山东省枣庄滕州市2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟一

**基本信息** 高一下学期数学期末模拟卷，涵盖立体几何、概率统计、向量等核心模块，解答题如统计直方图分析（第19题）、立体几何折叠与二面角证明（第22题），体现空间观念与数据意识，适配期末综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|正棱台判定（第1题）、互斥事件（第2题）|基础概念辨析，强化数学眼光| |多选|4/20|向量投影（第10题）、复数性质（第9题）|多角度能力考查，发展推理意识| |填空|4/20|正方体动态问题（第15题）|情境开放，培养空间观念| |解答|6/70|频率分布直方图（第19题）、二面角证明（第22题）|综合应用，提升数学语言表达与问题解决能力|

少年自有凌云志，不负流年行致远 高一下学期数学期末模拟一6.19 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.下列说法正确的是(    ) A. 三个点可以确定一个平面 B. 若直线a在平面外，则a与无公共点 C. 用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D. 斜棱柱的侧面不可能是矩形 2.如果从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”(    ) A. “至少有一个黑球”与“都是红球 B. “至少有一个黑球”与“都是黑球” C. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D. “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 3.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位临湘市居民，他们的幸福感指数为7，3，5，6，7，4，8，9，5，则这组数据的分位数是(    ) A. B. 8 C. 9 D. 4. 已知棱台的上下底面均为有一个角为的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（ ）A. B. C. D. 5.如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是    A. 0 B. C. D. 6.AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，，则    A. B. C. D. 7.(     ) A. B. C. D. 8.已知A、B、C三点均在球O的表面上，，且球心 O到平面ABC的距离为2，则球O的内接正方体的棱长为(    ) A. 1 B. C. 2 D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 9(多选).已知复数：满足，则    A. B. z的虚部为 C. z的共轭复数为 D. z是方程的一个根 10(多选)..若向量，，下列结论正确的是    A. 若，同向，则 B. 与垂直的单位向量一定是 C. 若在上的投影向量为是与向量同向的单位向量，则 D. 若与所成角为锐角，则n的取值范围是 11(多选).在平面直角坐标系中，已知点，，，则(    ) A. B. 是直角三角形 C. 以OA，OB为邻边的平行四边形的顶点D的坐标为 D. 与垂直的单位向量的坐标为或 12.(多选)..已知等边三角形ABC的边长为6，M，N分别为AB，AC的中点，如图所示，将沿MN折起至，得到四棱锥，则在四棱锥中，下列正确的是     A. 当四棱锥的体积最大时，二面角为直二面角 B. 在折起过程中，存在某位置使平面 C. 当四棱锥体积的最大时，直线与平面MNCB所成角的正切值为 D. 当二面角的余弦值为时，的面积最大 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 14.在正四棱锥中，，用平行于正四棱锥底面的平面截去一个高为的四棱锥后，所得棱台的体积为      . 15.如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上一动点不与，B重合， 则下列命题中： ①平面平面； ②一定是锐角； ③； ④三棱锥的体积为定值.其中真命题的有      . 16.棱长为1的正四面体的中心为O，S是该正四面体表面的点构成的集合，，若集合T恰有4个元素，则r的值为      注：正四面体，是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形 四、解答题：本题共6小题，共70分. 17.某学校在端午节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜.现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中甲、乙分别猜对12道、15道.假设猜对每道灯谜都是等可能的. 从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； 从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知，， 求c；设D为BC边上一点，且，求的面积． 19.某高校在2013 年的自主招生考试成绩中随机抽取40 名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1 组，，第2 组，，第3 组，，第4 组，，第5 组，，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85 分以上含85 分的学生为“优秀”， 成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格． Ⅰ求出第4 组的频率，并补全频率分布直方图； Ⅱ根据样本频率分布直方图估计样本的中位数； Ⅲ如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5 人，再从这5 人中选2 人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？ 20.已知复数，其中i是虚数单位，m，，R 若为纯虚数，求实数m的值； 若，求实数的取值范围. 21.如图，在平行四边形ABCD中，点P、Q分别为线段BC、CD的中点. 若，求，的值； 若，，，求与夹角的余弦值. 22.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，平面平面PCD，是边长为2的正三角形，，E是PC中点，过点A，B，E的平面与PD交于点 求证：； 求证：； 求二面角的正切值. 高一下学期数学期末模拟答案和解析6.19 1.C 2.D 3. A 4. D5.B6.B 7.A 8.D 9. AD 10. AC 11. ABD 12. ACD  13. -6  14.  15.【答案】①③④． 16.  4.【答案】D【解析】 【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积. 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为 5. B  解：设正三棱柱底面边长为，则，设，交于M，取BC中点为N， 则，，异面直线与所成角为或其补角， 在中，，，， 则，所以异面直线与所成角的余弦值等于， 12. 解：如图，取MN中点F，易得，由于四边形BCNM的面积为定值，要使四棱锥的体积最大，即高最大，当面BCNM时，此时高为最大，二面角为直二面角，A正确；若平面，平面，则，又，， 则，又，，故不成立，即不存在某位置使平面，B错误；由上知，当四棱锥的体积最大时，即二面角为直二面角，面BCNM，此时直线与平面 MNCB所成角即为，易得四边形BCNM为等腰梯形，取BC中点D，易得，且，故，又，故，C正确；如图，取MN中点F，易得，取BC中点D，易得， 故即为二面角的平面角，即， 故， 又，解得， 又，故， 又此时为等腰直角三角形， 面积最大为，故D正确. 14. 解：如图，在正四棱锥中，， ， 已知，，，则 所得棱台的体积为 15.【答案】①③④．  【解析】解：平面，平面平，①正确；若P是上靠近的一个四等分点，，此时，， 此时为钝角，②错；而，，所以，且 ，，所以平面，平面，因此，③正确； 由于，则平面，因此的底面是确定的，高也是定值， 其体积为定值，④正确． 16.【答案】  解：由题意“集合T恰有4个元素”可知，所求的r即为正四面体内切球的半径， 首先计算正四面体的体积：过点C作于E点，过点A作于F点， 则：， 由于F点是的中心，，设四面体的高为H，则：， ，进而有： ，再求三棱锥的体积：， 由等体积法得：， ，解得： 17. 设“任选2道灯谜，甲都猜对”， 用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道， 则样本空间，，，， 根据古典概型的概率计算公式，得； 设“任选一道灯谜，甲猜对”，“任选一道灯谜，乙猜对”， “任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”，根据题意可得，，，，， ，且，互斥，又甲、乙两位选手独立参加竞猜，，C相互独立，从而，C相互独立，B，也相互独立，，即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为 18.解：由已知条件可得，，所以，在中，由余弦定理得，即，解得舍去或 如图，由题设可得，所以，故面积与面积的比值为，又的面积为，所以的面积为  19.【答案】解：其它组的频率为， 所以第4组的频率为，频率分布图如图：  设样本的中位数为x，则，  解得，所以样本中位数的估计值为， 依题意良好的人数为人，优秀的人数为人 优秀与良好的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人 ， 记“从这5人中选2人至少有1人是优秀”为事件M，将考试成绩优秀的三名学生记为A，B，C，考试成绩良好的两名学生记为a，b  .从这5人中任选2人的所有基本事件包括：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个基本事件，事件M含的情况是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个，所以  20.【答案】解：为纯虚数， 解得 (2) 由， 得 ，当时，，当时，， 实数的取值范围是 21.解：根据题意：，，且，， ，且，； ，且，，， ， ， ，  22.【答案】解：证明；底面ABCD是菱形，，平面PCD，平面PCD， 平面PCD，平面平面，平面ABEF，； 证明：由知，，，是PC中点，是PD中点， 是正三角形，，平面平面PCD，平面平面，平面PAD， 平面PCD，平面PCD，，，； 过F作于H，连接AH，由知平面PCD，又平面PCD，平面PCD， ，，，平面AFH，平面AFH， 平面AFH，平面AFH，，就是二面角的平面角， 在正三角形PAD中，，，在中，，，， 在中，，在中，， 二面角的正切值为  第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $