第4章 数据的集中趋势和离散程度+第5章 等可能条件下的概率（暑假单元自测）新九年级数学新教材苏科版

**基本信息** 苏科版初中数学第4-5章单元卷，以文化传承（如古代数学名著）与社会热点（如巴黎奥运）为情境，覆盖集中趋势、离散程度及概率核心知识，适配暑假复习，检测综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题16分|极差、中位数、古典概型|第3题结合《周髀算经》考查概率，体现文化传承| |填空|8题16分|方差、频率估计概率|第11题用黄球频率估计数量，培养数据意识| |解答|10题68分|箱线图、方差应用、概率计算|第26题补全箱线图并分析，发展数学眼光；第17题对比快递公司数据，强化模型观念|

第4章 数据的集中趋势和离散程度+第5章 等可能条件下的概率 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．有一组数据：6，2，4，5，7，这组数据的极差为（　　） A．1 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查极差，熟练掌握极差的定义是解题的关键；因此此题可根据极差是一组数据中最大值与最小值的差，进而问题可求解． 【详解】解：∵数据为6，2，4，5，7， ∴最大值为7，最小值为2， ∴极差为； 故选B． 2．小明统计了本班40名学生暑假的阅读量，绘制了一幅条形统计图（如图）．    则该班学生阅读量的中位数是（   ） A．12本 B．10本 C．5本 D．4本 【答案】D 【分析】本题考查了中位数以及条形统计图，解题的关键是掌握中位数的定义． 根据中位数的定义分析解答即可． 【详解】解：∵该班学生阅读量按由小到大的顺序排序后，第 20 和 21 个数据为 4，4 ， ∴该班学生阅读量的中位数是：（本）． 故选：D． 3．中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好是《周髀算经》的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定所有等可能结果总数和所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从4部不同的名著中任选1部，共有种等可能的结果，其中恰好选中《周髀算经》的结果只有种， ∴根据概率公式可得，恰好选中《周髀算经》的概率为． 4．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 【答案】A 【分析】本题考查了方差、样本容量、中位数与众数、平均数，熟练掌握方差公式是解题关键．先根据方差公式可得这组数据为，再根据样本容量的定义、中位数与众数的定义、平均数公式逐项判断即可得． 【详解】解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次， 所以这组数据为． A、样本的容量是，则此项错误； B、样本的中位数是3，则此项正确； C、样本的众数是2，则此项正确； D、样本的平均数是，则此项正确； 故选：A． 5．如图为某城市月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（　　） A．这个月空气质量指数的最大值为 B．中位数为 C．数据在箱体的右侧比较集中 D．第一四分位数为 【答案】D 【分析】本题考查箱线图的应用，熟记箱线图及相关统计量的意义是解决问题的关键． 由箱线图得到最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为，结合相关统计量逐项分析选项即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为， A、这个月空气质量指数的最大值为，说法正确，不符合题意； B、中位数为，说法正确，不符合题意； C、在箱体中，中位数左侧宽、右侧窄，则数据在箱体的右侧比较集中，说法正确，不符合题意； D、第一四分位数为，选项中原说法错误，符合题意； 故选：D． 6．在一个网约车平台上，某时段共有40辆在线接单的车辆，分为新能源车和燃油车，车辆外观、接单优先级等其他条件完全相同．乘客通过多次打车体验后发现，打到新能源车的频率稳定在附近，则该平台这40辆在线车辆中，新能源车辆约有（     ）辆 A．7 B．12 C．16 D．28 【答案】D 【分析】当频率稳定在某一数值附近时，可用该频率估计概率，再结合总车辆数计算新能源车辆的数量即可． 【详解】解：∵打到新能源车的频率稳定在附近， ∴可估计打到新能源车的概率为， ∵总共有40辆在线车辆， ∴新能源车辆数量约为辆． 7．某校“魅力篮球节”活动中，有8位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为6，5，4，7，6，10，9，8．则这8位同学投篮进球次数的上四分位数为（   ） A．5.5次 B．6次 C．8.5次 D．9次 【答案】C 【分析】本题考查上四分位数的计算，需先将数据从小到大排序，再取上半部分数据的中位数． 【详解】解：∵数据从小到大排序为4，5，6，6，7，8，9，10，共8个数据， ∴上半部分数据为7，8，9，10， ∵上半部分数据有4个， ∴上四分位数为第2和第3个数据的平均值，即（次）， 故选：C． 8．小赵、小钱、小孙、小李四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字一定含有1的是（　　） A．小赵选出四个数字的方差等于4.25 B．小钱选出四个数字的中位数是4 C．小孙选出四个数字的平均数等于4 D．小李选出四个数字的极差等于4 【答案】A 【分析】本题考查了方差，算术平均数，极差的定义，根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可．掌握相关的知识是解题的关键． 【详解】解：A、假设选出的数据没有1，则选出的数据为2，3，5，6时，方差最大， 此时，方差为，不符合条件， 当数据为1，2，5，6时，，， 故得出符合条件的方差的话，选中的数字必须得有1，故该选项符合题意； B、当该同学选出的四个数字为2，3，5，6时，中位数为，符合条件，但其中没有1，故该选项不符合题意； C、当该同学选出的四个数字为2，3，5，6时，，符合条件，但其中没有1，故该选项不符合题意； D、当选出的数据为2，4，5，6或2，3，4，6时，极差也是4，符合条件，但其中没有1，故该选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．