山东菏泽市郓城县第一中学2025-2026学年高一下学期第二次定时训练数学试题

**基本信息** 高一数学必修第二册定时训练，涵盖概率、向量、立体几何等模块，以乡村旅游消费统计（解答题17）、立体几何动态问题（解答题18）等真实情境设计，注重逻辑推理与数学应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|概率独立事件、向量平行、复数虚部、立体几何线面关系|第5题反证法判断线线位置关系，培养逻辑推理| |多项选择题|3/18|概率互斥独立、解三角形性质、正方体轨迹问题|第11题结合正方体动点轨迹，考查直观想象| |填空题|3/15|斜二测面积、正四棱台体积、向量数量积|第14题等边三角形动态点问题，渗透数学建模| |解答题|5/77|向量夹角、解三角形与重心、统计分位数与概率、立体几何体积与二面角|17题乡村旅游消费统计分析，体现数学应用；19题二面角计算，综合考查运算与推理|

高一数学下第二次定时训练 （考试范围：人教A版高中数学必修第二册） 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.7.若两人同时独立射击，则他们两人至多一次击中靶的概率是（    ） A．0.56 B．0.44 C．0.5 D．0.06 2．已知向量，，，若// ，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 5．已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线．若m，n均与l既不平行．也不垂直，则m与n的位置关系是（    ） A．可能垂直，但不可能平行B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行D．既不可能垂直，也不可能平行 6．过所在平面外一点，作平面，垂足为，连接、、．下列说法不正确的是（    ） A．若，，则是边的中点 B．若点到三条边的距离相等，则点是的内心 C．若，，，则点是的垂心 D．若、、与平面所成的角均相等，则点是的重心 7．在△ABC中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（    ） A． B．A与互斥 C．A与相互独立 D． 10．在△ABC中，角所对的边分别为下列结论正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则 C．若，三角形面积，则 D．若，则为等腰三角形 11．在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线D．三棱锥的体积为定值 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______ 13．若正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为，则其体积为________. 14．已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知，，， （1）求与的夹角； （2）求； （3）若，，求的面积． 16．（15分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，且的面积为，求b，c． (3)在（2）的条件下，设的重心为，过点的直线与边，分别交于，，求证：的值为一个常数． 17．（15分）为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图. (1)试估计消费金额的84%分位数. (2)若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率. (3)为吸引顾客，该村特推出两种促销方案. 方案一：每满80元可减8元； 方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折. 若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠. 18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. （1）平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． （2）若，为线段的三等分点，求多面体的体积． 19．（17分）如图，在直三棱柱中，，，点是线段的中点，连接． (1)求证：平面 (2)设平面与平面的交线为直线．求证： (3)若，求二面角的正弦值． 高一数学6月阶段性测试【参考答案】 （考试范围：人教A版高中数学必修第二册） 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【分析】根据对立事件及独立事件乘法公式计算即可. 【详解】他们两人至多一次击中靶的对立事件为他们两人都击中靶， 所以他们两人至多一次击中靶的概率是.故选：B 2．【答案】C 【详解】由题意得，，若，则，解得． 3．【答案】D【分析】根据复数的除法化简可得，根据复数的概念即可求解. 【详解】复数满足，则， 所以复数的虚部是.故选：D 4．D【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图： 依题意可知：，，，则：， ∴，， ∴．故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴．故选：D. 5．D【详解】解：①假设m⊥n，因为n与l既不垂直，也不平行，所以n∩l＝O,过O在β内作直线c⊥l，如图所示因为α⊥β，所以c⊥α，又因为m⊂α，所以c⊥m,又因为m⊥n，c∩n＝O，所以m⊥β，l⊂β，所以m⊥l这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立所以m与n不垂直，同理n与m也不垂直； ②假设m∥n，则m∥β，m⊂α，α∩β＝l所以m∥l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾 故假设不成立，所以m与n不平行．综上所述，m与n的位置关系是既不可能垂直，也不可能． 故选：D． 6．ABC【详解】对于A，如图，连接，因，平面，垂足为，易得， 则有，故点为的外心，因，可得点为边的中点，故A正确； 对于B，过点分别作，垂足分别为，连接， 则，因平面，平面， 则，易得， 则，又由平面，平面，则 又因平面，故平面， 因平面，故，同理可得，故点是的内心，即B正确； 对于C，如图，连接延长交于点，连接延长交于点，连接延长交于点.因，，且平面，则平面，因平面，则，因， 平面，则平面，因平面，故得，同理，即点是的垂心，故C正确；对于D， 如图，连接延长交于点，连接延长交于点，连接延长交于点.因平面，则分别是在平面上的射影，则分别是、、与平面所成的角，由，易得，即得，故点为的外心，故D错误.故选：D. 7．【答案】A【分析】先利用面积相等求出，再结合余弦定理可得答案或建立直角坐标系，分别求出D，E坐标，再利用两点间距离公式，即可求值. 【详解】方法一：因为，，，所以的面积为； 因为AD是的角平分线， 所以， 解得. 在中，，， 所以 ， 即.  故选：A. 8．【答案】A【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．【答案】ACD 【分析】利用古典概型求出，即可判断A；根据互斥事件的定义即可判断B；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据事件表示第一次或第二次为奇数，求出此事件的对立事件的概率即可求出，即可判断D. 【详解】解：由题意可得， 所以，故A正确； 因为事件可以同时发生，故两事件不是互斥事件，故B错误； 因为事件互不影响，所以为相互独立事件，则， 因为事件表示第一次为奇数且第二次为奇数， 所以，又，所以A与相互独立，故C正确； 事件表示第一次或第二次为奇数，它的对立事件为第一次和第二次都是偶数， 所以，故D正确.故选：ACD. 10．【答案】BC 【分析】对于A，根据余弦定理，判定为锐角即可求解； 对于B，根据大角对大边，及正弦定理求解； 对于C，利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可求解； 对于D，根据正弦定理的边角化，再利用倍角公式及角的范围即可求解. 【详解】对于A，由余弦定理得所以为锐角，但是角的大小不清楚，所以不能判定为锐角三角形，故A不正确； 对于B，在中，，则，由正弦定理得，， 即，故B正确； 对于C，由，，得，解得，由余弦定理得，所以， 故C正确； 对于D，由及正弦定理，得，即， 因为，所以或，解得或，所以为等腰三角形或为直角三角形，故D不正确.故选：BC. 11．【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面，所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．【答案】 【分析】先求出直观图矩形的面积，再根据原图形与直观图面积关系求出四边形的面积. 【详解】由题意，， 原图形面积与斜二测直观图形面积之间的关系为，可得． 13．【答案】/ 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式可求解. 【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示： 为正四棱台， 连接，得， 过作，过作， 得：，, 在直角三角形中，得， 得正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为， 所以体积,故答案为：. 14．【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标和的坐标，利用数量积的坐标计算公式可求得，再设出点，根据，用来表示，再将表示成关于的函数表达式,然后求解最小值. 【详解】建系如图所示 因为是边长为2的等边三角形，，. . 设，. . ，，. . 当时，取得最小值，最小值为. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（1）∵，∴． 又，，∴， ∴．∴，又，∴． （2），∴. （3）与的夹角，则， 故，∴， ，，∴． 16．【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即，即， 所以． 即，又，则， 整理得，即，所以， 又，所以所以，则． （2）由，，得． 由余弦定理得， 则，所以，解得． （3）由（2）可知为等边三角形， 连接并延长，交于，则是的中点， 设，， ， 则，①， 又，②， 所以，． 因为，，三点共线，故存在实数，使， 即，所以，所以，又， 则， 即，即的值为常数； 17．【详解】（1）先计算各区间的频率： ：频率为；：频率为； ：频率为；：频率为； ：频率为；：频率为...........2分 因为，...........3分 所以消费金额的分位数位于之间. 由...........5分 所以消费金额的分位数为. （2）消费金额在[80，100)内的3个“水果达人”记为A，B，C， 消费金额在[100，120]内的2个“水果达人”记为a，b............6分 所有样本点有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种， 2人中至少有1人购买金额不低于100元的有7种，...........8分 设事件：2人中至少有1人消费金额不低于100元，则............10分 （3）游客按方案一，购买10千克水果，需花费：元；...........12分 按方案二，购买10千克水果，需花费：元............14分 所以游客应该选择方案二更优惠............15分 18．解法一：（1）平面与平面互相垂直, 理由如下：因为底面,平面,所以． 因为为正方形,所以又,且平面,所以平面．因为平面,所以 因为,为线段的中点,所以, 又,且平面, 所以平面, 因为平面,所以平面平面． （2）因为底面,为线段的中点,所以点到底面的距离为, 则, 又为线段的三等分点, 当时,, 所以多面体的体积为； 当时,, 所以多面体的体积为．综上,多面体的体积为或. 解法二：（1）平面与平面互相垂直, 理由如下：因为底面,平面,所以平面底面, 又平面底面,,平面,所以平面． 因为平面,所以因为,为线段的中点,所以,又,且平面,所以平面, 因为平面,所以平面平面 19．【详解】（1）由为的中点，，则，易知， 在三棱柱中，易知，， 则，故，..........1分 在三棱柱中，由，则，..........2分 由平面，平面，则，..........3分 因为，平面，所以平面，..........4分 因为平面，所以，..........5分 因为，平面，所以平面...........6分 （2）在三棱柱中，，..........7分 因为平面，平面，所以平面，..........9分 因为平面平面，平面，所以...........10分 （3）由题意，将三棱柱补形成四棱柱，如下图：其中底面为正方形，为的中点， 由（1）可知平面，且，则平面， 在四棱柱中，易知，则平面， 因为平面，所以， 由（1）可知平面，且平面，所以， 所以为二面角的平面角，..........12分（找出二面角的平面角给2分） 在四棱锥中，平面， 因为平面，所以，..........13分 易知，，..........15分 所以，则二面角的正弦值为...........17分 第1页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $