精品解析：江苏苏州市姑苏区2025-2026学年第二学期七年级数学期末试题

2025~2026学年第二学期 七年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分100分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 智能运动手环是记录跑步、跳绳、骑行等数据的常用装备．某款智能手环在低功耗全天监测模式下每小时仅消耗千瓦时电量，续航表现十分出色．数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列窗格图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于命题“如果，那么”，若要说明该命题是假命题，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船顺利发射．为弘扬航天精神，某校航天社团拟采购一批航天纪念徽章和纪念摆件．已知每枚航天纪念徽章比每个纪念摆件便宜4元，购买5枚徽章和3个摆件，一共需要108元．设每枚航天纪念徽章为元，每个航天摆件为元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将沿方向平移，得到（点在边上）．若图中阴影部分的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图①，物理学中把过入射点并且垂直于镜面的直线称为法线，入射光线与法线的夹角称为入射角，反射光线与法线的夹角称为反射角．光线经过平面镜反射，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，且反射角等于入射角，即，这就是光的反射定律．如图②，，为两块平面镜，一束光线从点射出，经过平面镜两次反射后经过点，两条光线，相交于点．若两条光线的夹角，则两块平面镜的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：________． 10. 化简：________． 11. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 12. 不等式的最大整数解是________． 13. 拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 14. 已知，，，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 15. 若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是________． 16. 如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 解不等式组：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 按要求在如图所示的网格中完成画图（网格图中每个小正方形的边长均为个单位长度）． （1）画出将向上平移个单位长度，得到； （2）画出将绕点旋转，得到； （3）将沿某直线翻折，点的对应点是点，画出翻折后的． 22. 如图．已知，用直尺和圆规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①在边上作点，使得； ②在边上作点，连接，使得平分的面积． 23. 已知，满足． （1）若，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若，且，求的取值范围． 24. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，计算： ，若，则 ； （2）若，，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 25. 某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量（） 水费（元） 甲户 190 970 乙户 230 1250 （1）求该市每户居民每年用水的基本水价和超过部分的水价． （2）为了响应国家节约用水的号召，乙户居民计划今年水费不超过984元，则该户今年用水量最多为多少？ 26. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第2卷“几何与代数”中，用长方形、正方形面积证明代数恒等式，是无符号代数的几何表达． （1）如图①，边长为的大正方形由4个长为，宽为的长方形和1个边长为小正方形组成，由此可得，与之间的数量关系为 ； （2）如图②，在边长为的大正方形中，阴影部分由长为，宽为的长方形和长为，宽为的长方形部分重叠后组成．将图②中阴影部分平移至图③所示位置，可得图②中空白部分的面积为． 问题：若图②中，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值． 小敏同学的解答过程如下： 解：设，， 根据题意，得，． 根据问题（1）的结论，可得 ． ， ． ．（以上三空均填具体数值） （3）如图④，若图②中，空白部分的面积为144，且正方形与正方形的面积之差为192，求正方形与正方形的面积之和． 27. 综合探究 （1）如图①，将长方形纸片沿和折叠，点，的对应点分别为点，，点，的对应点均为点． ①若，求的度数． ②若，则 °．（用含的代数式表示） （2）如图②，为长方形边上一点，射线从位置出发，绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转；同时射线从位置出发，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，当射线与射线重合时，两条射线同时停止运动．将长方形纸片沿和折叠，点，的对应点分别为点，．设运动的时间为秒，在旋转过程中，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期 七年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分100分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需要运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方的运算法则，分别计算各选项后判断正误即可． 【详解】解：选项A，∵ ，∴ A错误， 选项B，∵ 根据同底数幂乘法法则，，∴ B正确， 选项C，∵ 根据同底数幂除法法则，，∴ C错误， 选项D，∵ 根据积的乘方法则，，∴ D错误． 2. 智能运动手环是记录跑步、跳绳、骑行等数据的常用装备．某款智能手环在低功耗全天监测模式下每小时仅消耗千瓦时电量，续航表现十分出色．数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：数据用科学记数法可表示为． 3. 下列窗格图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故A不符合题意； BC是轴对称图形，不是中心对称图形，故BC不符合题意； D既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意． 4. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐一判断选项即可得到结果． 【详解】A、已知 ，根据不等式的基本性质：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变，，成立； B、已知 ，根据不等式的基本性质：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变，，成立； C、已知 ，根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变， ，不成立； D、已知 ，根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变， ，成立． 5. 对于命题“如果，那么”，若要说明该命题是假命题，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出反例，即找出满足条件，但不满足结论的的值即可． 【详解】解：选项A：，满足，且，符合反例要求； 选项B：，满足，但，满足结论，不符合要求； 选项C：，满足，但，满足结论，不符合要求； 选项D：，不满足，不符合命题条件，不符合要求． 6. 2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船顺利发射．为弘扬航天精神，某校航天社团拟采购一批航天纪念徽章和纪念摆件．已知每枚航天纪念徽章比每个纪念摆件便宜4元，购买5枚徽章和3个摆件，一共需要108元．设每枚航天纪念徽章为元，每个航天摆件为元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的两个等量关系，分别列出方程即可得到正确方程组． 【详解】解：∵设每枚航天纪念徽章为元，每个航天摆件为元，已知每枚航天纪念徽章比每个纪念摆件便宜元， ∴； ∵购买枚徽章和个摆件一共需要元， ∴总花费满足； 因此所列方程组为． 7. 如图，将沿方向平移，得到（点在边上）．若图中阴影部分的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移的性质求解即可. 【详解】解：由平移得，，， 又∵阴影部分的周长为， ∴， 即， ∴的周长. 8. 如图①，物理学中把过入射点并且垂直于镜面的直线称为法线，入射光线与法线的夹角称为入射角，反射光线与法线的夹角称为反射角．光线经过平面镜反射，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，且反射角等于入射角，即，这就是光的反射定律．如图②，，为两块平面镜，一束光线从点射出，经过平面镜两次反射后经过点，两条光线，相交于点．若两条光线的夹角，则两块平面镜的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作垂直；过点作垂直，根据三角形的内角和与入射角与反射角的关系求出的度数，再利用余角的性质求出的度数，最后利用三角形的内角和求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直垂足为点，过点作垂直垂足为点，两个垂线交于点， ， 由题意知：， ∵在中，， 则， ∴， 即， 又， ∴， 在中，． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】按照乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：． 10. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解：    11. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 12. 不等式的最大整数解是________． 【答案】 【解析】 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再根据解集确定最大整数解即可． 【详解】解：，移项，得 ，合并同类项，得 ， 因此不等式的最大整数解是． 13. 拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的，  ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为，  ∴ 旋转角为，  ∴ 旋转角 ． 14. 已知，，，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】是正整数． 【详解】，，， ， ． 15. 若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程组的两个方程相加，整理得到关于的表达式，再结合得到关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 得 等式两边同除以3得 ∵ ∴ 解得 16. 如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分情况讨论，即或时，列方程即可解答． 【详解】解：当时， 可得厘米， ， 解得； 当时， 可得厘米， ， 解得； 综上，的值为或． 三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】 ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组．利用加减消元法进行解答即可． 【详解】解： ②，得③， ①＋③，得，解得， 把代入②，得， 方程组的解是 19. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式组的求解，掌握不等式的组的计算方法，取值方法是关键． 根据不等式的性质求解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 21. 按要求在如图所示的网格中完成画图（网格图中每个小正方形的边长均为个单位长度）． （1）画出将向上平移个单位长度，得到； （2）画出将绕点旋转，得到； （3）将沿某直线翻折，点的对应点是点，画出翻折后的． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，根据平移的性质，轴对称的性质，旋转的性质正确画出图形是解题的关键． （）利用平移的性质作图即可； （）利用旋转的性质作图即可； （）利用轴对称的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 22. 如图．已知，用直尺和圆规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①在边上作点，使得； ②在边上作点，连接，使得平分的面积． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． ①作的平分线交于点E，点E即为所求； ②作线段的垂直平分线交于点F，点F即为所求． 【详解】解：如图： ①点E即为所求； ②点F即为所求． 23. 已知，满足． （1）若，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若，且，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据已知等式用表示，再结合得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围； （2）联立两个等式，用表示，再结合的已知范围得到关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【小问1详解】 ， ， ， ， 移项得， 系数化为1得． 【小问2详解】 联立方程组得， 两式相加得， 解得， 由（1）得， ， 由①得； 由②得； 所以的取值范围是． 24. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，计算： ，若，则 ； （2）若，，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由如下： ，，， ，，， ， ， ， ， 【解析】 【分析】（1）根据题干中的定义即可解答； （2）根据题意可得，，，则，再根据幂的乘方的逆用即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得； ，即， 【小问2详解】 略 25. 某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量（） 水费（元） 甲户 190 970 乙户 230 1250 （1）求该市每户居民每年用水的基本水价和超过部分的水价． （2）为了响应国家节约用水的号召，乙户居民计划今年水费不超过984元，则该户今年用水量最多为多少？ 【答案】（1）基本水价为元/，超过部分的水价为元/ （2） 【解析】 【分析】（1）设基本水费价格为x元/立方米，超过的部分的水费价格为y元/立方米，列出方程组求解即可； （2）先判断乙户居民今年用水量大于，设乙户居民今年的用水量为m立方米，依题意，得，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：设基本水价为x元，超过水价为y元，依题意，得 ， 解得， 答：基本水价为5元，超过水价为7元． 【小问2详解】 解：∵，， ∴乙户居民今年用水量大于， 设乙户居民今年的用水量为m立方米，依题意，得 ， 解得． 答：乙户居民今年的用水量最多为立方米． 26. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第2卷“几何与代数”中，用长方形、正方形面积证明代数恒等式，是无符号代数的几何表达． （1）如图①，边长为的大正方形由4个长为，宽为的长方形和1个边长为小正方形组成，由此可得，与之间的数量关系为 ； （2）如图②，在边长为的大正方形中，阴影部分由长为，宽为的长方形和长为，宽为的长方形部分重叠后组成．将图②中阴影部分平移至图③所示位置，可得图②中空白部分的面积为． 问题：若图②中，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值． 小敏同学的解答过程如下： 解：设，， 根据题意，得，． 根据问题（1）的结论，可得 ． ， ． ．（以上三空均填具体数值） （3）如图④，若图②中，空白部分的面积为144，且正方形与正方形的面积之差为192，求正方形与正方形的面积之和． 【答案】（1） （2）；14；11 （3）200 【解析】 【分析】（1）根据：大正方形的面积等于小正方形的面积加4个小长方形的面积，即可得到三者的关系； （2）读懂计算过程即可完成； （3）由题意得，由此可求得的值，解方程组即可． 【小问1详解】 解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，一个小长方形的面积为， ∵大正方形的面积等于小正方形的面积加4个小长方形的面积， ∴； 【小问2详解】 解：根据问题（1）的结论，可得． ， ． ； 【小问3详解】 解：由题意得：， ∵由图形性质可知， 则， ∴， 解方程组，得， ∴， 即正方形与正方形的面积之和为200． 27. 综合探究 （1）如图①，将长方形纸片沿和折叠，点，的对应点分别为点，，点，的对应点均为点． ①若，求的度数． ②若，则 °．（用含的代数式表示） （2）如图②，为长方形边上一点，射线从位置出发，绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转；同时射线从位置出发，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，当射线与射线重合时，两条射线同时停止运动．将长方形纸片沿和折叠，点，的对应点分别为点，．设运动的时间为秒，在旋转过程中，当时，求的值． 【答案】（1）①；② （2）20或36 【解析】 【分析】（1）①由平行线的性质及折叠的性质即可求解； ②与①同理得，由①知，利用已知条件及三角形内角和即可求解； （2）由题意得，由折叠的性质及图形可表示出，分两种情况，建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：①∵长方形纸片， ∴， ∴，， 设， 则，， 由折叠知， ∵，， ∴； ②∵四边形折叠得到四边形， 与①同理得， 由①知， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得， 由折叠知， 则， ∴， ， ∵， ∴， 解得． 当重合后，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即此时重合， ∴， 即， 解得； 综上，t的值为20或36． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $