山东泰安市泰山区2025-2026学年高一下学期数学期末考前冲刺模拟练习

**基本信息** 该模拟卷聚焦高一下学期核心知识，结合航天任务、旅游交通等现实情境，通过向量运算、立体几何、概率统计等模块，考查数学抽象、空间观念与数据意识，实现基础巩固与能力提升的梯度训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量概念、斜二测画法、概率互斥|基础概念辨析，如共线向量定义判断| |多选题|3/18|复数运算、线面位置关系|多角度考查，如结合模的几何意义判断复数区域| |填空题|3/15|共轭复数、三棱锥外接球、古典概型|空间想象与数据处理，如旅游拥堵概率估计| |解答题|5/77|向量投影、立体几何折叠、频率分布直方图|综合应用，如航天知识测试成绩的平均数与概率计算，体现数学思维与语言表达|

山东省泰安市泰山区2026年高一下学期期末考前冲刺模拟练习 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．（本题5分）若，且，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A．1 B． C． D．3 4．（本题5分）已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 7．（本题5分）已知正四棱台的体积为14，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）某研究小组为了解某市高中生自主阅读情况，随机调查了2000名学生的每周自主阅读时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3.则以下说法中错误的是（    ） A． B．估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时 C．样本的极差介于6小时至10小时之间 D．估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是6.5小时 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列关于非零复数、的结论正确的有（   ） A．若，则、互为共轭复数 B． C．在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为 D．若，则 10．（本题6分）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．（本题6分）下列命题正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则在上的投影向量为 D．两个非零向量的夹角是锐角的充要条件是 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知复数，则z的共轭复数_________. 13．（本题5分）在三棱锥中，，且，E，F分别是PC，AC的中点，，则三棱锥外接球的表面积为______． 14．（本题5分）随着暑期临近，旅游也进入了旺季.某城市为预测今年7月18，19，20日这三天因游客人数而导致的交通拥堵情况，用计算机生成了25组随机数，结果如下： 若用表示交通拥堵，用4，5，6，7，8，9表示交通不拥堵，则这3天中恰有2天交通拥堵的概率估计是___________. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．（本题15分）一副三角板如图所示的方式拼接，将折起，使得二面角为直二面角，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 17．（本题15分）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 18．（本题17分）2025年5月22日16时49分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约8小时．安全返回天和核心舱．为了弘扬航天精神，某校组织高二学生进行了航天知识能力测试．现随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (3)该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率． 19．（本题17分）如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，D，E分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：直线平面； (3)求二面角大小的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市泰山区2026年高一下学期期末考前冲刺模拟练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D C B D D BC BC 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据向量的相关概空可判断AC的真假；根据零向量的概念可判断B的真假，根据共线向量的概念可判断D的真假. 【详解】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C 2．B 【分析】利用向量垂直的充要条件和向量数量积的定义求得，再结合两向量夹角的范围即得. 【详解】由可得， 解得，因，故. 故选：B. 3．D 【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系，再计算边长即可. 【详解】由题意可得还原后如下： 中，， 所以， 所以， ，，， 则. 4．D 【分析】根据互斥事件以及对立事件得概率公式计算即可. 【详解】由题可知：事件互斥，则，又， 所以，则. 故选：D 5．C 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】由题意：. 故选：C 6．B 【分析】对立事件是指两个事件不能同时发生且必有一个发生；互斥事件是指两个事件不能同时发生；相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响，即. 【详解】对于A，，所以与不为对立事件． 对于B，，，，相互独立． 对于C，，，，不相互独立． 对于D，事件为，所以与不为互斥事件． 故选：B. 7．D 【分析】作出图形，找到线面角，然后根据台体体积公式计算高度，最后求出即可. 【详解】如图：分别为下、上底面的中心，连接，作交于点M，    由题可知：， ，则， 又与平面所成角为，所以. 故选：D 8．D 【分析】A项，由已知频率可得关系；B项，由各组频率之和为与A项所得频率关系求解，由，估计第60百分位数值所在区间，再利用矩形面积计算估值即可；C项，由最大值与最小值的取值区间，再由不等式的性质可得极差范围；D项，样本平均数由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积（频率）的乘积之和近似代替，计算可得. 【详解】选项A，由每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3， 则，解得，故A正确； 选项B，由各组频率之和为得，， 联立解得， 故五组的频率分别为， 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 且， 设样本数据的第60百分位数值为，则， 由，解得， 故估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时，故B正确； 选项C，设样本数据中的最小值为，最大值为， 由频率分布直方图可知，最小值，最大值， 所以，则由不等式的性质可得极差， 即样本的极差介于6小时至10小时之间，故C正确； 选项D，由频率分布直方图样本平均数的近似值为， 估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是小时，故D错误. 故选：D. 9．BC 【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用共轭复数的定义和复数的运算可判断B选项；利用复数模的几何意义可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，则，但、不互为共轭复数，A错； 对于B选项，取，， 所以， ，B对； 对于C选项，因为， 所以表示以点为圆心，半径为的圆及其内部， 表示以点为圆心，半径为的圆及其外部， 所以点所在的区域如下图所示： 故点所在的区域的面积为，C对； 对于D选项，不妨取，，则， 但，，即，D错. 10．BC 【分析】根据线面、面面位置关系的判定定理和性质逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，若，，，则平行或异面，A错误. 对于B，若，，，则，B正确. 对于C，若，，则，C正确. 对于D，若，，则或与相交，D错误. 故选：BC 11．AC 【分析】应用模长关系计算结合垂直的向量表示判断A，应用特殊值法计算判断B，D，根据投影向量及向量数量积公式计算判断C. 【详解】为非零向量，且，左右两边平方得出， 所以，则，A选项正确； 当，则，则不一定是等腰三角形，B选项错误； 因为，所以，则在上的投影向量为，C选项正确； 当两个非零向量的夹角是0时，，但是两个非零向量的夹角不是锐角，所以D选项错误； 故选：AC. 12． 【分析】先根据复数的乘法得出复数，再应用共轭复数的定义求解. 【详解】因为复数， 则z的共轭复数. 故答案为：. 13． 【分析】证明线面垂直，得到，，两两垂直，三棱锥的外接球转化为以，，为长宽高的长方体的外接球，进而求出外接球半径和表面积. 【详解】因为，且，为公共边， 所以≌，故， 取的中点，连接，则⊥，⊥， 又，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为E，F分别是PC，AC的中点，所以 因为，即⊥，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 故， ，，两两垂直， 故三棱锥外接球等价于以，，为长宽高的长方体的外接球， 此外接球的半径为， 故三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 14． 【分析】根据古典概型的概率计算，利用列举法，可得答案. 【详解】若用0，1，2，3表示交通拥堵，用4，5，6，7，8，9表示交通不拥堵， 则这3天中恰有2天交通拥堵的随机数分别为： 015，802，631，135，134，206，371，141，153共9组， 因为一共有25组，所以概率估计为. 故答案为：. 15．(1), (2) 【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解； （2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据二面角为直二面角，得到平面平面，然后根据面面垂直的性质定理证明结论即可. （2）取的中点为，连接，先证明平面，然后利用等体积法求解点到平面的距离 【详解】（1）因为二面角是直二面角，所以平面平面， 平面平面，又因为在中，， 又平面，所以平面. （2） 记点到平面的距离为，取的中点为，连接， 因为，所以.同（1）可得平面， 由（1）平面，平面得，，即为直角三角形. 又因为和是直角三角形，， ，则，，. 所以 而， 又，解得. 17．(1) (2)15 【分析】（1）由条件根据余弦定理求，再结合的范围求结论； （2）由条件，结合正弦定理可求，由关系求，由此可得结论. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得． 因为，所以． （2）因为，， 由正弦定理可得． 由（1）可知， 所以，解得， 所以的周长为． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率和为1求得； （2）由频率直方图的平均数求法可求得本次航天知识能力测试成绩的平均数； （3）应用分层抽样等比例性质确定各组抽取的人数，再应用列举法求古典概型的概率. 【详解】（1）由题意可得，可得； （2）由题意可得， 本次航天知识能力测试成绩的平均数为. （3）由题意，，的频率比为， 设抽取的5人中有2人为、有3人为， 任抽2人有，共10种情况， 其中分数在，各一人有，共6种情况， 所以这2名同学分数在，各一人的概率为. 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用正三棱柱的性质得，，则证得线面垂直； （2）设，连接，由中位线定理得，从而可得线面平行． （3）找出二面角的平面角，在三角形中用余弦定理求解即可. 【详解】（1）取与的交点为， 由三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，可知三棱柱为正三棱柱， 故平面， 因为平面，所以， 因为为线段的中点，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为D，E分别为线段，的中点， 所以， 所以， 又因为， 所以 所以， 所以 又因为平面， 所以平面. （2）连接，且，连接 在中，O为中点，为中点，所以 因为平面平面 所以平面． （3）过点作于点，过点作于点， 由（1）知平面 平面，， 又， ，平面，平面 平面，， 又， ，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， 在中，由面积相等得， 即，解得，， 同理在中可求得，， 在中，， 在中，由余弦定理可得 ，， 在中，． 所以二面角大小的余弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $