第06讲 有理数的乘方（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材人教版

第06讲 有理数的乘方（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+4个知识归纳+11个题型+课后作业】 模块二 有理数的乘方 同学们，今天老师手里有一张普普通通的纸，厚度只有0.1毫米.如果我把它对折1次，它变成了几层？对折2次呢？对折3次呢？ 如果我连续对折30次，大家猜猜，它的厚度能有多高？是有一本书那么厚？还是有一层楼那么高？告诉大家一个惊人的秘密：如果这张纸足够大，对折30次后的厚度，能超过世界最高的珠穆朗玛峰！是不是觉得不可思议？面对“2×2×2……”这样一连串相同的数字相乘，写起来太麻烦了.今天我们就来认识一位数学界的“简写大师”——乘方！ 【知识点1 有理数的乘方】 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方， 乘方的结果叫作幂．中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 2. 乘方运算的结果及符号的规律 （1）正数的任何次幂都是正数，即当时，． （2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数，即当时， （3） 0的任何次幂都是0，即当时，． （4）非负性： a的偶数次幂是非负数，如，， 【知识点2 有理数混合运算规则】 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算． （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号） 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【答案】(1)底数是，指数是3 (2)底数是，指数是4 (3)底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 【变式1-1】的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 【变式1-2】中指数为_____ ，底数为_____ ；4的底数是_____ ，指数是_____ ；的底数是____ ，指数是_____ ，结果是_____ ． 【答案】 6 4 1 5 【分析】本题考查了有理数的乘方的意义及运算，解题关键是掌握有理数的乘方的意义． 先根据有理数的乘方的意义求解，再计算结果． 【详解】解：中指数为6，底数为； 4的底数是4，指数是1； 的底数是，指数是5，结果是． 故答案为：6，，4，1，，5，． 【变式1-3】___________(结果用含m、n的式子表示)． 【答案】 【分析】本题考查乘方和乘法的定义，根据乘方和乘法的定义求解即可． 【详解】解：分子为个相乘，即；分母为个相加，即， 因此，原式可表示为， 故答案为：． 【题型2 有理数乘方的运算】 【例2】计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ； （5）解：； （6）解：； 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． （7）解：． 【变式2-3】（1）计算：①______；______； ②______；______． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导：______ （3）猜想：当n为正整数时，______． （4）利用上述结论，求：①；② 【答案】（1）①，；②225，225；（2）；（3）；（4）①；② ； 【分析】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，掌握乘方的意义是解题的关键． （1）①根据乘方的意义直接计算即可； ②根据乘方的意义直接计算即可； （2）根据乘方的意义直接计算即可； （3）根据以上的规律猜想，并利用乘方的意义求解即可； （4）②逆用（3）中得到的结论计算即可；②变形后逆用（3）中得到的结论计算即可． 【详解】（1）①；； ②；； 故答案为：36；36；225；225； （2） ， 故答案为：； （3）当n为正整数时，， 故答案为：； （4）① ； ② ． 【题型3 乘方运算的符号规律】 【例3】下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 【变式3-1】当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 【变式3-2】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ （指数2025为奇数）， ∴ 原式． 故选：C 【变式3-3】已知m，n是正整数，若．化简： （1）；       （2）． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，然后求解即可； （2）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，为奇数，然后求解即可； 【详解】解：，则为偶数，为奇数 （1）， （2），， 【题型4 偶次乘方的非负性】 【例4】已知，则______． 【答案】1 【分析】本题考查非负数，熟练掌握非负数的性质是解题关键． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，和为零则每个部分为零，求出 x 和 y 的值，再计算，最后求幂． 【详解】解：由题， 且， ∵， ∴ 且， ∴且， 解得 ，， 则 ， ∴． 故答案为： 1． 【变式4-1】若与互为相反数， 则的值为____________ 【答案】1 【分析】本题考查了相反数和非负数的性质：两个非负数的和是0，因而每个数的值都是0，根据互为相反数的定义，得到与的和为零，再利用绝对值和平方的非负性，求出x和y的值，最后代入代数式计算． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． 又 ∵，， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 【变式4-2】若，则的值为_____________ 【答案】6 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据绝对值和平方的非负性，和为零则每个部分都为零，求出 x， y，z的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 故答案为：6． 【变式4-3】当________时，有最大值是________． 【答案】 【分析】此题主要考查偶次方的非负性，根据的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴当时，有最大值是， 故答案为：，． 【题型5 有理数乘方的应用】 【例5】1883 年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称作康托尔集． 如图，取一条长度为 1 的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段．．．将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称作康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算出四个阶段留下的线段的长度之和，进而得出答案． 【详解】解：前四个阶段变化特点如下： 根据第一阶段时余下的线段的长度之和是； 第二阶段时，余下的线段的长度之和是； 第三阶段时，余下的线段的长度之和是； 第四阶段时，余下的线段的长度之和是． 【变式5-1】《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】初始木棍长1米，每天截去一半，即剩余长度为前一天的，由此可推出第天剩余长度为米，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵初始木棍长1米，第一天截去一半后，剩余长度为米； 第二天截去一半后，剩余长度为米； 第三天截去一半后，剩余长度为米； 以此类推，第天剩余长度为米． 当时，剩余长度为米． 【变式5-2】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第6次后拉成____ 根细面条． 【答案】64 【分析】本题主要考查有理数的乘方的应用．找出捏合的次数与拉出面条根数之间的关系即可． 【详解】解：罗列每次拉出的根数如下： 第一次，拉出2根细面条； 第二次，拉出根细面条； 第三次，拉出根细面条； ， 第次，拉出根细面条； 第十次捏合，拉出根细面条． 故答案为：64． 【变式5-3】“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第行的数字之和记为，则的末位数字为（   ） 第1行              1 第2行           1    1 第3行          1   2    1 第4行       1    3    3    1 第5行     1    4    6    4    1 A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了杨辉三角的规律探究以及周期问题的应用，解题的关键是找出每行数字之和的规律并确定其末位数字的周期． 通过计算前几行数字之和，发现每行数字之和为（为行数），分析这些和的末位数字，找出周期规律；根据周期规律计算第2026行数字之和的末位数字． 【详解】∵杨辉三角第行数字之和， ∴， ∵末位，末位，末位，末位，此后循环， ∴的幂的末位数字周期为， ，余数为， ∴的末位数字与相同，为2， 故选A． 【题型6 含乘方的有理数混合运算】 【例6】计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方和括号里的运算，再算乘法，最后算减法即可； （2）先计算乘方和绝对值，再算乘除，最后加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式6-2】计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-3】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)15 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 模块三 科学记数法与近似数 同学们，刚才我们见识了乘方的威力，一张纸对折30次能超过珠穆朗玛峰！那珠峰到底有多高呢？大约是 8848 米.这个数字还好读写. 但是，如果我们把视野投向更广阔的宇宙： 1. 光速：光在真空中的速度大约是 300 000 000 米/秒. 2. 世界人口：世界总人口数大约是 7 000 000 000 人. 大家试着快速、准确地读出这两个数，并在纸上把它们工整地写下来.是不是感觉有点麻烦？ 读起来：要数很多个“零”，容易读错位数. 写起来：要写很长一串“0”，不仅慢，还容易多写或少写一个. 算起来：如果用这些庞大的数字进行计算，那更是难上加难！ 在科学、天文、经济等领域，这种大数无处不在.有没有一种全世界公认的、既简洁又方便读写和计算的表示方法呢？今天，我们就来学习这个“大数简化大师”——科学记数法！ 【知识点3 科学记数法】 把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤a＜10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 【知识点4 近似数】 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 【题型7 用科学记数法表示数】 【例7】据交通运输部数据显示，2026年五一假期期间，全社会跨区域人员流动总量达151712.8万人次．其中数据151712.8用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数； 【详解】解：． 【变式7-1】数400000用科学记数法表示为，下列说法错误的是（    ） A． B． C．整数位数减1就是n的值 D．将小数点向左移动6位可得到a的值 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法，是解题的关键．科学记数法表示形式为，其中，n为整数．400000表示为，因此，；整数位数6减1为5，等于n；将小数点向左移动5位得，移动6位得，故D错误，符合题意． 【详解】解：∵， ∴，， 整数位数6减1为5，等于n，将小数点向左移动5位得到，移动6位得到，故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式7-2】新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是________（备注：1亿＝100000000）． 【答案】9 【分析】将13.6亿=写成（，n为整数）的形式即可． 【详解】解：13.6亿==． 故答案为9． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键． 【变式7-3】算式的结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【题型8 将用科学记数法表示的数还原】 【例8】我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 【答案】 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原，根据亿，再将科学记数法表示的数还原，转化单位即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 故答案为：． 【变式8-1】到2025年，我国某科技企业研发投入累计达元，这个数的原数是（    ） A．120000000 B．1200000000 C．12000000 D．12000000000 【答案】B 【详解】解：． 故选：B． 【变式8-2】3.65×10178是________位数，0.12×1010是________位数； 【答案】 179 10 【解析】略 【变式8-3】把按照从小到大的顺序，用“”连接起来为 ________________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，比较科学记数法表示的数时，先比较10的指数，指数小的数较小；若指数相同，再比较系数即可． 【详解】解：把按照从小到大的顺序，用“”连接起来为： ． 故答案为：；；；． 【题型9 求一个数的近似数】 【例9】用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （精确到万位）； （2）解：（精确到千万位）； （3）解： （精确到百位）． 【变式9-1】用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到十分位）； (3)（精确到千分位）； (4)（精确到个位）； 【答案】(1) (2) (3) (4)86 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到十分位）； （3）解：（精确到千分位）； （4）解：（精确到个位）． 【变式9-2】用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到千分位）； (4)亿（精确到百万位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了近似数与有效数字，解题的关键是明确四舍五入的规则，找准精确位的下一位数字进行判断． （1）精确到，看万分位数字，四舍五入； （2）精确到个位，看十分位数字，四舍五入； （3）精确到千分位，看万分位数字，四舍五入； （4）先将“亿”化为具体数，找到百万位，看十万位数字，四舍五入后用科学记数法表示． 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到千分位）． （4）13.052亿. 【变式9-3】用四舍五入法对下列各数取近似数 (1)（精确到千分位）； (2)（精确到0.001）； (3)（精确到十位）； (4)亿（精确到万位）； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据小数点左边第一位为个位，右边第一位为十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，第四位是万分位，精确到千分位，只需对万分位上的数字实施四舍五入求解即可； （2）精确到0.001即千分位，解答即可； （3）根据解答即可； （4）根据亿，且，解答即可； 本题考查了精确度的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． （3）解：根据， 故． （4）解：根据亿，且， 故亿． 【题型10 求近似数的精确度】 【例10】下列是由四舍五入法得到的数，各精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)万； (4)． 【答案】(1)十分位 (2)十万分位 (3)百位 (4)千位 【分析】本题主要考查了精确度，熟知精确度的定义是解题的关键． （1）近似数中，数字3在十分位上，则精确到十分位； （2）近似数中，数字5在十万分位上，则精确到十万分位； （3）近似数万中，数字0在百位上，则精确到百位； （4）近似数中，数字5在千位上，则精确到千位． 【详解】（1）解：精确到十分位 （2）解：精确到十万分位 （3）解：万精确到百位 （4）解：精确到千位 【变式10-1】下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？ (1)； (2)； (3) 【答案】(1)132.4精确到十分位，有4个有效数字； (2)0.0572精确到万分位，有3个有效数字； (3)精确到十位，有3个有效数字． 【分析】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．据此逐一作答即可． 【详解】（1）解：132.4精确到十分位，有4个有效数字； （2）解：0.0572精确到万分位，有3个有效数字； （3）解：精确到十位，有3个有效数字． 【变式10-2】下列用四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，精确到十分位（精确到） (2)，精确到万分位（精确到） (3)，精确到百位 【分析】本题主要考查科学记数法和有效数字，可以结合近似数精确度的定义进行解答． （1）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是 0 的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）利用近似数的精确度求解． （3）对于用科学记数法表示的数，可先将其还原为原数再判断其精确度即可. 【详解】（1）解：精确到十分位（即精确到）． （2）解：精确到万分位（即精确到）． （3）解：，精确到百位． 【变式10-3】下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)； (4)万； (5)． 【答案】(1)精确到个位 (2)精确到十分位 (3)精确到万分位 (4)精确到百位 (5)精确到百位 【分析】本题主要考查近似数的精确度，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据近似数的定义即可得出． （2）根据近似数的定义即可得出． （3）根据近似数的定义即可得出． （4）万的末位数字在百位，可得近似数精确到百位． （5）对科学记数法表示的近似数中，的末位数字对应的数位即精确到的数位． 【详解】（1）解：的末位数字在个位， ∴近似数精确到个位． （2）解：的末位数字在十分位， ∴近似数精确到十分位． （3）解：的末位数字在万分位， ∴近似数精确到万分位． （4）解：∵万 ∴万的末位数字在百位， ∴近似数万精确到百位． （5）解：∵ ∴的末位数字在百位， ∴近似数精确到百位． 【题型11 近似数推断取值范围】 【例11】一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 _______，最小是 ______． 【答案】 【分析】本题考查近似数，掌握知识点是解题的关键． 精确到百分位时，根据四舍五入法，需看千分位上的数字．近似数为，则原数最大时对应四舍情况，千分位小于5；最小时对应五入情况，千分位大于等于5． 【详解】解：设原数为三位小数（a、b、c分别为十分位、百分位、千分位数字）．精确到百分位时，若千分位，则舍去，近似数为，要求等于， 故，最大值为；若千分位，则向百分位进1，近似数为，要求等于，且进位后百分位为0、十分位为8，故，最小值为． 故答案为；． 【变式11-1】一个三位小数保留两位小数约是5.43，这个三位小数的最大值与最小值的差是 __________． 【答案】0.009 【分析】本题考查近似数，根据近似数的含义和四舍五入法，可以写出这个近似数的最小三位数和最大三位数，然后相减即可． 【详解】解：由题意可得， 这个三位小数最小是5.425，最大是5.434， ． 故答案为：0.009． 【变式11-2】数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 【变式11-3】下列说法错误的是（   ） A．近似数3.58精确到0.01 B．近似数精确到百分位 C．近似数2.51万精确到百位 D．近似数2.40是由数a四舍五入得到的，则数a的取值是 【答案】B 【分析】本题考查近似数，根据各选项的数值形式确定其精确到的数位． 【详解】A.近似数3.58精确到0.01，正确，不符合题意； B.精确到百位，错误，符合题意； C.2.51万，末位1在百位，故精确到百位，正确，不符合题意； D.近似数2.40精确到百分位，原数a的取值范围为，正确，不符合题意； 故选：B． 模块四 课后作业 1．下列说法错误的有（ ）． ①近似数万精确到千位    ②近似数2百万与近似数200万精确度不同 ③近似数与的精确度相同    ④数精确到万位是 【答案】③ 【分析】本题考查精确度，根据近似数的精确度概念，逐一判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：①近似数万表示，数字在千位上，所以精确到千位，说法正确； ②近似数百万表示，精确到百万位；近似数万表示，精确到万位，所以精确度不同，说法正确； ③近似数精确到十分位，精确到百分位，精确度不同，说法错误； ④数精确到万位，万位是，千位是，四舍五入得，用科学记数法表示为，说法正确． 故说法错误的有③． 故答案为：③ 2．计算（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】可利用积的乘方的逆运算简化计算，将高次幂拆分为同指数幂与低次幂的乘积，再合并计算即可． 【详解】解： ． 3．若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D．-6 【答案】A 【分析】由可得，即，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．我国发射的海洋Ⅰ号气象卫星，进入预定轨道后，若地球运行的速度为米/秒，则运行秒走过的路程是_________米（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】此题考查科学记数法，有理数乘法计算，正确掌握各计算法则是解题的关键，利用路程＝速度×时间得到答案． 【详解】解：运行秒走过的路程是米, 故答案为． 5．已知，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性及代数式的值，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性及代数式的值是解题的关键；根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零，则每个部分必须同时为零，然后问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 6．已知的底数为，指数为，的底数为，幂为，则__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，有理数幂．根据有理数幂的概念，求出，再代入代数式计算即可．掌握有理数幂的概念，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 7．现在有一种结绳记数方法，满七进一，可以将七进制数转换为十进制数．将图1的结绳记数转换成十进制数为：．则将图2的结绳记数转换成十进制数为________． 【答案】 【分析】本题考查了进制问题． 仿照题干计算即可． 【详解】解：将图2的结绳记数转换成十进制数为． 故答案为：． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 9．已知，，．若，求的值． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，有理数乘方的逆运算求出a、b、c的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数乘方的逆运算，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题的关键． 10．一张纸的厚度大约，对折1次厚，对折2次厚． (1)对折次，用代数式表示厚度； (2)当时，求出厚度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的定义，有理数乘方的计算，理解乘方的定义是解题的关键． （1）根据有理数的乘方的定义，对折n次为，然后进行计算即可得解； （2）将代入求出结果即可． 【详解】（1）解：对折n次后的厚度为． （2）当时，． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 有理数的乘方（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+4个知识归纳+11个题型+课后作业】 模块二 有理数的乘方 同学们，今天老师手里有一张普普通通的纸，厚度只有0.1毫米.如果我把它对折1次，它变成了几层？对折2次呢？对折3次呢？ 如果我连续对折30次，大家猜猜，它的厚度能有多高？是有一本书那么厚？还是有一层楼那么高？告诉大家一个惊人的秘密：如果这张纸足够大，对折30次后的厚度，能超过世界最高的珠穆朗玛峰！是不是觉得不可思议？面对“2×2×2……”这样一连串相同的数字相乘，写起来太麻烦了.今天我们就来认识一位数学界的“简写大师”——乘方！ 【知识点1 有理数的乘方】 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方， 乘方的结果叫作幂．中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 2. 乘方运算的结果及符号的规律 （1）正数的任何次幂都是正数，即当时，． （2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数，即当时， （3） 0的任何次幂都是0，即当时，． （4）非负性： a的偶数次幂是非负数，如，， 【知识点2 有理数混合运算规则】 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算． （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号） 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【变式1-1】的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【变式1-2】中指数为_____ ，底数为_____ ；4的底数是_____ ，指数是_____ ；的底数是____ ，指数是_____ ，结果是_____ ． 【变式1-3】___________(结果用含m、n的式子表示)． 【题型2 有理数乘方的运算】 【例2】计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【变式2-3】（1）计算：①______；______； ②______；______． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导：______ （3）猜想：当n为正整数时，______． （4）利用上述结论，求：①；② 【题型3 乘方运算的符号规律】 【例3】下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【变式3-1】当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【变式3-2】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知m，n是正整数，若．化简： （1）；       （2）． 【题型4 偶次乘方的非负性】 【例4】已知，则______． 【变式4-1】若与互为相反数， 则的值为____________ 【变式4-2】若，则的值为_____________ 【变式4-3】当________时，有最大值是________． 【题型5 有理数乘方的应用】 【例5】1883 年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称作康托尔集． 如图，取一条长度为 1 的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段．．．将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称作康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式5-2】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第6次后拉成____ 根细面条． 【变式5-3】“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第行的数字之和记为，则的末位数字为（   ） 第1行              1 第2行           1    1 第3行          1   2    1 第4行       1    3    3    1 第5行     1    4    6    4    1 A．2 B．4 C．8 D．6 【题型6 含乘方的有理数混合运算】 【例6】计算： (1)； (2) 【变式6-1】计算 (1) (2) 【变式6-2】计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【变式6-3】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 模块三 科学记数法与近似数 同学们，刚才我们见识了乘方的威力，一张纸对折30次能超过珠穆朗玛峰！那珠峰到底有多高呢？大约是 8848 米.这个数字还好读写. 但是，如果我们把视野投向更广阔的宇宙： 1. 光速：光在真空中的速度大约是 300 000 000 米/秒. 2. 世界人口：世界总人口数大约是 7 000 000 000 人. 大家试着快速、准确地读出这两个数，并在纸上把它们工整地写下来.是不是感觉有点麻烦？ 读起来：要数很多个“零”，容易读错位数. 写起来：要写很长一串“0”，不仅慢，还容易多写或少写一个. 算起来：如果用这些庞大的数字进行计算，那更是难上加难！ 在科学、天文、经济等领域，这种大数无处不在.有没有一种全世界公认的、既简洁又方便读写和计算的表示方法呢？今天，我们就来学习这个“大数简化大师”——科学记数法！ 【知识点3 科学记数法】 把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤a＜10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 【知识点4 近似数】 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 【题型7 用科学记数法表示数】 【例7】据交通运输部数据显示，2026年五一假期期间，全社会跨区域人员流动总量达151712.8万人次．其中数据151712.8用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】数400000用科学记数法表示为，下列说法错误的是（    ） A． B． C．整数位数减1就是n的值 D．将小数点向左移动6位可得到a的值 【变式7-2】新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是________（备注：1亿＝100000000）． 【变式7-3】算式的结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【题型8 将用科学记数法表示的数还原】 【例8】我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 【变式8-1】到2025年，我国某科技企业研发投入累计达元，这个数的原数是（    ） A．120000000 B．1200000000 C．12000000 D．12000000000 【变式8-2】3.65×10178是________位数，0.12×1010是________位数； 【变式8-3】把按照从小到大的顺序，用“”连接起来为 ________________________________． 【题型9 求一个数的近似数】 【例9】用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 【变式9-1】用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到十分位）； (3)（精确到千分位）； (4)（精确到个位）； 【变式9-2】用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到千分位）； (4)亿（精确到百万位）． 【变式9-3】用四舍五入法对下列各数取近似数 (1)（精确到千分位）； (2)（精确到0.001）； (3)（精确到十位）； (4)亿（精确到万位）； 【题型10 求近似数的精确度】 【例10】下列是由四舍五入法得到的数，各精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)万； (4)． 【变式10-1】下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？ (1)； (2)； (3) 【变式10-2】下列用四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)． 【变式10-3】下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)； (4)万； (5)． 【题型11 近似数推断取值范围】 【例11】一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 _______，最小是 ______． 【变式11-1】一个三位小数保留两位小数约是5.43，这个三位小数的最大值与最小值的差是 __________． 【变式11-2】数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【变式11-3】下列说法错误的是（   ） A．近似数3.58精确到0.01 B．近似数精确到百分位 C．近似数2.51万精确到百位 D．近似数2.40是由数a四舍五入得到的，则数a的取值是 模块四 课后作业 1．下列说法错误的有（ ）． ①近似数万精确到千位    ②近似数2百万与近似数200万精确度不同 ③近似数与的精确度相同    ④数精确到万位是 2．计算（ ） A．1 B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D．-6 4．我国发射的海洋Ⅰ号气象卫星，进入预定轨道后，若地球运行的速度为米/秒，则运行秒走过的路程是_________米（用科学记数法表示） 5．已知，则的值是________． 6．已知的底数为，指数为，的底数为，幂为，则__________． 7．现在有一种结绳记数方法，满七进一，可以将七进制数转换为十进制数．将图1的结绳记数转换成十进制数为：．则将图2的结绳记数转换成十进制数为________． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．已知，，．若，求的值． 10．一张纸的厚度大约，对折1次厚，对折2次厚． (1)对折次，用代数式表示厚度； (2)当时，求出厚度． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $