13.3 三角形的内角与外角-【教材笔记】2026-2027学年八年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

13.3三角形的内角与外角 新知解读， 与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素.本节我们学习三角形的三个 内角之间的关系，并进一步学习其他与三角形有关的角· 13.3.1三角形的内角 在小学，通过度量或剪拼，我们已经知道三角形的内角和等于180°，这样 的方法获得的结论可靠吗？ 由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人 信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有 三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形 的内角和等于180°.任意一个三角形最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个 锐角.一个三角形中至少有一个角不小于60° Q探究 你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？图 13.3-1给出了两种剪拼的方法.从这个操作过程中，你能发现证明的思 路吗？ (1) (2)》 图13.3-1 在图13.3-1(1)中，将△ABC的∠B和∠C剪下，分别拼在∠A的左右， 三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线1，移动后的∠B和∠C各 有一条边在直线I上.想一想，直线I与△ABC的边BC有什么关系？你能由这 个图想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？ 由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线I平行于△ABC的边 第十三章三角形 11 BC(图13.3-2).由平行线的性质与平角的定义就能 4 证明“三角形的内角和等于180°”这个结论 已知：△ABC(图13.3-2) 求证：∠A+∠B+∠C=180°. BA2 3△C 证明：如图13.3-2，过点A作直线1，使1∥BC 图13.3-2 .1∥BC, )作辅助线 .∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）. 同理∠3=∠5. :∠1，∠4，∠5组成平角， .∠1+∠4+∠5=180°（平角定义）. .∠1+∠2+∠3=180°（等量代换) 由图13.3-1（2)， 以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都 你能给出这个定理的其 等于180°，得到如下三角形的内角和定理： 他证法吗？ 三角形的内角和等于1800：)适用于任意 一个三角形 例1如图13.3-3，在△ABC中，∠BAC= 40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求 D ∠ADB的度数. 解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分 线，得 】三角形角平分线的定义 图13.3-3 ∠BAD=1∠BAC=20°. 在△ABD中， 》三角形的内角和定理 ∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°. 例2图13.3-4是A,B,C三岛的平面图， CAD-50°← .->∠BAD=80° 北 C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏 AE 东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B 岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛 看A,B两岛的视角∠ACB呢？ ∠CBE=40° 图13.3-4 分析：A,B,C三岛的连线构成△ABC,所求 的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB. 12 教材笔记数学八年级上册BJ 解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. 由AD∥BE,得 ∠BAD+∠ABE=180° 所以 ∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°， 你还能给出其他解 ∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°. 法吗？ 在△ABC中，》三角形的内角和定理 ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB =180°-60°-30°=90° 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A,B两岛的视角 ∠ACB是90°. 练习 1.如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角 ∠CBD=45°.从C处观测A,B两处的视角∠ACB是多少度？15. B D B （第1题) （第2题)》 2.如图，在△ABC中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度数.280° 利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系. 如图13.3-5，在直角三角形ABC中，∠C=90°， A 锐角 由三角形的内角和定理，得 斜边 ∠A+∠B+∠C=180°， 即 锐角 边 ∠A+∠B+90°=180°， A1 B 所以 图13.3-5 第十三章三角形 13 ∠A+∠B=90° →依据是“三角形的内角和定理” 也就是说，直角三角形的两个锐角互余， 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成 R△BC安是用重药我香形的之的大写字车不花车 例3如图13.3-6，∠C=∠D=90°，AD,BC相交于点E.比较∠CAE与 ∠DBE的大小. 解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90°-∠AEC 在Rt△BDE中，3直角三角形的性质 ∠DBE=90°-∠BED 图13.3-6 ,·∠AEC=∠BED,直角三角形的性质与判定的区别与联系 (1)区别：性质中直角三角形是条件，两个锐角的关系是结论： ∴.∠CAE=∠DBE. 判定中两个锐角的关系是条件，直角三角形是结论： (2)联系：依据都是“三角形的内角和定理”， 思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互 余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由 由三角形的内角和定理可得（请你自己完成证明）： 有两个角互余的三角形是直角三角形， 练习 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.∠ACD与∠B有 什么关系？为什么？1.∠ACD=∠B.理由如下：CD⊥AB,∠ADC=90° .∠ACD=90°-∠A.又∠ACB=90°，.∠B=90°-∠A ∴.∠ACD=∠B. A （第1题) （第2题) 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D,E分别在边AB,AC上，且∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？2.是，理由略，提示：有两个角互余 的三角形是直角三角形 14 教材笔记数学八年级上册RJ 13.3.2三角形的外角 如图13.3-7，把△ABC的一边BC延长，得 到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长 线组成的角，叫作三角形的外角。嘴架官 B D 注意：三角形的外角是相树对于一个三角形 图13.3-7 思考 来说的，一个角对一个三角形来说是外角 而对另一个三角形来说可能是内角 如图13.3-8，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的 个外角.能由∠A,∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A,∠B有什么 关系？ 任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 三角形的每一个顶点处有两个外角 它们互为对顶角.一个三角形共有6 个外角.在每个顶点处各取一个外角 709 则三角形的外角和为360° 60 B D 图13.3-8 般地，由三角形的内角和定理可以推出下面 0 的推论（请你自己完成证明）： 推论是由定理直接推 出的结论.和定理一样， 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 推论可以作为进一步推理 例4如图13.3-9，∠BAE,∠CBF,∠ACD是 的依据 △ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和，得 〉三角形外角的性质 ∠BAE=∠2+∠3， ∠CBF=∠1+∠3， D ∠ACD=∠1+∠2. 所以 图13.3-9 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3). 由∠1+∠2+∠3=180°，得 你还能给出其他解 法吗？ ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°. 第十三章三角形 15 练习 说出下列各图形中∠1和∠2的度数： ∠1=40°，6 ∠1=50° 809 ∠1=110° 22 ∠2=70°. ∠2=140°. ∠2=140° 40 ∠60° 1 2 30 2∠40° (1) （2) (3) E ∠1=55° ∠1=80° ∠2=70°.< 70° ∠2-40°. 60° ∠1=-60° ∠2=30°. 61 140° 2A人1 CE平分LACD 60° 202 30° 1 (4) ∠I=∠ACD (5) (6) 习题13.3/ 复习巩固 1.求出下列各图形中x的值：1.(1)33.(2)60.(3)54.(4)60. 2 39 108° o x-36) (x+36)° (1) (2) (3) (4) (第1题) >1个 2.（1)一个三角形最多有几个直角？为什么？2.理由略. (2)一个三角形最多有几个钝角？为什么？ (3)直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？ 3.在△ABC中，∠B比∠A大10°，∠C比∠B大10° 求△ABC各内角的度数.3.∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°. 2 h65% 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,∠1=∠2， B D C ∠ADB=90° ∠C=65°.求∠BAC的度数.4.70°. (第4题) 16 教材笔记数学八年级上册RJ 综合运用 5.如图，AB∥CD,∠A=40°，∠D=45°.求∠1和∠2的度数. ∠1=∠AK .>40° -285°. D<J45 A45 E A540° B C (第5题) (第6题) ∠DOE=∠A← >22.5° 6.如图，AB∥CD,AE与CD相交于点O,∠A=45°，∠C=∠E.求∠C的度数. 7.如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在 B处的北偏东80°方向.求∠ACB的度数， 7.85°.提示：先求∠ABC=80°-45°=35°，再求∠ACB=180°-35°-45°-15°=85°. 南 x9 (第7题) (第8题) (第9题) 8.如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC上一点，BE,CD相交于 点F,∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°.求∠BDC和∠BFD的度数. >639 9.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠1=∠2，∠3=∠4.求x的值. 9.140.提示，由∠A=100°，得∠ABC+∠ACB=80°.由∠1=∠2，∠3=∠4，得∠2+∠4=40°. 所以x=180-40=140. 拓广探索 10.如图，AB∥CD,∠BAE=∠DCE=45°.填空： B D45 AB∥CD, .∠1+45°+∠2+45°=180° X45 .∠1+∠2= 90° D .∠E=90° （第10题) ->∠ACE=∠ECD 11.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交 BA的延长线于点E.求证∠BAC=∠B+2∠E, 11.略.提示：利用三角形的外角的性质证明∠B+∠E=∠ECD ∠E+∠ACE=∠BAC. B C D (第11题) 第十三章三角形 17 阅读与思考 为什么要证明 李明：我们观察任意一个三角形，量出它的每个内角，都能得出它的内 角和等于180°，为什么还要证明这个结论呢？ 刘老师：通过观察、试验等可以寻找规律，但是由于观察可能有误差， 试验可能受干扰，考察对象可能不具有一般性等原因，一般来说，由观察、 试验等所产生的“结论”未必正确.例如，让一个班的学生每人任意画一个三 角形，再量出它的每个内角，计算三个内角的和，得到的结果未必全是180°， 可能有的会比180°大一些，有的会比180°小一些：→测量会产生溪差 李明：如果观察细致，仪器精确，不产生误差，还需要证明吗？ 刘老师：仅通过观察、试验等就下结论有时也缺乏说服力.例如，即使 不考虑误差等因素，当上面观察的所有结果全是180°时，人们还会有疑问：“不 同形状的三角形有无数个，我们画出并验证的只是其中有限个，其余三角形 的内角和是多少呢？能对所有的三角形都进行验证吗？”事实上，不管我们 )不具有一般性 经历多长时间，画出多少个三角形，观察、试验的对象也是有限个.因此，要 确认“三角形的内角和等于180°”，就不能仅依靠度量等手段进行验证，而必 须进行推理论证一对于一般的三角形，推出它的三个内角的和等于一个平 角，从而得出“无论三角形的具体形状如何，它的内角和一定等于180”· 李明：现在我明白了，一个数学命题是否正确，需要经过理由充足、使 人信服的推理论证才能得出结论，观察、试验等是发现数学公式、定理的重要 途径，而证明则是确认数学公式、定理的必要步骤 18教材笔记数学八年级上册RJ