有一组数据：（为常数），这组数据的方差为________． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为， 这组数据的方差为 ． 10．下表是学校藤球队中四名同学成绩的平均数及方差，若要从这四名队员中，选择一名成绩好且状态稳定的选手代表学校参加市藤球赛，应选择___________． 甲 乙 丙 丁 /分 【答案】丁 【分析】选本题考查了方差，择成绩好且状态稳定的队员，需平均分高且方差小；比较四名队员的平均分和方差，丁的平均分最高且方差最小，符合条件． 【详解】解：选择成绩好且状态稳定的队员，需平均分高且方差小． 比较可知，乙和丁的平均分最高，丙和丁的方差最小，因此同时满足两个条件的队员是丁． 故答案为：丁． 11．一个不透明的纸箱中装有白色、黄色乒乓球共50个，这些球除颜色外都相同．经过多次摸球试验（记录颜色后放回）发现：从中任意摸出一个球，摸到黄球的频率稳定在0.3附近，估计纸箱中的黄球共有_____个． 【答案】15 【分析】本题利用频率估计概率的知识点，先通过稳定的频率得到摸到黄球的概率，再用总球数乘概率得到黄球的估计个数． 【详解】解：根据大量重复试验中，频率稳定在概率附近，可得摸到黄球的概率近似为， 故黄球个数约为个． 12．如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积． 设正方形的边长为a，根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，再证得和都是等腰直角三角形，，从而得到，然后根据概率公式计算，即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴小鸟不落在花圃上的概率为． 故答案为： 13．某地4家企业在今年第一季度的产值(单位：亿元)分别为8，10，6，7．若按照组内离差平方和最小的原则，把这 4 家企业今年第一季度的产值分为两组，则组内离差平方和的最小值是____________． 【答案】2 【分析】首先将4个数据从小到大排列为,,,，分组分为两类：1个数据一组、3个数据一组，2个数据一组、2个数据一组，组内离差平方和为两组各自计算每个数据与本组平均数的差的平方和，再相加得到总和，比较所有结果得到最小值． 【详解】解：①计算1个和3个分组的组内离差平方和： 分组：； 分组：； 分组：； 分组：； ②计算2个和2个分组的组内离差平方和： 分组：； 分组：； 分组：； ∵ ∴组内离差平方和的最小值是． 14．某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______． 甲 乙 【答案】甲 【分析】本题考查了算数平均数的定义以及方差的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 分别计算、并比较两人的方差即可判断． 【详解】解：甲的平均成绩为：， 乙的平均成绩为：， 乙两人的百米赛跑运动成绩的方差为： ， ， ， 甲运动员的成绩更为稳定，                   故答案为：甲． 15．容器中有A，B，C，3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论： ①最后一颗粒子可能是A粒子；       ②最后一颗粒子一定是C粒子 ③最后一颗粒子一定不是B粒子；    ④以上都不正确 其中正确结论的序号是_____________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③/③① 【分析】假设剩下的是A、B、C粒子，分别讨论，列举结果，进行排除，最终得到结果． 【详解】解：（1）最后剩下的可能是A粒子． 10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子； 9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子； 所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗B粒子； 这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子． （2）最后剩下的可能是C粒子． 10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子； 所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子； 这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子． （3）最后剩下的不可能是B粒子． A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况： A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子：（B多1个，A、C共减少两个）； B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子：（B少1个，A、C总数不变）； C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子：（B多1个，A、C共减少两个）； A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B各一颗粒子：（B少1个，A、C总数不变）； A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子：（B多1个，A、C共减少两个）； B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子：（B少1个，A、C总数不变）， 可以发现如下规律： ①从B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的数量增多一个或减少一个．题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次， 由于开始B粒子共有8颗， 所以26次碰撞之后，剩余的B粒子个数必为偶数，不可能是1个， 所以，最后剩下的不可能是B粒子． ②从A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个．题目中A、C粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的． 所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查简单的合情推理，需列举，发现规律，是解题的关键． 16．有一组被墨水污染的数据：4，7，6，9，，3，11，7，这组数据的箱线图如图所示，则被污染的数据是________． 【答案】4 【分析】先从箱线图中读取该组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值这五个统计量的数值．先列出已知的7个数据，因为数据总共有8个，所以如果要确定被污染数据的范围，可先结合已知数据和箱线图的最值，判断被污染数据是否为最小值或最大值．将8个数据从小到大排序，按照中位数、四分位数的计算方法，结合箱线图给出的、中位数、的数值，建立关于被污染数据的条件，求解被污染数据的取值． 【详解】解：这组数据共8个数值，设被污染数为， 根据箱线图可得：最小值为，最大值为， 因此， 已有和，符合． 根据箱线图画法：8个数据排序后，中位数是第4个和第5个数的平均数， 由箱线图得中位数为，因此第4个数+第5个数， ∴只能是， 因此． 上四分位数是后4个数据的中位数， 后4个数据为， 因此，和箱线图中箱子右端在一致，符合条件． 下四分位数​是前4个数据的中位数，实际严格对齐刻度， 前4个数据排序为3，4，x，6， ∴， 解得． 三、解答题（共68分） 17．某厂家打算从甲乙两家快递公司中选择一家进行合作．厂家邀请了10位用户对两家快递公司进行满意度打分，甲、乙两家公司的得分折线统计图如图： (1)根据以上信息，填空： 公司 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 8 ①_____ 1 乙 ②_____ 8 ③_____ (2)如果你是厂家经理，你认为选哪一家快递公司更好？为什么？ 【答案】(1)①8；②8；③； (2)选择甲公司更好，因为甲乙两公司平均数、中位数一样，但甲公司方差比乙公司小，更稳定，所以选甲公司 【分析】本题考查折线统计图，熟练掌握平均数、中位数、方差的定义是解题的关键． （1）根据折线统计图得到甲、乙公司满意度得分从小到大排列，利用中位数、平均数、方差的定义进行计算即可； （2）根据平均数和方差的比较得到，甲公司更稳定，据此解答即可． 【详解】（1）解：甲公司满意度得分从小到大排列为：6，7，7，8，8，8，9，9，9，9， 则中位数为， 乙公司满意度得分从小到大排列为：4，6，7，8，8，8，9，10，10，10， 则平均数为， 方差为 故答案为：①8，②8，③； （2）解：选择甲公司更好，理由如下： 因为甲、乙两公司平均数、中位数都相同，但甲公司方差比乙公司小， 所以甲公司更稳定， 因此，选甲公司更好． 18．北京时间8月5日分，巴黎奥运射击男子25米手枪速射决赛正式开始，中国选手李越宏40枪得到32分，领先第二名7分，拿到金牌，在连续两届奥运会获得铜牌后，终于圆梦，这也是中国射击本届奥运会的第五枚金牌，也是中国代表团的第20枚金牌，比赛分为8轮，每轮5枪，9.7环以上视为命中，命中1枪得1分．李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分 (1)李越宏的8轮成绩的众数为 ； (2)求李越宏8轮得分的方差． 【答案】(1)5和4 (2)李越宏轮得分的方差为分 【分析】本题考查了众数，方差，平均数，熟练掌握方差公式是解题的关键． （）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可； （）先求得数据的平均数，再利用方差公式求解即可． 【详解】（1）解：李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分， 其中数据5和4各出现了3次，且出现次数最多， ∴众数为5和4， 故答案为：5和4； （2）解：∵平均得分为：（分）， ∴ （分）， 答：李越宏轮得分的方差为分． 19．为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表． 组别 身高（cm） A B C D E 根据图表中信息，回答下列问题： (1)在样本中，男生身高的中位数落在 组（填组别序号），女生身高在B组的人数有 人； (2)在样本中，身高在之间的人数共有 人，身高人数最多的在 组（填组别序号）； (3)已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在之间的学生约有多少人？ 【答案】(1)， (2)； (3)人 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中位数的定义解答即可； （2）将位于这一小组内的频数相加即可求得结果； （3）分别用男、女生的人数，相加即可得解． 【详解】（1）解：在样本中，共有人， ∴中位数是第和第人的平均数， ∴男生身高的中位数落在组，女生身高在组的人数有人； （2）解：在样本中，身高在之间的男生有人，由（1）知此组女生有人， ∴共有人， 各组人数分别为：组：人； 组：人； 组：人； 组：人； 组：人； ∴身高人数最多的在组； （3）解：人，故估计身高在之间的学生约有人． 20．射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） 甲：8，8，7，8，9    乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 C 3.2 根据以上信息，解答下面的问题： (1)_____；_____；_____； (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？ (3)若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由． 