第十四章 全等三角形 章末优化试题 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第14章 全等三角形 章末优化试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 3．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 4．如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 7．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 10．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 二、填空题 11．下列几种说法 ①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．⑤三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．其中正确的是 _____________． 12．如图，在的方格纸中，__________ ． 13．如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 14．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 15．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 16．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 三、解答题 17．如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 18．如图，乐童游乐场有一个两层型滑梯，小辰想知道滑梯的长度，工作人员说滑梯的长度没有测量过，但告诉了小辰以下信息：在该滑梯中，，，，，滑梯的长度为． (1)请你根据工作人员给出的信息，帮小辰求出滑梯的长度； (2)两个滑梯和互相垂直吗，为什么？ 19．【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 20．如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），设点的运动时间为秒： (1) ； ．（用含有的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 21．综合与实践： (1)【基础巩固】如图①，已知与相交于点，．是的中点，求证：． (2)【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点，分别作于点，于点，若．当时，求的长． (3)【拓展探究】如图③，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由． 22．如图，的外角的角平分线与内角的角平分线交于点E，点F在边的延长线上，的延长线交边的延长线于点D，过点E作于点H． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，，，且，求的面积． 23．如图，在中，，．D是直线上任意一点，连接，过点C作，且，过点E作，垂足为F，连接，分别交，于点M，N． (1)如图1，当点D在线段上时，与相等吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，若，． ①的长度为________； ②设的面积为，四边形的面积为，则的值为________； (3)如图2，当点D在线段的延长线上时，点M是线段的中点吗？说明理由． 24．综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 25．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A D A C B D B 1．B 本题考查了两个图形的全等：能够完全重合的两个图形；根据此概念进行判断即可． 解：由题意知，选项A、C、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项B中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：B． 2．C 解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 3．D 先作，再根据角平分线的性质定理解答即可． 解：过点D作，交于点E， ∵平分，， ∴， 所以点D到的距离是3． 4．A 根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，再求出，然后利用全等三角形的性质求即可． 解：∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．D 根据中线和已知条件，利用证明，推出，根据三角形内角和定理和等量代换即可求出度数． 解：为边上的中线， ． ，， （）， ． ， ， ． 6．A 过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，然后将四边形的面积转化为与的面积之和进行计算即可． 解：如图，过点作交的延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 7．C 根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 8．B 先求出，再证出，则，由此即可得． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 9．D 本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即可得出答案． 解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处． 10．B 利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 11．①④⑤ 结合全等三角形的性质与三角形面积的相关知识，逐个判断每个说法的正误即可． 解：①全等三角形的对应边相等，符合全等三角形的性质，说法正确； ②面积相等的两个三角形不一定全等，例如底为高为和底为高为的三角形，面积相等但形状不同，不全等，说法错误； ③周长相等的两个三角形不一定全等，例如三边长为和的三角形周长相等，但形状不同，不全等，说法错误； ④全等三角形可以完全重合，因此全等的两个三角形的面积相等，说法正确； ⑤三角形的中线把对边分为长度相等的两段，分成的两个小三角形等底同高，因此面积相等，说法正确． 综上，正确的说法是①④⑤． 12． 取格点、、、、，证明，则，结合可得，． 解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 13． 根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 14． 3 根据垂直的定义得到，利用同角的余角相等证明，结合利用证明，根据全等三角形对应边相等得到，结合线段的和差关系计算即可． 解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 15． 延长交于点，根据角平分线的定义和垂直的定义，利用证明，从而得到，即为的中点，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得的面积等于面积的一半； 解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 16．3 根据题意得和，过点作于点，过点作于点，根据角平分线得，则有，结合，解得，即可得． 解：∵是中线，， ∴， ∵的面积为8， ∴， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 则， ∵， ∴， 则． 17．(1)证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)12 （1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，求出和的面积，即可求解． （1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．(1) (2)解：． 理由：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． （1）∵，则 ∴ 在和中， ， ∴， ∴， （2）略 19．(1)，理由如下： ∵， ∴ ，∴， 在和中，， ∴， ∴． (2) （1）利用证明三角形全等，即可得到与的数量关系； （2）由全等三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，求出，根据平角的定义，即可求出． （1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， 在和中，，， ∴ ∴． 20．(1)， (2) (3)存在，或 （1）利用路程速度时间得到，再用等量关系求出； （2）长方形中、，依据全等条件令列式求出t； （3）因为，分和两种全等对应情况分别列方程算出t，再由求出x． （1）解：由题意得运动秒，点运动， ，； （2）解：四边形是长方形， ，， 要使，则有，即，解得， 在和中， ， 当时，； （3）解：分以下两种情况： ①当时，，解得， ，， 要使与全等，则有， ， 在和中， ， 当时，； ②当时，，解得， ， 要使与全等，则有， ， 在和中， ， 当时，． 21．(1)证明：∵是的中点， ∴, 在和中， ， ∴； (2) (3)若测量出，则河流，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴若测量出，则河流． （1）利用证明即可； （2）在（1）的条件下，，，得到，利用面积相等得到高相等，即，再证明，得到，最后根据计算即可； （3）先证明，得到，，再证明，得到，则，即可得到． （1）略 （2）解：在（1）的条件下，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 22．(1) 证明：如图，过点作于点，作于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， 又点在的内部， 平分； (2) (3)26 本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （2）由为的角平分线，为的角平分线，可得，，再由，，可得，，再求解即可； （3）设，再根据求得，再利用三角形的面积公式可得答案． （1）略 （2）解：是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ，， ． （3）解：由（1）已得：， 设， ， ， ， ， ． 23．(1)解：，理由如下： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)①2；②6 (3)解：点M是线段的中点，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点M是线段的中点． （1）证明，即可得到； （2）①由全等三角形的性质得到，则可得到，，证明，即可得到；②证明，得到，则可证明，进而得到，据此根据三角形的面积公式求解即可； （3）先证明，得到，再证明，即可得到． （1）略 （2）解：①由（1）得，， ∴； ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②由（2）①得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）略 24．(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) （1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． （1）解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 25．(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． （1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． （1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 学科网（北京）股份有限公司 $