1.3反比例函数-用反比例函数解决问题 导学案 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“用反比例函数解决问题”，通过工程队施工时间与效率的实际情境导入，衔接反比例函数概念，引导学生从实际问题中识别变量关系，搭建从概念到应用的学习支架。 资料以“建模四步走”为主线，设置基础几何、工程情境、跨学科综合等分层探究，培养学生抽象能力与模型意识，习题结合生活与物理场景，助力学生用数学思维分析问题，提升应用意识与解决实际问题的能力。

1.3反比例函数-用反比例函数解决问题导学案 苏科版九年级数学上册 第 1 章 第三节 用反比例函数解决问题（新教材） 一、学习目标 1、知识与技能：能准确识别实际情境中的反比例关系，掌握用待定系数法确定反比例函数解析式的方法，能结合自变量的实际意义确定取值范围，利用模型解决简单的实际问题。 2、过程与方法：经历 “实际问题→建立模型→求解模型→解释检验” 的建模过程，发展数学抽象与建模能力，能从文字、图象、表格中提取有效信息解决问题。 3、情感与态度：体会反比例函数在工程、物理、生活等领域的应用价值，增强用数学眼光观察世界的意识，在分层练习中获得学习成就感。 二、学习重难点 学习重点：根据实际问题建立反比例函数模型，利用模型进行计算与决策。 学习难点：准确识别复杂情境中的反比例关系，结合实际意义确定自变量的取值范围，解决跨学科综合问题。 三、情境引入：工程队的 “提速” 难题 汛期将至，某工程队承接了一段河道清淤任务： 原计划每天施工 6 小时，用 20 天可以完成任务。但现在需要提前完工，若工人的工作效率不变： 1、如果要 10 天完成，每天需要施工多少小时？ 2、如果要 8 天完成，每天需要施工多少小时？ 3、设工期为天，每天的施工时长为小时，你能写出与的函数关系吗？ 思考：在这个问题中，不变的量是什么？两个变量之间满足什么关系？ 这就是我们今天要学习的内容 —— 用反比例函数解决这类生活中的实际问题！ 四、核心知识点梳理 1. 反比例函数应用的本质 若两个变量、满足（为常数，），则是的反比例函数，即。 在实际问题中，这个不变的通常代表： 工程问题：总工作量 行程问题：总路程 几何问题：图形的面积 物理问题：电压（欧姆定律）、阻力 × 阻力臂（杠杆原理）等 2. 建模解题四步走 审：分析问题中的变量与不变量，判断是否为反比例关系； 设：设出反比例函数解析式； 列：利用已知条件求出常数，确定函数解析式； 解：利用解析式解决问题，注意结合实际意义确定自变量的取值范围！ 3. 易错提醒 实际问题中，自变量通常为正数（长度、时间、人数等不能为负），部分问题中还会有实际限制（如墙长、工期上限等），因此反比例函数的图象往往只是双曲线的一部分，而非完整的两支。 五、分层探究：从基础到提优 （一）基础过关：简单几何情境建模 例题 1 科技小组准备用材料围建一个面积为的矩形科技园，其中一边靠墙，墙长为，设的长为，的长为。 (1) 求与之间的函数关系式； (2) 根据实际情况，自变量能否取值为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3) 若围成矩形科技园的三边材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案。 变式训练 变式 1-1 一菱形的面积为，它的两条对角线长分别为，，则与之间的函数关系为 ；这个函数的图象位于第 象限。 变式 1-2 用若干根火柴首尾相接摆成一个矩形，设每一根火柴的长度为 1，矩形两条邻边的长分别为，，要求摆成的矩形的面积为 8。 (1) 求关于的函数表达式； (2) 能否摆成正方形？请说明理由。 变式 1-3 在面积都相等的所有三角形中，当其中一个三角形的一边长为 1 时，这条边上的高为 6。 (1) ①求关于的函数表达式； ②当时，求的取值范围； (2) 小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为 4，小赵说有一个三角形的一边与这边上的高之和为 6。你认为小李和小赵的说法对吗？为什么？ （二）能力提升：工程情境模型迁移 例题 2 某班同学参加植树活动，参与植树的人数与完成任务的时间满足反比例关系。已知： (1) 若平均每人每小时植树 4 棵，当有 20 人参加时，3 小时可以完成任务，请问这次共计要植树多少棵？ (2) 设参与人数为人，完成时间为小时，求与的函数表达式；当时，求的值； (3) 为了能在 1.5h 内完成任务，至少需要多少人参加植树？ 变式训练 变式 2-1 县政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务。 (1) 运输公司平均运送速度（单位：）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2) 这个运输公司共有 80 辆卡车，每天可运送土石方，公司完成全部运输任务需要多长时间？ (3) 当公司以问题 (2) 中的速度工作了 30 天后，由于工程进度的需要，剩下的运输任务必须在 20 天内完成，则运输公司至少要增加多少辆卡车？ 变式 2-2 某厂要生产一批呼吸机，在生产之前，设备已经进行了预热，生产过程中，每台呼吸机的生产时间与生产数量满足反比例关系。已知当生产 20 台时，每台的平均生产时间为 30 分钟。 (1) 求每台呼吸机的平均生产时间（分钟）与生产数量（台）之间的函数关系式； (2) 若该厂要在 5 小时内完成这批呼吸机的生产，至少需要生产多少台？ 变式 2-3 某车间有 120 名工人，生产一种由一个螺栓配两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓 14 个或螺母 20 个。设安排名工人生产螺栓，剩余工人生产螺母，要使每天生产的螺栓与螺母刚好配套。 (1) 求配套关系中变量的对应关系，判断是否为反比例关系？ (2) 若要使每天的配套产量最大，应该如何安排工人？ （三）拓展提优：跨学科综合应用 例题 3 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点。 (1) 求一次函数和反比例函数的关系式； (2) 结合图形，请直接写出不等式的解集； (3) 点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标。 变式训练 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点。已知点和的横坐标分别为 1和 3。 (1) 求与的值； (2) 设直线与轴、轴的交点分别为，求的面积。 六、巩固练习 基础题 1、已知某长方形的面积为 10，它的一边长为，另一边长为，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 2、已知点在反比例函数的图象上，则 。 3、对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 4、已知反比例函数，下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 随的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. 随的增大而增大 5、A、B 两地相距 120km，一辆汽车从 A 地匀速行驶到 B 地，那么汽车的行驶速度与行驶时间之间的函数关系式为 。 6、已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 。（只需写出一个） 7、若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为 。 中等题 8、 如图，点在反比例函数的图像上，且点的横坐标为，轴于点，若的面积是 3，则的值是 。 9、某厂要生产一批呼吸机，在生产之前，设备已经进行了预热，生产过程中，每台呼吸机的生产时间与生产数量满足反比例关系。已知当生产 20 台时，每台的平均生产时间为 30 分钟。 (1) 求每台呼吸机的平均生产时间（分钟）与生产数量（台）之间的函数关系式； (2) 若该厂要在 5 小时内完成这批呼吸机的生产，至少需要生产多少台？ 10、如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点。 (1) 求一次函数和反比例函数的关系式； (2) 结合图形，请直接写出不等式的解集； 提优题 11、一艘载满货物的轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速ν（单位：吨/天）随卸货天数t的变化而变化．已知v与t是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求v与t之间的函数解析式； （2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 12、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象过点A（6，1）． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A的直线与反比例函数y＝图象的另一个交点为B，与y轴交于点P． ①若点P为原点，直接写出点B的坐标； ②若PA＝2PB，求点P的坐标． 13、点A是反比例函数的图像上一点，直线轴，交反比例函数（）的图像于点B，直线轴，交于点C，直线轴，交于点D． (1)若点A（1，1），分别求线段AB和CD的长度； (2)对于任意的点A（a，b），试探究线段AB和CD的数量关系，并说明理由． 14、如图，反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过、两点。 ①求反比例函数的解析式； ②若点A坐标是，请问:在轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P的坐标都求出来；若不存在，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $ （一）分层探究部分 例题 1 解析 (1) 由矩形面积公式得，因此，结合墙长限制，自变量取值范围为（因为，即，解得）。 (2) 不能。当时，，而墙长只有 12m，，不符合实际，因此不能取 4。 (3) 由，且，为正整数，，可得： 代入得，整理得，解得。 结合，且是 60 的正因数，可得，对应。 因此围建方案为：；；。 变式 1-1 答案 ；一 解析：菱形面积为对角线乘积的一半，即，得，因此，对角线长为正，因此图象在第一象限。 变式 1-2 答案 (1) ； (2) 不能。理由：若为正方形，则，即，解得，不是整数，而火柴的长度为 1，边长必须为整数，因此不能摆成正方形。 变式 1-3 答案 (1) ①三角形面积为，因此，得； ②当时，反比例函数在时随增大而减小，因此。 (2) 小赵的说法正确。 理由：若，则，整理得，判别式，方程无实根，因此小李的说法错误； 若，则，整理得，判别式，方程有实根，因此小赵的说法正确。 例题 2 解析 (1) 总植树棵数为：棵； (2) 总工作量不变，因此，得。当时，小时； (3) 当时，代入得，解得，因此至少需要 40 人。 变式 2-1 答案 (1) 由总量，得； (2) 当时，天； (3) 前 30 天运输了，剩余，每辆车每天运 125m³，设增加辆，则，解得，因此至少增加 40 辆。 变式 2-2 答案 (1) 总时间不变，，因此； (2) 5 小时 = 300 分钟，即，代入得，解得，因此至少生产 2 台。 变式 2-3 答案 (1) 配套时，整理得，这是一次函数关系，不是反比例关系； (2) 当时，刚好配套，此时产量最大，即安排 50 人生产螺栓，70 人生产螺母。 例题 3 (1) 求函数关系式 ① 求反比例函数： 把点A(-2,4)代入反比例函数y=，得： y=。 ② 求一次函数： 把A(-2,4)和B(4,-2)代入一次函数y=kx+b，得到方程组： -2k + b = 4 4k + b = -2 用第二个方程减第一个方程，得6k=-6，解得k=-1，代入得b=2。 因此一次函数的关系式为 y=-x+2。 (2) 不等式的解集 不等式kx+b < 的几何意义是：一次函数的图象在反比例函数图象的下方时，对应的x的取值范围。 结合两个函数的交点A(-2,4)和B(4,-2)，以及反比例函数的定义域x≠0，可得解集为： -2<x<0 或 x>4 (3) 求P点的坐标 首先计算直线AB的斜率：kAB=(-2-4)/(4-(-2))=-1，因此直线AB的垂线的斜率为1（因为垂直的两条直线斜率乘积为-1）。 分两种情况讨论： 1. 若∠BAP=90°，即A为直角顶点： 此时直线AP的斜率为1，过点A(-2,4)，因此直线AP的解析式为： y-4=1 × (x+2)，整理得y=x+6。 令y=0，解得x=-6，因此此时P点坐标为(-6,0)。 2. 若∠ABP=90°，即B为直角顶点： 此时直线BP的斜率为1，过点B(4,-2)，因此直线BP的解析式为： y+2=1 × (x-4)，整理得y=x-6。 令y=0，解得x=8，因此此时P点坐标为(8,0)。 综上，满足条件的P点坐标为(-6,0) 或 (8,0) 变式训练 (1) 求a与k的值 根据题意，结合图形的完整条件，可得点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(3,1)： ① 求k的值： 点A在反比例函数y=k/x上，代入A(1,3)，得：k=3。 ② 求a的值： 把A(1,3)和B(3,1)代入一次函数y=ax+b，得到方程组： a + b = 3 3a + b = 1 用第二个方程减第一个方程，得2a=-2，解得a=-1，代入得b=4。 因此，a=-1，k=3。 (2) 求△OCD的面积 由(1)可知，直线AB的解析式为y=-x+4。 ① 求交点坐标： 与x轴的交点C：令y=0，解得0=-x+4，x=4，因此C点坐标为(4,0)； 与y轴的交点D：令x=0，解得y=4，因此D点坐标为(0,4)。 ② 计算面积： △OCD是直角三角形，直角边OC=4，OD=4，因此面积为： S = × OC × OD = × 4 × 4 = 8。 （二）巩固练习 基础题 1. 答案：B 解析：根据长方形的面积计算公式，长方形的面积等于相邻两条边长的乘积，即： S = 长 × 宽 = x × y 已知该长方形的面积为10，因此我们可以得到等式： x × y = 10 将这个等式进行变形，就可以得到y关于x的函数关系式： y = 对比选项，正确的选项为B。 2. 答案：3 解析：如果一个点在函数的图象上，那么这个点的坐标一定满足该函数的解析式。 已知点P(2,n)在反比例函数y = 的图象上，因此我们将x=2代入函数解析式中，就可以计算出n的值： n = = 3 因此，n的值为3。 3. 答案：A、D 解析：我们逐个分析每个选项： A选项：判断点(2,2)是否在函数图象上，我们将x=2代入函数y = ，计算得y = = 2，和点的纵坐标一致，因此该点在函数图象上，A选项正确。 B选项：对于反比例函数y=k/x，当k>0时，函数的图象位于第一、三象限；当k<0时，位于第二、四象限。本题中k=4>0，因此图象位于第一、三象限，B选项错误。 C选项：当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，因此当x>0时，y随x的增大而减小，不是增大，C选项错误。 D选项：根据反比例函数的性质，当k>0时，在x>0的区间内，y随x的增大而减小，D选项正确。 因此，本题的正确选项为A和D。 4. 答案：C 解析：我们逐个分析每个选项： A选项：本题中k=-3<0，因此函数的图象位于第二、四象限，不是第一、三象限，A选项错误。 B选项：反比例函数的增减性是“在每个象限内”的，不是整个定义域内的，因此不能直接说y随x的增大而减小，B选项错误。 C选项：当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，C选项正确。 D选项：同理，增减性是在每个象限内的，不能直接说整个定义域内y随x的增大而增大，D选项错误。 因此，本题的正确选项为C。 5. 答案：v = 解析：根据行程问题的基本公式，路程等于速度乘以时间，即：s = v × t 已知A、B两地的距离为120km，因此我们可以得到等式：v × t = 120 变形后得到v关于t的函数关系式：v = 6. 答案：y = （答案不唯一，只要k>0即可） 解析：根据反比例函数的性质，当k>0时，函数在各个象限内，y随x的增大而减小，因此我们只需要写出一个k>0的反比例函数即可，比如y=。 7. 答案：y₁ < y₃ < y₂ 解析：我们将三个点的横坐标分别代入反比例函数y = ，计算出对应的纵坐标： 对于点(-2,y₁)，y₁ = = -3 对于点(1,y₂)，y₂ = = 6 对于点(3,y₃)，y₃ = = 2 比较这三个数的大小，可得：-3 < 2 < 6，因此y₁ < y₃ < y₂。 中等题 8. 答案：-6 解析：对于反比例函数y=k/x，有一个重要的性质： 过双曲线上任意一点，作y轴的垂线，连接原点，得到的三角形的面积为|k|，这个性质和点的位置无关。 本题中，△AOB的面积是3，因此我们可以得到：|k| = 3，解得|k|=6。 又因为点A的横坐标a<0，说明点A在第二象限，因此k<0，所以k=-6。 9. 答案： (1) 函数关系式：t = 解析：根据题意，生产的总时间是固定不变的，因为设备预热完成后，总生产时间是一个定值。 当生产20台时，每台的平均生产时间为30分钟，因此总生产时间为： 20 × 30 = 600分钟 因此我们可以得到等式：n × t = 600，变形后得到： t = (2) 至少需要生产2台 解析：5小时等于300分钟，题目要求总时间不超过300分钟，也就是t ≤ 300。 将t=代入不等式，得到： ≤ 300 解得n ≥ 2，因此至少需要生产2台。 10. 答案： (1) 反比例函数：y = ，一次函数：y = -x + 2 解析： ① 求反比例函数：把点A(-2,4)代入反比例函数y=，得到：解得m=-8，因此反比例函数的关系式为y=。 ② 求一次函数：把A(-2,4)和B(4,-2)代入一次函数y=kx+b，得到方程组： -2k + b = 4 4k + b = -2 用第二个方程减去第一个方程，得到6k=-6，解得k=-1，代入得b=2，因此一次函数的关系式为y=-x+2。 (2) 不等式的解集：-2 < x < 0 或 x > 4 解析：不等式kx+b < 的几何意义是：一次函数的图象在反比例函数图象的下方时，对应的x的取值范围。 结合两个函数的交点A(-2,4)和B(4,-2)，以及反比例函数的定义域x≠0，就可以得到这个解集。 提优题 11. 答案： (1) 函数解析式：v = 解析：根据题意，v和t是反比例函数关系，因此设v=。 从图象中我们可以得到，函数过点(2,120)，解得k=240，因此函数解析式为v=。 (2) 平均每天至少卸载48吨 解析：题目要求卸货天数不超过5天，也就是t ≤ 5。 代入函数解析式，得到v=≥ =48，因此平均每天至少要卸载48吨。 12. 答案： (1) 反比例函数表达式：y = 解析：把点A(6,1)代入反比例函数y=，解得m=6，因此反比例函数的表达式为y=。 (2) ① B点坐标：(-6,-1) 解析：当P为原点时，直线过原点，因此A和B关于原点对称，所以B点的坐标是A点坐标的相反数，即(-6,-1)。 ② P点坐标：(0,3) 或 (0,-1) 解析：我们分两种情况讨论： 当B在P和A之间时，B是PA的中点，根据中点坐标公式，可得B(3,2)，代入直线方程，解得P(0,3)。 当P在B和A之间时，B是AP的三等分点，可得B(-3,-2)，代入直线方程，解得P(0,-1)。 13. 答案： (1) AB的长度为2，CD的长度为2 解析：已知点A(1,1)： ① 因为AB//x轴，所以B点的纵坐标和A点相同，都是1。 B点在反比例函数y=上，代入y=1，得到x=3，因此B点坐标为(3,1)，所以AB的长度为3-1=2。 ② 因为AC//y轴，所以C点的横坐标和A点相同，都是1。 C点在反比例函数y=上，代入x=1，得到y=3，因此C点坐标为(1,3)。 ③ 因为CD//x轴，所以D点的纵坐标和C点相同，都是3。 D点在反比例函数y=上，代入y=3，得到x=，因此D点坐标为(,3)，所以CD的长度为1 - = 。 (2) 线段关系：AB = 3CD 解析：对于任意的点A(a,b)，因为A在y=上，所以ab=1。 ① 对于B点，纵坐标为b，代入y=，得到x==3a，因此AB的长度为3a - a = 2a。 ② 对于C点，横坐标为a，代入y=，得到y=。 ③ 对于D点，纵坐标为，代入y=，得到x=a/3，因此CD的长度为a - = 。 因此，AB=2a，CD=，所以AB=3CD，这个关系对任意的A点都成立。 14. 答案： (1) 反比例函数的解析式：y = 解析：已知一次函数y=2x-1经过点(a,b)和(a+1,b+k)，因此： 把(a,b)代入，得到b=2a-1。 把(a+1,b+k)代入，得到b+k=2(a+1)-1=2a+1。 将第一个式子代入第二个式子，得到： (2a-1) + k = 2a+1，解得k=2。 因此，反比例函数的解析式为y=。 (2) 存在 解析：首先计算OA的长度，O是原点，A是(1,1)，因此OA=。 我们分三种情况讨论： ① 当OA=OP时，OP=，因此P点坐标为(,0)或(,0)。 ② 当OA=AP时，AP=，设P(x,0)，则=，解得x=2，因此P点坐标为(2,0)。 ③ 当OP=AP时，设P(x,0)，则x=，解得x=1，因此P点坐标为(1,0)。 综上，P的坐标(,0)或(,0)或(2,0)或(1,0) 学科网（北京）股份有限公司 $