【答案】(1)8，8，9 (2)见解析 (3)变小，理由见解析 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数，平均数，众数的定义求解即可； （2）二人平均成绩相同，但是甲的方差更小，即成绩更稳定； （3）根据方差计算公式求出选手乙再射击第6次后，6次成绩的方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可得，； 甲的成绩7，8，8，8，9中，8出现的次数最多，故众数； 而乙的成绩5，7，9，9，10中，中位数； 故答案为：8，8，9； （2）解：教练选择甲参加射击比赛的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定， 答：甲的成绩较稳定． （3）解：由题可得，选手乙这6次射击成绩5，9，7，10，9，8的方差， ， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小． 21．九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有、，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（、）；生成其他物质的变化叫作化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是_____； (2)从两个口袋中分别随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据概率公式计算即可； （）列出表格，根据表格解答即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，从乙口袋中随机抽取张卡片，共有种等可能的结果，其中抽到物理变化的结果有种， ∴从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 乙甲 由表可知，共有种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有，共种， ∴抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 22．数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． (1)抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ； (2)同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图，先得到同时抽取枚邮票的所有可能结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵共枚邮票，其中邮票“勾股定理”有枚， ∴从中抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是； （2）解：将圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带的邮票分别记作，，，， 画树状图如图， 共有种可能的结果，其中恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的结果有种， ∴恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率为． 23．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】(1)，40和25，； (2)； 绘制箱线图如图所示： (3)社区应该挑选阅览室A． 理由：因为阅览室A的众数和中位数大于阅览室B，且从箱线图看B阅览室预约人数的差距大，A阅览室预约人数的差距小，更稳定，所以社区应该挑选阅览室A． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据完成表格即可； （2）结合数据和图表确定第25、50、75百分位数对应的位置，计算得到对应的四分位数，在B的位置标注最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，画出箱线图即可； 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据数据， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数b为25和40； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； （2）略 （3）略 24．某校为了解学生对体育运动的了解程度，组织七、八年级全体学生进行了相关的知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下． 【收集数据】从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级学生的分数如下：75，90，35，60，85，85，95，100，80，85，80，85，90，75，65，60，80，100，70，75． 【整理、描述数据】将抽取的七、八年级学生的竞赛成绩x（分）分组整理如表所示： 分数/分 七年级人数 2 3 6 5 4 八年级人数 1 3 a 7 5 【分析数据】七、八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 下四分位数/分 上四分位数/分 七年级 78.5 75 84 71 86 八年级 78.5 根据以上提供的信息，解答下列问题． (1)填空：________，________，________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在相关知识竞赛中，哪个年级学生对体育运动的了解程度更高？请分别就中位数、众数、四分位数等角度进行分析； (3)已知该校七、八年级各有800名学生，为表扬在这次竞赛中表现优异的学生，该校决定给两个年级竞赛成绩在80分及以上的学生颁发奖状，请估计该校需要准备多少张奖状？ 【答案】(1)4，80，85，72.5，87.5； (2)从中位数角度：因为两个年级的学生竞赛成绩的平均数相等，都是78.5，但八年级学生成绩的中位数为80分，大于七年级学生成绩的中位数75分，所以八年级学生对体育运动的了解程度更高． 从众数角度：因为两个年级的学生竞赛成绩的平均数相等，都是78.5，但八年级学生成绩的众数为85分，大于七年级学生成绩的众数84分，所以八年级学生对体育运动的了解程度更高． 从四分位数角度：八年级下四分位数与上四分位数分别大于七年级下四分位数与上四分位数．由此可见，八年级高分相对多，故八年级学生对体育运动的了解程度更高． (3)估计该校需要准备约840张奖状． 【分析】（1）根据中位数、众数和四分位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数以及四分位数比较即可得解； （3）由样本估计总体的方法计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 将八年级20名学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11名的成绩为80分，80分， ∴， 八年级20名学生的竞赛成绩中85出现的次数最多， 故； 下四分位数：； 上四分位数：； （2）解：略 （3）解：（张）， 答：估计该校需要准备约840张奖状． 25．某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取名学生，统计竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 甲班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，． 乙班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，． 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 甲班 乙班 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 和 乙班 和 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，______； (2)请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； (3)按照比赛规定分及以上可以获得奖品，若甲、乙两班学生共人，其中甲班生人，请估计这两个班级可以获得奖品的总人数． 【答案】(1)；； (2)乙班的竞赛成绩更整齐，理由见解析； (3)人． 【分析】（）根据中位数的定义求甲班的中位数，根据平均数的定义求乙班的平均数； （）利用方差的意义，方差越小数据越整齐，通过比较两个班的方差得出结论； （）利用用样本估计总体的方法，先得到样本中分及以上人数的占比，再估算两个班的获奖总人数． 【详解】（1）解：将甲班名学生的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∴个数据的中位数是第个和第个数据的平均数，， ∵乙班名学生成绩总和为， ∴平均数， 故答案为：，； （2）解：乙班的竞赛成绩更整齐，理由如下， ∵甲班的方差为，乙班的方差为，， ∴乙班成绩波动更小，竞赛成绩更整齐； （3）解：由整理数据可知，甲班样本中分及以上的人数为人，占样本的，乙班样本中分及以上的人数为人，占样本的， ∵甲班学生人， ∴乙班总人数为（人）， ∴估计获奖总人数为：（人）， 答：估计这两个班级可以获得奖品的总人数为人． 26．【背景介绍】箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1所示，箱线图中最下端和最上端的竖直线段分别表示数据的最小和最大值；箱体的下端横线表示下四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，即前半部分数据的中位数）；箱体中部的横线表示中位数；箱体的上端横线表示上四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，后半部分数据的中位数）；箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】为了备考体育中考，某校九年级A、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）．其中体育老师已对A班小组同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图（如图2）．B班小组同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班小组同学的箱线图，问A班小组同学跳绳个数的平均数是_______，四分位距是_______． (2)根据B班小组同学的跳绳个数，请在图中补全B班小组同学跳绳个数的箱线图，并标出B班小组同学跳绳个数的平均数，及两端极值点． (3)已知A班小组同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404，______，_____，______，397，396，缺失了其中的三个数据，请根据箱线图将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班小组同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明） 【答案】(1)407.2；17 (2)图见解析 (3)403，401，398 (4)1、A、B两班跳绳个数的平均数相同；2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小；3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 【分析】（1）由图即可得A班小组同学跳绳个数的平均值和四分位距； （2）将B班小组同学的跳绳个数从小到大排列分别计算出平均数，及两端极值，画出图即可； （3）将A班小组同学的跳绳个数从小到大排列根据中位数，下四分位数，平均数即可求解； （4）根据箱线图及数据特征写出结论即可． 【详解】（1）解：由图可得，A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2，四分位距是． （2）解：∵B班小组同学的跳绳个数从小到大排列为：335，390，399，404，405，415，425，427，430，442， ∴最大值为442，最小值为335，，，，平均数， 补全B班小组同学跳绳个数的箱线图如下， （3）解：∵A班小组同学的跳绳个数从小到大排列为： 396，397，______，_____，______， 404，405，415，418，435， 由图可得，中位数，则第5个数为403， 下四分位数，则第3个数为398， ∵A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2， ∴第4个数为， ∴缺失的数据从大到小为403，401，398． （4）解：1、A、B两班跳绳个数的平均数相同； 2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小； 3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 数据的集中趋势和离散程度+第5章 等可能条件下的概率 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．有一组数据：6，2，4，5，7，这组数据的极差为（　　） A．1 B．5 C．3 D．2 2．小明统计了本班40名学生暑假的阅读量，绘制了一幅条形统计图（如图）．    则该班学生阅读量的中位数是（   ） A．12本 B．10本 C．5本 D．4本 3．中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好是《周髀算经》的概率为（     ） A． B． C． D． 4．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 5．如图为某城市月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（　　） A．这个月空气质量指数的最大值为 B．中位数为 C．数据在箱体的右侧比较集中 D．第一四分位数为 6．在一个网约车平台上，某时段共有40辆在线接单的车辆，分为新能源车和燃油车，车辆外观、接单优先级等其他条件完全相同．乘客通过多次打车体验后发现，打到新能源车的频率稳定在附近，则该平台这40辆在线车辆中，新能源车辆约有（     ）辆 A．7 B．12 C．16 D．28 7．某校“魅力篮球节”活动中，有8位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为6，5，4，7，6，10，9，8．则这8位同学投篮进球次数的上四分位数为（   ） A．5.5次 B．6次 C．8.5次 D．9次 8．小赵、小钱、小孙、小李四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字一定含有1的是（　　） A．小赵选出四个数字的方差等于4.25 B．小钱选出四个数字的中位数是4 C．小孙选出四个数字的平均数等于4 D．小李选出四个数字的极差等于4 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．有一组数据：（为常数），这组数据的方差为________． 10．下表是学校藤球队中四名同学成绩的平均数及方差，若要从这四名队员中，选择一名成绩好且状态稳定的选手代表学校参加市藤球赛，应选择___________． 甲 乙 丙 丁 /分 11．一个不透明的纸箱中装有白色、黄色乒乓球共50个，这些球除颜色外都相同．经过多次摸球试验（记录颜色后放回）发现：从中任意摸出一个球，摸到黄球的频率稳定在0.3附近，估计纸箱中的黄球共有_____个． 12．如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为________． 13．某地4家企业在今年第一季度的产值(单位：亿元)分别为8，10，6，7．若按照组内离差平方和最小的原则，把这 4 家企业今年第一季度的产值分为两组，则组内离差平方和的最小值是____________． 14．某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______． 甲 乙 15．容器中有A，B，C，3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论： ①最后一颗粒子可能是A粒子；       ②最后一颗粒子一定是C粒子 ③最后一颗粒子一定不是B粒子；    ④以上都不正确 其中正确结论的序号是_____________．（写出所有正确结论的序号） 16．有一组被墨水污染的数据：4，7，6，9，，3，11，7，这组数据的箱线图如图所示，则被污染的数据是________． 三、解答题（共68分） 17．某厂家打算从甲乙两家快递公司中选择一家进行合作．厂家邀请了10位用户对两家快递公司进行满意度打分，甲、乙两家公司的得分折线统计图如图： (1)根据以上信息，填空： 公司 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 8 ①_____ 1 乙 ②_____ 8 ③_____ (2)如果你是厂家经理，你认为选哪一家快递公司更好？为什么？ 18．北京时间8月5日分，巴黎奥运射击男子25米手枪速射决赛正式开始，中国选手李越宏40枪得到32分，领先第二名7分，拿到金牌，在连续两届奥运会获得铜牌后，终于圆梦，这也是中国射击本届奥运会的第五枚金牌，也是中国代表团的第20枚金牌，比赛分为8轮，每轮5枪，9.7环以上视为命中，命中1枪得1分．李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分 (1)李越宏的8轮成绩的众数为 ； (2)求李越宏8轮得分的方差． 19．为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表． 组别 身高（cm） A B C D E 根据图表中信息，回答下列问题： (1)在样本中，男生身高的中位数落在 组（填组别序号），女生身高在B组的人数有 人； (2)在样本中，身高在之间的人数共有 人，身高人数最多的在 组（填组别序号）； (3)已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在之间的学生约有多少人？ 20．射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） 甲：8，8，7，8，9    乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 C 3.2 根据以上信息，解答下面的问题： (1)_____；_____；_____； (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？ (3)若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由． 21．九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有、，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（、）；生成其他物质的变化叫作化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是_____； (2)从两个口袋中分别随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 22．数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． (1)抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ； (2)同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 23．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 24．某校为了解学生对体育运动的了解程度，组织七、八年级全体学生进行了相关的知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下． 【收集数据】从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级学生的分数如下：75，90，35，60，85，85，95，100，80，85，80，85，90，75，65，60，80，100，70，75． 【整理、描述数据】将抽取的七、八年级学生的竞赛成绩x（分）分组整理如表所示： 分数/分 七年级人数 2 3 6 5 4 八年级人数 1 3 a 7 5 【分析数据】七、八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 下四分位数/分 上四分位数/分 七年级 78.5 75 84 71 86 八年级 78.5 根据以上提供的信息，解答下列问题． (1)填空：________，________，________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在相关知识竞赛中，哪个年级学生对体育运动的了解程度更高？请分别就中位数、众数、四分位数等角度进行分析； (3)已知该校七、八年级各有800名学生，为表扬在这次竞赛中表现优异的学生，该校决定给两个年级竞赛成绩在80分及以上的学生颁发奖状，请估计该校需要准备多少张奖状？ 25．某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取名学生，统计竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 甲班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，． 乙班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，． 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 甲班 乙班 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 和 乙班 和 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，______； (2)请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； (3)按照比赛规定分及以上可以获得奖品，若甲、乙两班学生共人，其中甲班生人，请估计这两个班级可以获得奖品的总人数． 26．【背景介绍】箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1所示，箱线图中最下端和最上端的竖直线段分别表示数据的最小和最大值；箱体的下端横线表示下四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，即前半部分数据的中位数）；箱体中部的横线表示中位数；箱体的上端横线表示上四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，后半部分数据的中位数）；箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】为了备考体育中考，某校九年级A、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）．其中体育老师已对A班小组同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图（如图2）．B班小组同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班小组同学的箱线图，问A班小组同学跳绳个数的平均数是_______，四分位距是_______． (2)根据B班小组同学的跳绳个数，请在图中补全B班小组同学跳绳个数的箱线图，并标出B班小组同学跳绳个数的平均数，及两端极值点． (3)已知A班小组同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404，______，_____，______，397，396，缺失了其中的三个数据，请根据箱线图将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班小组同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $