（新知抢先）第7讲 工程问题【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年苏教版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年苏教版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 第7讲 工程问题 【知识清单+新知避坑+预习达标练】 一、工程问题的意义。 1、工程问题是分数应用题的一种,它研究的是工作总量、工作效率与工作时间三者之间的关系。 2、当工程问题和分数应用题结合在一起时,通常工作总量不是具体的数量,而是用“1”来表示;相应的工作效率也不是具体数量,而是工作时间的倒数。理解与掌握这个要点，是用分数乘除法解决工程问题的关键。 二、工程问题的基本数量关系。 1、基本数量关系 工作时间×工作效率=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 1、把工作总量设为单位“1”的前提是工程未给出具体总量，有明确数值的工程不能随意硬套单位“1”假设。 2、单人的工作效率是单位时间内完成的工作量，不能把总工期直接等同于工作效率。 3、多人合作的总效率是各单人效率的和，不能直接把总工期除以人数乱算合作效率。 4、求解完成时间后反向验算，总时间乘总效率得到的结果要和预设的工作总量完全相等。 5、列工程问题算式时所有参与工作的主体效率都要纳入运算，不能遗漏某一参与方的工作量。 6、标注工作效率时要明确对应单位时间，避免出现效率和时间维度的单位错配。 7、遇到中途停工的分段工程问题，要拆分不同阶段的工作量分别计算，不能直接用总效率硬算全周期。 8、同一工程问题的工作总量基准必须完全统一，不能前半段用具体数值后半段切换为单位“1”。 9、解决工程问题要先梳理各阶段的工作量分配逻辑，不能直接硬套行程问题的路程公式乱算结果。 10、只有符合“工作总量、效率、时间”三要素的场景才适配工程问题解法，非工程类的普通分配问题不能随意套用单位“1”的解题规则。 一、选择题 1．一项工程，甲工程队单独修需要8天完成，乙工程队单独修需要10天完成。甲、乙两工程队合修，要完成这项工程的，需要（    ）天。 A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】把工作总量看作单位“1”，利用工作总量÷工作时间＝工作效率，完成的工作总量÷合作的工作效率＝工作时间，据此解答。 【解答】甲队工作效率：1÷8 乙队工作效率：1 ） ＝ ＝4（天） 甲、乙两工程队合修，要完成这项工程的，需要4天。 2．某工厂接到一批订单，甲队单独加工需要6天完成，乙队单独加工需要10天完成，为了提高加工效率，由甲、乙两队合作完成这批订单，（    ）天可以完成这批订单的。 A． B．3 C． D．8 【答案】B 【分析】把这批订单的工作量看作单位“1”。根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别算出甲队和乙队的工作效率。再根据工作时间＝工作量÷工作效率之和解决。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝（天） 3天可以完成这批订单的。 3．修一条800m长的水管，甲队单独修需要10天，乙队单独修需要15天，如果两队合修，几天完成总工作量的？下面算式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把修这条水管的总工作量看作单位“1”，运用工作总量÷工作时间＝工作效率，完成的工作量÷工作效率和＝工作时间。 【解答】1÷10＝ 1÷15＝ ） ＝3（天） 4．在下面四个实际问题中，不能用“”解决的是（    ）。 A．修一条路，甲队单独修4天完成，乙队单独修6天完成，甲、乙两队合作，几天修完？ B．小明和爷爷在300米的环形步道上散步，小明走一圈要4分钟，爷爷走一圈要6分钟，如果两个人同时同地出发，背向而行，几分钟相遇？ C．要制作30朵绢花，小红每小时制作4朵，小丽每小时制作6朵，两人合作多少小时可以做完？ D．生产一批零件，师傅单独做4小时完成，徒弟单独做6小时完成，师徒二人合作，需要多少小时完成？ 【答案】C 【分析】A．先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出甲队的工作效率和乙队的工作效率，两队合作需要的天数＝工作总量÷（甲队的工作效率＋乙队的工作效率）； B．先根据“速度＝路程÷时间”表示出小明的速度和爷爷的速度，两人的相遇时间＝总路程÷（小明的速度＋爷爷的速度）； C．两人合作需要的时间＝工作总量÷（小红的工作效率＋小丽的工作效率）； D．先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出师傅的工作效率和徒弟的工作效率，两人合作需要的小时数＝工作总量÷（师傅的工作效率＋徒弟的工作效率）。 【解答】A．假设工作总量为1，甲队的工作效率为1÷4＝，乙队的工作效率为1÷6＝，两队合作需要的天数为； B．假设环形步道一圈的路程为1，小明的速度为1÷4＝，爷爷的速度为1÷6＝，两人的相遇时间为； C．分析可知，两人合作需要的小时数为； D．假设工作总量为1，师傅的工作效率为1÷4＝，徒弟的工作效率为1÷6＝，两人合作需要的小时数为。 不能用“”解决的是要制作30朵绢花，小红每小时制作4朵，小丽每小时制作6朵，两人合作多少小时可以做完？ 5．某工程甲公司单独做需20天完成，乙公司单独做需30天完成，两队合作（    ）完成。 A．50天 B．25天 C．12天 D．10天 【答案】C 【分析】把工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲乙两队的工作效率，相加求出合作效率；再根据“合作时间＝工作总量÷合作效率”，即可求出两队合作完成需要的时间。 【解答】1÷20＝ 1÷30＝ 1÷（＋） ＝1÷ ＝1×12 ＝12（天） 所以两队合作12天完成。 二、填空题 6．做一项工作，小华单独做小时完成，小明单独做小时完成。如果两人合做，（ ）小时完成。 【答案】 【分析】把这项工作的总量看成单位“1”，小华的工作效率就是，小明的工作效率就是，合作的工作效率是2＋3，用工作量除以工作效率就是工作时间。 【解答】1÷＝2 1÷＝3 1÷（2＋3） ＝1÷5 ＝（小时） 7．修一条公路，甲队要12天完成；乙队要15天可以完成。现在让甲、乙两队合修，应修（ ）天。 【答案】 【分析】把公路的长度看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间分别求出甲队、乙队的工作效率；再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以甲队与乙队的工作效率和，即可解答。 【解答】甲队工作效率：1÷12＝；乙队工作效率：1÷15＝。 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 8．某农场使用编号为①、②、③的三个智能灌溉管道为植物生长池注水。已知所开的管道号与灌满生长池的时间如下表所示，若3个管道齐开，（ ）小时可把生长池灌满。 管道号 ①② ②③ ①③ 时间（小时） 6 6 9 【答案】 【分析】把灌满生长池的总工作量看作单位“1”，先根据“工作总量÷工作时间＝工作效率”求出每两组管道的效率和，即①②两个管道的效率和是，②③两个管道的效率和是，①③两个管道的效率和是，3个管道的效率和是（＋＋）÷2（每个管道重复计算两次），最后用“总工作量÷3个管道的效率和”得到总时间，问题得解。 【解答】 （＋＋）÷2 ＝（＋＋）÷2 ＝÷2 ＝ ＝ （小时） 若3个管道齐开，小时可把生长池灌满。 9．珠海大道正在修建高架桥，甲工程队单独完成需要8个月，乙工程队单独完成需要10个月。两个工程队合作2个月后，一共完成了这项工作的；甲工程队因故不能继续工作，剩下的任务由乙工程队独自完成，乙工程队还需要（    ）个月能完成任务。 【答案】； 【分析】将这项工作看作单位“1”，合作完成的量＝效率和×合作时间，用单位“1”减去合作完成的量求出剩下的量，再根据时间＝总量÷效率，用剩下的量除以乙工程队的效率求出还需要的时间。 【解答】甲工程队的效率： 乙工程队的效率： 两个工程队合作2个月后，一共完成了这项工作的。 （月） 乙工程队还需要个月能完成任务。 10．两支抗日游击队合修一条隐蔽交通线，甲队单独修需12天，乙队每天可以修这条交通线的。两队合修每天完成这条交通线的（ ），（ ）天可以修完。 【答案】 8 【分析】把修这条交通线的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，求出甲队的工作效率；把甲、乙两队的工作效率相加即是两队合修每天完成这条交通线的几分之几；再根据“合作工时＝工作总量÷合作工效”，求出两队合修完成的天数。 【解答】甲队的工作效率：1÷12＝ ＋ ＝＋ ＝ 1÷ ＝1×8 ＝8（天） 两队合修每天完成这条交通线的，8天可以修完。 三、解答题 11．修一段900米长的公路，甲工程队单独修需要10天完成，乙工程队单独修需要15天完成。为赶工期，现在两个工程队合作，几天能修完这段公路？ 【答案】6天 【分析】甲工程队的工作效率是，乙工程队的工作效率是，用工作总量“1”除以他们的工作效率之和即可解答此题。 【解答】1÷（＋） ＝1÷ ＝1×6 ＝6（天） 答：6天能修完这段公路。 12．打印一份稿件，小王单独打印需要10分钟，小李单独打印需要15分钟，现在两人一起打印，中途小王因病休息了一会儿，这样打印完稿件一共用了9分钟，小王休息了几分钟？ 【答案】5分钟 【分析】把这份稿件的工作总量看作单位“1”。根据工作效率工作总量工作时间，分别求出小王和小李的工作效率。因为小李一直在工作，所以小李工作了分钟，先求出小李完成的工作量，再用总量减去小李的工作量得到小王完成的工作量，进而求出小王实际工作的时间，最后用总时间减去小王实际工作的时间即为休息的时间。 【解答】小王的工作效率：1÷10＝ 小李的工作效率：1÷15＝ 小李完成的工作量： 小王完成的工作量： 小王实际工作的时间： （分钟） 小王休息的时间：（分钟） 答：小王休息了分钟。 13．工程队修一条公路，如果甲队单独修需要8天，如果乙队单独修需要12天完成。如果甲、乙两队合修，多少天正好完成总工程的一半？ 【答案】天 【分析】把修一条公路的工作总量看作单位“1”，根据“工作总量÷工作时间＝工作效率”，分别求出甲队、乙队的工作效率；两队的工作效率相加，即是合作工效； 已知甲、乙两队合修，求完成总工程的一半即，根据“合作工作量÷合作工效＝合作时间”求解。 【解答】甲队的工作效率：1÷8＝ 乙队的工作效率：1÷12＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（天） 答：天正好完成总工程的一半。 14．冬季供暖即将到来，龙城小区物业公司计划在9天之内维护检查完小区取暖设备，物业维修处联系了三家水暖公司，公司基本情况如下。 公司 完成任务时间/天 工作单价/（元/天） A 10 600 B 15 500 C 30 400 请你帮他们设计一个最佳方案，要求在规定的时间内完工，并且花钱最少（工作不足一天按一天计算）。 【答案】最佳方案：A做9天，B、C最后一天加入，三家合作，花钱最少为6300元 【分析】将总任务看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”求出A、B、C的工作效率；用各公司的工作单价乘完成天数，求出独做完成需要的总金额，得出哪家公司独做的费用最低，让这家公司的工作效率乘工作时间9天，求出独做完成的工作量，再看剩下的工作量由哪家或哪几家公司合作，能保证在9天之内完成总任务，进而计算总费用。 【解答】将总任务看作单位“1”。 A的工作效率：1÷10＝ B的工作效率：1÷15＝ C的工作效率：1÷30＝ A独做需：600×10＝6000（元） B独做需：500×15＝7500（元） C独做需：400×30＝12000（元） 6000＜7500＜12000 A独做完成任务后价格最低，让A做9天完成全部任务的： ×9＝ 还剩下全部任务的：1－＝ ＞＞ 剩下的工作量B、C都不能单独完成，则B、C合作一天能完成全部的： ＋ ＝＋ ＝ ＝，B、C合作一天正好完成剩下的工作量。 所以，A做9天，B、C最后一天加入，三家合作，能在9天完成任务，且花钱最少。 最低费用： 600×9＋500＋400 ＝5400＋500＋400 ＝6300（元） 答：最佳方案：A做9天，B、C最后一天加入，三家合作，花钱最少为6300元。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏教版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 第7讲 工程问题 【知识清单+新知避坑+预习达标练】 一、工程问题的意义。 1、工程问题是分数应用题的一种,它研究的是工作总量、工作效率与工作时间三者之间的关系。 2、当工程问题和分数应用题结合在一起时,通常工作总量不是具体的数量,而是用“1”来表示;相应的工作效率也不是具体数量,而是工作时间的倒数。理解与掌握这个要点，是用分数乘除法解决工程问题的关键。 二、工程问题的基本数量关系。 1、基本数量关系 工作时间×工作效率=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 1、把工作总量设为单位“1”的前提是工程未给出具体总量，有明确数值的工程不能随意硬套单位“1”假设。 2、单人的工作效率是单位时间内完成的工作量，不能把总工期直接等同于工作效率。 3、多人合作的总效率是各单人效率的和，不能直接把总工期除以人数乱算合作效率。 4、求解完成时间后反向验算，总时间乘总效率得到的结果要和预设的工作总量完全相等。 5、列工程问题算式时所有参与工作的主体效率都要纳入运算，不能遗漏某一参与方的工作量。 6、标注工作效率时要明确对应单位时间，避免出现效率和时间维度的单位错配。 7、遇到中途停工的分段工程问题，要拆分不同阶段的工作量分别计算，不能直接用总效率硬算全周期。 8、同一工程问题的工作总量基准必须完全统一，不能前半段用具体数值后半段切换为单位“1”。 9、解决工程问题要先梳理各阶段的工作量分配逻辑，不能直接硬套行程问题的路程公式乱算结果。 10、只有符合“工作总量、效率、时间”三要素的场景才适配工程问题解法，非工程类的普通分配问题不能随意套用单位“1”的解题规则。 一、选择题 1．一项工程，甲工程队单独修需要8天完成，乙工程队单独修需要10天完成。甲、乙两工程队合修，要完成这项工程的，需要（    ）天。 A．2 B．4 C．5 D．6 2．某工厂接到一批订单，甲队单独加工需要6天完成，乙队单独加工需要10天完成，为了提高加工效率，由甲、乙两队合作完成这批订单，（    ）天可以完成这批订单的。 A． B．3 C． D．8 3．修一条800m长的水管，甲队单独修需要10天，乙队单独修需要15天，如果两队合修，几天完成总工作量的？下面算式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 4．在下面四个实际问题中，不能用“”解决的是（    ）。 A．修一条路，甲队单独修4天完成，乙队单独修6天完成，甲、乙两队合作，几天修完？ B．小明和爷爷在300米的环形步道上散步，小明走一圈要4分钟，爷爷走一圈要6分钟，如果两个人同时同地出发，背向而行，几分钟相遇？ C．要制作30朵绢花，小红每小时制作4朵，小丽每小时制作6朵，两人合作多少小时可以做完？ D．生产一批零件，师傅单独做4小时完成，徒弟单独做6小时完成，师徒二人合作，需要多少小时完成？ 5．某工程甲公司单独做需20天完成，乙公司单独做需30天完成，两队合作（    ）完成。 A．50天 B．25天 C．12天 D．10天 二、填空题 6．做一项工作，小华单独做小时完成，小明单独做小时完成。如果两人合做，（ ）小时完成。 7．修一条公路，甲队要12天完成；乙队要15天可以完成。现在让甲、乙两队合修，应修（ ）天。 8．某农场使用编号为①、②、③的三个智能灌溉管道为植物生长池注水。已知所开的管道号与灌满生长池的时间如下表所示，若3个管道齐开，（ ）小时可把生长池灌满。 管道号 ①② ②③ ①③ 时间（小时） 6 6 9 9．珠海大道正在修建高架桥，甲工程队单独完成需要8个月，乙工程队单独完成需要10个月。两个工程队合作2个月后，一共完成了这项工作的；甲工程队因故不能继续工作，剩下的任务由乙工程队独自完成，乙工程队还需要（    ）个月能完成任务。 10．两支抗日游击队合修一条隐蔽交通线，甲队单独修需12天，乙队每天可以修这条交通线的。两队合修每天完成这条交通线的（ ），（ ）天可以修完。 三、解答题 11．修一段900米长的公路，甲工程队单独修需要10天完成，乙工程队单独修需要15天完成。为赶工期，现在两个工程队合作，几天能修完这段公路？ 12．打印一份稿件，小王单独打印需要10分钟，小李单独打印需要15分钟，现在两人一起打印，中途小王因病休息了一会儿，这样打印完稿件一共用了9分钟，小王休息了几分钟？ 13．工程队修一条公路，如果甲队单独修需要8天，如果乙队单独修需要12天完成。如果甲、乙两队合修，多少天正好完成总工程的一半？ 14．冬季供暖即将到来，龙城小区物业公司计划在9天之内维护检查完小区取暖设备，物业维修处联系了三家水暖公司，公司基本情况如下。 公司 完成任务时间/天 工作单价/（元/天） A 10 600 B 15 500 C 30 400 请你帮他们设计一个最佳方案，要求在规定的时间内完工，并且花钱最少（工作不足一天按一天计算）。 学科网（北京）股份有限公司 $