第08讲 绝对值三角不等式（5种题型）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第一册）

第08讲 绝对值三角不等式（5种题型） 【知识梳理】 绝对值三角形不等式 如果是实数，则 注：当为复数或向量时结论也成立. 推论1： 推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立. 【考点剖析】 题型一：根据绝对值三角形不等式求参数的值或范围 例1.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_________. 【变式1】已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，则m的取值范围为________． 【变式2】已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 【变式3】若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是________ 【变式4】若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为______. 【变式5】若对任意，存在实数，使得成立，则实数的最小值是__________. 题型二：绝对值三角不等式的实际应用 例2.垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东西，南北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点，，，，，为垃圾回收点，请确定一个格点（除回收点外）________为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短 【变式】两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次，要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处? 题型三：根据绝对值三角不等式证明 例3.已知 求证：. 【变式1】已知 ，求证 【变式2】已知 求证：。 题型四：有关绝对值三角不等式综合 例4.已知函数． （1）求函数的最小值； （2）解不等式． 【变式1】（1）解不等式：； （2）设集合P表示不等式对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P； （3）设关于x的不等式的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式.与|的解都属于A，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a的所有值. 【变式2】求解下列问题. （1）运用三角不等式证明：，，并指出等号取到的充要条件； （2）已知关于x的不等式有实数解，求实数m的取值范围. 题型五：不等式恒成立问题 例5.已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【变式】已知函数恒成立． （1）求的取值范围； （2）若的最大值为，当正数、满足时，求的最小值． 【过关检测】 一、单选题 1．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）函数的最小值及取得最小值时的值分别是 A．1， B．3，0 C．3， D．2， 2．（2022·上海·高一专题练习）对于 ，下列结论正确的是( ) A．当 异号时，左边等号成立 B．当 同号时，右边等号成立 C．当 时，两边等号均成立 D．当 时，右边等号成立；当 时，左边等号成立 3．（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 4．（2022·上海·高一专题练习）已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是 A．|a+b|≥a－b B． C．|a+b|<|a|+|b| D． 5．（2022·上海·高一专题练习）已知，，，则m，n之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·上海·高一专题练习）若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2022秋·上海·高一阶段练习）若、为非零实数，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·高一单元测试）已知，则“或”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 9．（2022秋·上海静安·高一上海市市西中学校考期中）关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）定义在正整数集上的函数，其最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023秋·上海杨浦·高一校考期末）如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________. 12．（2022·上海·高一专题练习）函数的最小值等于__________． 13．（2022·上海·高一专题练习）若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是________. 14．（2022·上海·高一专题练习）三角不等式中，等号当且仅当________成立