综合与实践 最短路径问题-【教材笔记】2026-2027学年八年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

综合与实践 最短路径问题 日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题抽象为 几何问题后，常常是求线段和的最小值问题.在前面的学习中，我们知道，“两 点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短” 等，接下来我们对最短路径问题进行探究. 活动目标 会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题；会用数学知识、思想、方法描 述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题；会通过逻辑推理解决数学问 题；会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案. 活动准备 1.查阅资料，列举生活中的最短路径问题. 2.了解光行最速原理：光线所行进的“光程”最短，即光行进的时间最短· 活动任务 活动一牧民饮马问题 任务1如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边1饮马，然后到B 地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ B 图1 图2 提示：从数学的角度看，如果把河边1近似地看成一条直线，问题就是要在 直线1上找一点C,使AC与CB的和最小（图2）将实际问题转化为裁字问题 94教材笔记数学八年级上册RJ (1)如果点A,B是直线1异侧的两个点，如何在1上找一点C,使AC与 〉依据是“两点之间，线段最短” CB的和最小（图3）？ (1)如图3所示，连接AB,交直线1于点C,则点C即为所求： B B 图3 图4 少利用轴对称把同侧转化为异侧 (2)在任务1中，点A,B在直线1的同侧，你能利用轴对称，把这个问题 转化为(1)中的问题吗（参考图4）？(2)如图4所示，作点B关于直线1的对称点B, 连接AB,交直线I于点C,则点C即为所求： 任务2证明你在任务1中得到的结论， 提示：设点C为河边I上使AC+CB最小的点，在I上另外任取一点C,证 明AC+CB<AC'+CB. 任务3举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决. 活动二牧民饮马问题的拓展 分别作点A关于草地边、河边所在直线的对称点A1,A2,连接A,A2,分别交草地边 河边于点B,C.连接AB,AC,此时路径最短，最短路径为AA2的长←、 任务1如图5，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 最后回到A处.牧民怎样走可使所走的路径最短？ 草地 草地 河 草地 A 河 B 生活区 图5 图6 图7 作点A关于草地边所在直线的对称点A,作点B关于河边所在直线的对称点B, 连接AB1,分别交草地边、河边于点C,D.连接AC,AB,BD,此时路径最短 最短路径为AB,的长 任务2如图6，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短？ 任务3如图7，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处牧 马，再到河边C处饮马，然后回到A处.如何确定A,B,C的位置，使从A处 综合与实践最短路径问题95 出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短？略 任务4举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决。 活动三造桥选址问题 任务1如图8，A,B两地在一条河的两岸， 现要在河上造一座桥N.桥造在何处可使从A到 B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直.) 提示：可以把河的两岸看成两条平行线，由 图8 于河宽固定，所以可以考虑将点A(或B)按与河岸垂直的方向平移河宽的距离， 使问题转化为可以利用“两点之间，线段最短”解决的问题. 任务2举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决， 点拔：“造桥选址”问题的实质就是要通过平移变换，按与河垂直 活动过程 的方向平移桥，使除桥外的其他路线经平移后在一条直线上· 1.组建合作团队 本次综合与实践活动需要团队协作.在班级中组成5~8人一组的研究小组， 每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人· 2.方案构思 小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案， 3.方案实施 按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务.根据规划 的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告. 4.展示交流 制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，分 享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足. 活动评价 通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成 表、表现评分表、自我反思表等进行评价，与老师和全班同学一起，通过质疑、 辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价和教师 评价，完成本次综合与实践活动. 96教材笔记数学八年级上册RJ