： ①“特例分析”中，______（判断依据：____________）． ②“一般结论”中，______；______． 22．（12分）（2025·广东清远·二模）综合与实践 【主题】探究圆与扇形关系． 【材料】准备半径为3的圆形纸片． 【实践操作】 操作一：如1图，在圆形纸片剪出一个以圆上点为圆心的扇形． 操作二：如2图，在圆形纸片内剪出一个以为圆心的扇形，并将该扇形纸片围成圆锥（如3图所示），设该圆锥体积为． 操作三：如4图，在操作二的基础上，在该扇形纸片上作圆．与扇形的两条半径内切，且经过扇形上点． 【实践探索】 (1)根据剪纸要求，请直接写出1图中的扇形的半径=___________． (2)请求出的值（结果保留）． (3)求的半径． 23．（12分）（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______． (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 24．（12分）（25-26九年级上·江苏连云港·期中）目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”． 【初步认识】（1）已知是的外接圆，点是的内心． ①请在图1中利用直尺和圆规作出内心，若连接，并延长交于点，连接，请猜想与的数量关系，并说明理由； ②若点是优弧上（不与、重合）的动点，的半径为5，，求最大值为________； 【深入探究】（2）在题（1）条件下，如图2，如果，于．求证：； 【灵活运用】（3）如图3，在中，，过点作，垂足为，且，点和点分别是的内心和外心，试判断与的数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆全章综合检测卷（提高篇） 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 2．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆，连接，由圆周角定理可得，可得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径是5． 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作， ∵矩形中，对角线与相交于点，，． ∴，，，， ∴ ∴， 则；    当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，    则 则 ∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，证明得，根据圆周角定理求出，可得，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵和为的两条切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·浙江台州·二模）如图，圆的内接六边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质可得，再结合三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形均为圆O的内接四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．（2026·北京顺义·二模）如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】作出圆心，连接，由圆周角定理得到，利用弦相等则弧相等得出 ，最后根据正多边形中心角公式求解． 【详解】解：作出圆心，连接 ∴ ∴ 是正边形的两条邻边 正边形的一边所对的圆心角为 ． 7．（2026·河北唐山·二模）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，与y轴相切于点B．点A在函数的图象上，点P是上的动点，连接，若半径为6．的最大值是16，则k的值为（   ） A．6 B．12 C．48 D．24 【答案】C 【分析】当过圆心时，取最大值16，连接，根据勾股定理可知，可知点的坐标即可求解值． 【详解】解：如图，当过圆心时，取最大值16，连接， ∵与y轴相切于点B， ∴轴， ∵半径为6， ∴,, ∴, ∴， ∵点A在函数的图象上， ∴． 8．（2026·湖北武汉·一模）如图，是的直径，点，在上，，，，则的长是（     ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，作交延长线于点，连接，则，根据等圆心角对等弦得到，根据圆周角定理得到，进而得到，利用勾股定理求出的长，再根据是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，作交延长线于点，连接，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，为半圆上的一条弦，将沿着对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】折叠后的弧所在的圆的圆心为，连接、、，与交于点，由折叠的性质可知，垂直平分，由垂径定理可得，设，，则，，利用勾股定理得出，再根据圆的切线的性质，得出，利用的长得到关于的一元二次方程，利用公式法求出，即可求解． 【详解】解：如图，折叠后的弧所在的圆的圆心为，连接、、，与交于点， 由折叠的性质可知，垂直平分， ， 为半圆上的一条弦，， ， 设，， ，，， ， ， ， ， 折叠后的弧所在的圆与半径相等， ， 折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点， ， ， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， ， ， 故选：C． 【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，圆的切线的性质，解一元二次方程等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 10．（2024·山东济南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线过原点O和点C．若直线上存在点，满足，则的值为（     ） A． B．3或 C．或 D．3 【答案】A 【分析】如图，作的外接圆，交直线于，连接，，则满足条件．先证出是直角三角形，再得出是的中点，，进而求出点的坐标，根据对称性可知，点关于的对称点，即可求出的值． 【详解】如图，作的外接圆，交直线于，连接，，则满足条件． 由题意得， ， ， 轴， ， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， 是的中点，， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 此时 根据对称性可知，点关于的对称点 ， 综上所述，的值为或，选项只给了一个正确值， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，三角形的外接圆，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（2025·北京密云·一模）如图，为直径，为的一条弦，于E，连接，．，则的大小为 _______ °． 【答案】70 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，由可得，可得，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图， 四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，弦，弧，圆心角的关系，勾股定理的应用，过作交于，交于，证明，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：过作交于，交于，而， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径是3， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13．（2025·宁夏银川·二模）如图，点分别是的外心和内心，连接．若，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点I是的内心，得． 【详解】解：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）四边形是的内接四边形，为上一点（不与，重合），且的度数为，则_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查圆周角定理和圆内接四边形的性质；先求出，再分两种情况：当点E在上时，当点在上时，计算即可． 【详解】解：∵的度数为， ∴，         ∵四边形是的内接四边形， ∴， 当点E在上时， ∴， 当点在上时， ， 综上所述或， 故答案为：或． 15．（2025·四川绵阳·二模）如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 ______． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理，以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，设D的坐标是，P的坐标是，由勾股定理得到，，因此，由勾股定理求出，得到，即可求出的最小值． 【详解】解：以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N， 设D的坐标是，P的坐标是， ∵， ∴由圆的对称性得到C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最小值6， 故答案为：6． 16．（2026·山东枣庄·一模）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是________ 【答案】 【分析】延长交于点，连接，，，，根据垂径定理推得，求得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得出当，，三点共线时，最小，最小值为的长，再利用直角三角形的性质求出和的长，即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接，，，，如图， ∵，为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， 故在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)证明：如图，过点作于点， ， ， 平分交于点，， ， 点在上， 又， 与相切； (2) 【分析】（1）过点作于点，首先根据角平分线的性质证明，继而根据切线的判定定理证明与相切． （2）通过证明，得到，根据勾股定理得到，继而得到，在中根据勾股定理解得． 【详解】（1）略； （2）解：，， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 圆的半径为， ， ， ， 在中，，即，解得：， 圆的半径． 18．（8分）（2026·安徽六安·模拟预测）如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， ， ， ， ． (2)的半径为 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，结合几何已知条件可证明，再根据圆周角定理证明即可； （2）设与相交于点E，根据三角形中位线定理可求得，再设的半径为r，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设与相交于点E， 由（1）知， ，， ， ， 设的半径为r，则， ， 在中，， 在中，， ， ， 解得，（负值舍去）， 的半径为． 19．（8分）（2026·浙江杭州·二模）【问题背景】 风筝，古称“纸鸢”，是中国传统手工艺瑰宝，其经典骨架结构的平面图如图1所示．某校开展“传统工艺中的数学”探究活动，对风筝骨架展开证明与计算． 【数学理解】 如图2，在风筝骨架中，，，分别是两个等圆和的弧，且． (1)求证：． (2)在制作好风筝骨架结构后，需贴上如图1所示的风筝纸，其中，，，求所需风筝纸的面积（点，，三处的装饰物不计）． 【答案】(1)证明：∵，分别是两个等圆和的弧，且， ∴， 又∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据等弧对等弦得出，进而根据证明； （2）连接，设交于点，证明四边形是菱形，进而求得其面积，再求得扇形的面积，进而求得风筝的面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴所需风筝纸的面积为． 20．（10分）（2026·吉林长春·模拟预测）如图，半圆O与直线相切于点，为半圆O的直径，．P为直线上的一动点，过点P作射线，，射线随点P的移动而平移． (1)如图1，移动点P，使得射线与半圆O交于点D，E，连接，．当时，求的长． (2)如图2，移动点，使得射线经过点C，射线与半圆O交于另一点F，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据，可得，进而判定为等边三角形，根据弧长公式即可求解； （2）连接，作，根据题意求得的度数，然后根据勾股定理，即可求解； 【详解】（1）解：， ； ， 为等边三角形， ， 则 ； （2）解：连接，作； ， 半圆O与直线相切于点， ， ， ， ， ， ； 21．（10分）（2026·山西运城·二模）阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 等径三角形定义：若三角形中有一条边长等于该三角形外接圆的半径，则该三角形被称为等径三角形． 特例分析：如图1，是等径三角形，的外接圆半径． ①尺规作图：作的外接圆． ②结论：______（判断依据：____________）． 一般结论：如图2，是的弦，且等于的半径，C是上一动点．若记，，则： ①______； ②______． 问题解决： (1)尺规作图：在图1中，作的外接圆． (2)填空： ①“特例分析”中，______（判断依据：____________）． ②“一般结论”中，______；______． 【答案】(1) (2)①，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；②或， 【分析】（1）在上截取，以为圆心为半径作圆，即可； （2）①根据题意可得是等边三角形，得出，根据圆周角定理，即可求解； ②分情况讨论，当在优弧和劣弧上，两种情况，根据含度角的直角三角形的性质求得边上的高，进而根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①连接， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴（同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半） ②当点在优弧上时，如图，过点作于点， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 当点在劣弧上时，如图， ∵是的内接四边形， ∴ 过点作 ∴ ∴ 综上所述， 或； 22．（12分）（2025·广东清远·二模）综合与实践 【主题】探究圆与扇形关系． 【材料】准备半径为3的圆形纸片． 【实践操作】 操作一：如1图，在圆形纸片剪出一个以圆上点为圆心的扇形． 操作二：如2图，在圆形纸片内剪出一个以为圆心的扇形，并将该扇形纸片围成圆锥（如3图所示），设该圆锥体积为． 操作三：如4图，在操作二的基础上，在该扇形纸片上作圆．与扇形的两条半径内切，且经过扇形上点． 【实践探索】 (1)根据剪纸要求，请直接写出1图中的扇形的半径=___________． (2)请求出的值（结果保留）． (3)求的半径． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）如图所示，连接，为直径，则，在中，，由此即可求解； （2）如图，圆锥的高为，母线为，底面半径为，根据弧长公式，圆周长公式得到的值，根据圆锥体积的计算公式计算即可； （3）如图，过点向扇形两边作垂线，垂足分别为，可证，得，设半径为，则，可列式得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵， ∴为直径，则， ∵在圆形纸片剪出一个以圆上点为圆心的扇形， ∴，则， 在中，， ∴， ∴扇形的半径为； （2）解：如图，圆锥的高为，母线为，底面半径为， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，过点向扇形两边作垂线，垂足分别为， 与扇形两边相切与， ， ， ， 设半径为，则， ， 解得， 检验，当时，原分式方程有意义， 的半径为1． 【点睛】本题主要考查圆、扇形的知识，掌握解直角三角形的计算，弧长公式的计算，圆锥体积的计算，切线及切线长定理等知识的综合运用，数形结合分析是关键． 23．（12分）（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______． (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形与圆、勾股定理，解题的关键是理解三个正方形摆放． （1）（Ⅰ）连接正方形的对角线，利用勾股定理求出的长即可； （Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可； （Ⅲ）找出过三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可； （2）连接，延长交于点P，则，P为中点，设，则，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：（Ⅰ）如下图，连接， ， （）， 图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为； （Ⅱ）如下图， 三个正方形的边长均为4， 三点在以O为圆心，以为半径的圆上， （）， 图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （Ⅲ）如下图所示， ， 是过三点的圆的直径， ， 为圆心， 的半径为， （）， 图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （2）如下图，为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接，延长交于点P，则，P为中点，       设，则， 则有：， 解得：， 则， 圆形硬纸板的直径是． 24．（12分）（25-26九年级上·江苏连云港·期中）目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”． 【初步认识】（1）已知是的外接圆，点是的内心． ①请在图1中利用直尺和圆规作出内心，若连接，并延长交于点，连接，请猜想与的数量关系，并说明理由； ②若点是优弧上（不与、重合）的动点，的半径为5，，求最大值为________； 【深入探究】（2）在题（1）条件下，如图2，如果，于．求证：； 【灵活运用】（3）如图3，在中，，过点作，垂足为，且，点和点分别是的内心和外心，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①作图见解析 ，理由见解析 ② （2）证明见解析 （3），理由见解析 【分析】对于（1）①，分别作平分线，交于点I，则点I即为所求作；根据三角形的内心的性质得，再根据同弧所对的圆周角相等得，然后根据三角形外角的性质得，最后根据等角对等边得出答案；②连接，交于点L，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，可得，然后根据勾股定理求出，最后根据求出答案； 对于（2），连接，交于点E，先根据垂径定理得，，再根据“角角边”证明，可得，则答案可证； 对于（3），连接并延长交于点D，连接，先说明为等腰直角三角形，及是等腰直角三角形，再延长到点H，使得，连接，然后根据“边角边”证明，可得，进而说明，接下来说明，则答案可证． 【详解】解：（1）①如图所示； ，理由如下： ∵点I是的内心， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ②如图，连接，交于点L， ∵的半径是5，，且点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 所以的最大值是； （2）连接，交于点E， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，连接并延长交于点D，连接， 由题意可知平分， ∵， ∴． 由（1）得，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由对称可知， ∴是等腰直角三角形， 延长到点H，使得，连接， ∵点F为的外心， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $