2.3 有理数的乘方 暑假预习讲义 -2025-2026学年人教版数学七年级上册

2.3 有理数的乘方 讲义 考点梳理 一、 乘方的定义及相关概念 1. 乘方的意义： （1）求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 （2）一般地，n个相同的因数a相乘，记作 ，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 · 注意点： · 乘方是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法），其结果是幂。 · 指数n表示的是相同因数的个数，是正整数。（现阶段，n为正整数） · 就是a本身，通常指数1省略不写。 2. 乘方的各部分名称： （1）在 中，a叫做底数，n叫做指数， 叫做幂。 二、 有理数乘方的符号法则· 注意点： · 底数a可以是正数、负数、0或分数。 · 指数n是正整数，表示相乘的次数。 · 书写时，当底数是负数或分数时，为了避免混淆，底数一定要加上括号。例如：，。 1. 正数的任何次幂都是正数。 · 例如：， · 注意点： 直接应用，无需考虑指数正负（指数为正整数）。 2. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 · 例如：（奇次幂，结果为负），（偶次幂，结果为正） · 注意点： · 关键看指数是奇数还是偶数，以及底数是负数。 · “奇负偶正”是核心口诀，要牢记。 3. 0的任何正整数次幂都是0。 · 例如：， · 注意点： · 0的0次幂没有意义（现阶段不讨论）。 · 这里强调“正整数次幂”。 三、 乘方的运算 1. 直接计算： 根据乘方的意义，将乘方转化为乘法进行计算。 · 例如： · 注意点： · 先确定符号（根据符号法则），再计算绝对值的乘方。 · 对于较大的指数，不要硬算，要理解其意义。 2. 含有括号的乘方与不含括号的区别： · 表示n个(-a)相乘，底数是-a。 · 表示n个a相乘的积的相反数，底数是a，它等于 。 · 注意点： · 这是极易混淆的地方！例如：，而 。 · 计算时务必看清底数是什么。 四、 科学计数法（初步） 1. 定义： 把一个大于10的数表示成 的形式（其中 ，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 · 例如： · 注意点： · a必须满足 ，即a是一个只有一位整数位的数。 · n的值等于原数的整数位数减1。例如：1230000是7位整数，n=7-1=6。 · 科学记数法是乘方的一个重要应用。 小节总结： 1. 理解定义是关键： 深刻理解乘方是“求n个相同因数的积的运算”，这是解决一切乘方问题的基础。 2. 牢记符号法则： “正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0”。多做练习，形成条件反射。 3. 区分底数： 特别是带有负号和分数作为底数时，一定要看清括号，明确底数是什么。例如 和 的区别。 4. 多做对比练习： 如 与 ， 与 ，通过对比发现不同，加深理解。 5. 联系乘法运算： 乘方是特殊的乘法，遇到复杂的乘方，可以先还原成乘法进行理解和计算（初期阶段）。 6. 注意运算顺序： 在混合运算中，要先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 7. 重视科学记数法： 掌握a的取值范围和n的确定方法，多练习把大数表示成科学记数法，以及把科学记数法表示的数还原。 8. 及时纠错： 对于作业和练习中出现的错误，要认真分析原因，特别是符号错误和底数判断错误，建立错题本，避免再犯。 培优练习 一、选择题 1．中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 2．下列算式中，运算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各数：，负数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（　　） A． B． C． D． 5．2023年全国人口普查显示，中国人口总量已经突破14亿人，并且呈现出老龄化趋势。这一数字较上一次人口普查时增长了1.41亿人，平均年增长率为0.53%。14亿用科学记数法表示为1.4×10n，则n的值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．用四舍五入法按要求对取近似值，其中错误的是（　　） A．（精确到十分位） B．（精确到千分位） C．（精确到） D．（精确到） 7．用四舍五入法对2.0603取近似值，精确到0.001的结果是（　　） A．2.060 B．2.603 C．2.061 D．2.06 二、填空题 8．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”． 某书生用此方法来记录自己读书的天数，如图1，他在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，表示的天数为38天，按同样的方法，图2表示的天数是　 　． 9．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制一般不标注基数．不同进位制的数之间是能相互转换的．将二进制数1011转换为十进制的方法是：；将十进制数11转换为二进制可以用这样的方法：除二取余，倒叙排列．即：将一个十进制数11除以2，得到的商再除以2，依此类推直到商等于1或0时为止，倒取除二产生的余数，就为换算为二进制数的结果．具体如下： 我们能看到十进制数11除以2得到的余数依次为1，1，0，1，倒叙排列就是对应的二进制数1011，即．依照前面的方法，则十进制数，则括号内应填写的数是． 10．港珠澳大桥全长55000米，数据55000用科学记数法表示为　 　． 11．把精确到的近似数是　 　． 12．近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，用四舍五人法取近似数，数据9.645 (精确到0.1) ≈　 　. 参考答案 1．C 2．C 3．C 4．A 5．D 6．C 7．A 8．67 9．1000100 10．5.5×104 11． 12．9.6. 学科网（北京）股份有限公司 $$