专题19.3 实数（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“实数”核心知识点，系统梳理无理数的概念及常见形式，延伸至实数的分类、与数轴的关系、大小比较及混合运算，最终衔接科学记数法的表示、还原与综合计算，构建从概念到运算再到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于归纳12类典型题型，例题与变式题选自各地期中及模拟真题，如无理数概念辨析题培养抽象能力，估算大小题发展几何直观，实际应用题（如剪纸面积计算）体现应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，强化数学思维与表达能力。

专题19.3 实数（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 无理数的概念辨析与判断】 1 【题型2 估算无理数的大小范围】 2 【题型3 求无理数的整数和小数部分】 3 【题型4 无理数在数轴上的表示】 3 【题型5 探究无理数的运算规律】 4 【题型6 实数的分类与概念理解】 7 【题型7 实数的大小比较】 7 【题型8 实数的混合运算与化简】 8 【题型9 实数运算的实际应用】 9 【题型10 用科学记数法表示数】 10 【题型11 将用科学记数法表示的数还原为原数】 10 【题型12 科学记数法与乘方、乘除法的综合计算】 11 考点1 无理数 知识点1 无理数 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 【题型1 无理数的概念辨析与判断】 【例1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是________． 【变式1-3】（25-26七年级下·山西忻州·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【题型2 估算无理数的大小范围】 【例2】（25-26七年级下·重庆·期中）估计的值应在（） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式2-1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在中，最大的数是__________． 【变式2-2】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是_____点． 【变式2-3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）大于小于所有整数的和是（   ） A． B．4 C．0 D．3 【题型3 求无理数的整数和小数部分】 【例3】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）的整数部分是a，的整数部分是b，则a，b的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）介于两个相邻的整数之间，那么这两个整数的和为（   ） A．9 B．12 C．15 D．19 【变式3-2】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知：，其中是的整数部分，是的小数部分． (1)填空：的整数部分是______，小数部分是______； (2)求代数式的值． 【题型4 无理数在数轴上的表示】 【例4】（2025·湖南衡阳·二模）如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 【变式4-1】（25-26七年级下·广西北海·期中）我们把直径为1的圆从原点沿数轴向右滚动一周（如图所示），圆上的一点到达，表示的数是_____． 【变式4-2】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和，A是线段的中点，则点C所表示的实数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26七年级下·湖南郴州·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点 处，点表示的数为 ，设点所表示的数为． (1)写出的值． (2)求 的值． 【题型5 探究无理数的运算规律】 【例5】（25-26八年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【变式5-2】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【变式5-3】（25-26七年级下·山东滨州·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试直接写出用含的式子表示的等式（为正整数）； (3)请利用你在（2）中发现的规律，直接写出结果，直接写出的结果． 考点2 实数 知识点2 实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 知识点3 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 知识点4 实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 知识点5 实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 知识点6 实数的大小比较 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论： ①． ②． 【题型6 实数的分类与概念理解】 【例6】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26七年级下·四川德阳·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，2π，3.14159265，，（两个3之间依次增加一个0）． (1)有理数：{                    }； (2)无理数：{                    }； (3)正实数：{                    }； (4)负实数：{                    }． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 【变式6-3】（25-26七年级上·江西萍乡·期中）在，，，，，，，，，（每两个之间的个数逐次增加）中，正分数有个，非负整数有个，则_______． 【题型7 实数的大小比较】 【例7】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在三个数中，最大的是__________． 【变式7-1】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）实数与的大小关系是（    ） A． B． C．一样大 D．无法确定 【变式7-2】比较大小：______（填“”“ ”“ ”）． 【变式7-3】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数：，并用“”把它们连接起来． 【题型8 实数的混合运算与化简】 【例8】（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）计算： (1) (2)． 【变式8-1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算：． 【变式8-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考： 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如．善思小组的同学根据上述定义，求的值．解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：___________，___________． (2)求的值． (3)已知，求的值． 【题型9 实数运算的实际应用】 【例9】（25-26七年级下·陕西榆林·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【变式9-1】如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 【变式9-2】用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 【变式9-3】五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为________元． 考点3 科学记数法 知识点7 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，a是整数或小数，n是整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 【题型10 用科学记数法表示数】 【例10】（2026·安徽马鞍山·三模）人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026·安徽蚌埠·一模）2025年上半年，国内生产总值亿元，同比增长，其中亿用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【变式10-2】（2026·河南开封·模拟预测）经过近年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒）．数据“百亿分之一”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2026·河南周口·一模）据相关消息，中央广播电视总台2026年春节联欢晚会收视数据亮眼，截至2月17日8时，晚会全国电视直播总收视份额达，创下13年来新高，境内全媒体总触达亿次，同比增长．若数据亿用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【题型11 将用科学记数法表示的数还原为原数】 【例11】（2026·安徽滁州·一模）2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（    ） A．9.51亿 B．95.1亿 C．951亿 D．9510亿 【变式11-1】（2026·河南新乡·二模）春季是树木花粉的散播高峰期，杨树、柏树等风媒花花粉颗粒小、质量轻、产量大、传播远，极易被吸入呼吸道诱发过敏．一颗柏树花粉的直径仅约为．的原数为（     ） A．280000 B．2800000 C．0.0000028 D．0.000028 【变式11-2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达用科学记数法表示为米小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（    ）米/小时 A． B．2764800 C．27648000 D．276480000 【变式11-3】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天事业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要 ．将数据用小数表示为_______． 【题型12 科学记数法与乘方、乘除法的综合计算】 【例12】我国发射的海洋Ⅰ号气象卫星，进入预定轨道后，若地球运行的速度为米/秒，则运行秒走过的路程是_________米（用科学记数法表示） 【变式12-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）芯片是指封装好的、包含完整电路的半导体微小基片（通常是硅片），广泛应用于电子设备．近几年我国一直在芯片的工艺上进行技术攻坚，其中某芯片内核面积仅有，集成了约69亿个晶体管，平均每个晶体管占有面积约为多少平方毫米（结果用科学记数法表示，保留两位小数）？ 【变式12-2】（25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）通过“数控微雕”技术，技师们在一个直径只有一角硬币大小的金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一．若一根头发丝的直径大约为，且，则金属片上这个孔的直径为多少米？（结果用科学记数法表示） 【变式12-3】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）据统计，某地区平均每人每天大约产生千克垃圾，垃圾处理厂把所有垃圾压缩做成棱长为米的立方体，每个这样的立方体约重千克． (1)若该地区共有万人口，则该地区一天将产生多少千克垃圾？可做成多少个这样的立方体（用科学记数法表示）？ (2)在（1）的条件下，该地区一天产生的垃圾被压缩后共有多少立方米（用科学记数法表示）？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.3 实数（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 无理数的概念辨析与判断】 1 【题型2 估算无理数的大小范围】 4 【题型3 求无理数的整数和小数部分】 6 【题型4 无理数在数轴上的表示】 8 【题型5 探究无理数的运算规律】 10 【题型6 实数的分类与概念理解】 14 【题型7 实数的大小比较】 16 【题型8 实数的混合运算与化简】 18 【题型9 实数运算的实际应用】 20 【题型10 用科学记数法表示数】 23 【题型11 将用科学记数法表示的数还原为原数】 24 【题型12 科学记数法与乘方、乘除法的综合计算】 25 考点1 无理数 知识点1 无理数 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 【题型1 无理数的概念辨析与判断】 【例1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义和运算法则判断即可． 【详解】解： 若a是无理数，假设是有理数，则也为有理数，与是无理数矛盾，的相反数一定是无理数，故①正确； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ②错误； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ③错误； 综上，正确的结论只有个． 【变式1-1】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称”，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是无理数，故此选项符合题意； C．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； D．，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意． 【变式1-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是________． 【答案】2或64 【分析】本题主要考查了求立方根，求算术平方根，无理数的定义，根据题意可得只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是；当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则；当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数，若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为，则可推出x的值；若第三次取算术平方根的结果为时，可推出第一次取立方根的结果为，符合题意，据此可得答案． 【详解】解： 若取立方根后所得的结果为无理数，那么输出的结果不可能为， ∴只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是； 当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则； 当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数， 若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为， ∴第一次取算术平方根的结果为， ∴； 若第三次取算术平方根的结果为时，则第二次取立方根的结果为， ∴第二次取算术平方根的结果为，则第一次取立方根的结果为，不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：2或64． 【变式1-3】（25-26七年级下·山西忻州·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【答案】(1)无理数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据无理数的意义进行判断； （2）仿照阅读材料中的证明过程进行解答即可； （3）根据相反数的意义得，再根据立方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：是无理数； （2）证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数，，使得， ∴， 两边立方，得：， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 设（是正整数）， ∴，即， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴，都是偶数，与假设矛盾， 即不是有理数； （3）解：∵是无理数，且与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型2 估算无理数的大小范围】 【例2】（25-26七年级下·重庆·期中）估计的值应在（） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题用夹逼法估算无理数的范围，先找出与61相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，即， 不等式两边同时减3，得， 即， ∴的值在4到5之间． 【变式2-1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在中，最大的数是__________． 【答案】 【详解】解：根据实数大小比较法则：负数小于，小于正数，且，即 则， 因此最大的数是． 【变式2-2】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是_____点． 【答案】 【分析】先估算的值，即可判断． 【详解】解：， ， ， 数轴上表示实数的点可能是点． 【变式2-3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）大于小于所有整数的和是（   ） A． B．4 C．0 D．3 【答案】A 【分析】分别估算出、的取值范围，找出所有整数，再计算求和． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴大于且小于的整数有：，，，，0，1，2，3， ∵， ∴大于小于所有整数的和是． 【题型3 求无理数的整数和小数部分】 【例3】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）的整数部分是a，的整数部分是b，则a，b的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，正确估算是解答本题的关键．通过估算求出a、b的值即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的整数部分是a， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵的整数部分是b， ∴ ∴． 【变式3-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）介于两个相邻的整数之间，那么这两个整数的和为（   ） A．9 B．12 C．15 D．19 【答案】A 【分析】通过计算相邻整数的立方，确定的取值范围，得到两个相邻整数后计算它们的和即可． 【详解】解：∵，， 又∵ ， ∴， 即， ∴介于的两个相邻整数是和， ∴两个整数的和为． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的整数部分的有关计算，求代数式的值． 通过估算和的范围，确定的整数部分和的小数部分，再计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为 12， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【变式3-3】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知：，其中是的整数部分，是的小数部分． (1)填空：的整数部分是______，小数部分是______； (2)求代数式的值． 【答案】(1)4， (2)16 【分析】本题考查了代数式求值、无理数整数部分的有关计算： （1）先算整数部分，减去整数就是小数部分； （2）先算出，代入代数式计算． 【详解】（1）解：， 的整数部分是， 小数部分是． （2）解：是的整数部分，是的小数部分 ∴，， 则 ． 【题型4 无理数在数轴上的表示】 【例4】（2025·湖南衡阳·二模）如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意得出，结合数轴即可求解． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 【变式4-1】（25-26七年级下·广西北海·期中）我们把直径为1的圆从原点沿数轴向右滚动一周（如图所示），圆上的一点到达，表示的数是_____． 【答案】π 【分析】根据圆的周长公式计算出圆滚动一周的距离，再根据数轴上点的平移规律（向右移动加）即可求解． 【详解】解： 圆的直径为 ， 圆的周长为， 圆从原点沿数轴向右滚动一周，起点表示的数为， 点表示的数为． 【变式4-2】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和，A是线段的中点，则点C所表示的实数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，再根据右边的点减去左边的点表示数轴上两点之间的距离，据此求解即可． 【详解】解：设点表示的数为， ∵点B关于点A的对称点为C， ，即， 解得， 点C所表示的实数为． 【变式4-3】（25-26七年级下·湖南郴州·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点 处，点表示的数为 ，设点所表示的数为． (1)写出的值． (2)求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴上点向右移动数值变大，用点表示的数加上移动的单位长度即可求出； （2）将的值代入式子，先判断绝对值内式子的正负去掉绝对值，再进行化简计算． 【详解】（1）解：由点表示的数为，蚂蚁向右爬行个单位长度到达点， ． （2）解：将代入得： ． 【题型5 探究无理数的运算规律】 【例5】（25-26八年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 【答案】 【分析】根据已知等式总结规律，将所求算式各项展开后，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：由已知各式可得规律：， 因此 ． 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 【变式5-2】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 【变式5-3】（25-26七年级下·山东滨州·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试直接写出用含的式子表示的等式（为正整数）； (3)请利用你在（2）中发现的规律，直接写出结果，直接写出的结果． 【答案】(1)，验证见解析 (2)（为正整数） (3) 【分析】（1）先观察已知等式的结构，猜想的结果，再通过计算验证猜想的正确性． （2）通过对比已知等式中序号、根号内分数分母与结果的关系，归纳出含正整数的通用等式． （3）先利用（2）的规律将每个根式化简，再结合裂项相消的规律，对式子进行求和计算． 【详解】（1）解：猜想：． 验证： . （2）解：通过观察等式①②③，可得规律： .（为正整数） （3）解： ． 考点2 实数 知识点2 实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 知识点3 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 知识点4 实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 知识点5 实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 知识点6 实数的大小比较 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论： ①． ②． 【题型6 实数的分类与概念理解】 【例6】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分数属于有理数，故正确表示它们之间的关系是A选项图形． 【变式6-1】（25-26七年级下·四川德阳·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，2π，3.14159265，，（两个3之间依次增加一个0）． (1)有理数：{                    }； (2)无理数：{                    }； (3)正实数：{                    }； (4)负实数：{                    }． 【答案】(1)，，，， (2)，，（两个3之间依次增加一个0） (3)，，，，（两个3之间依次增加一个0） (4)，， 【详解】（1）解：，， 有理数：{，，，，}； （2）解：无理数：{，，（两个3之间依次增加一个0）}； （3）解：正实数：{，，，，（两个3之间依次增加一个0）}； （4）解：负实数：{，，}． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 【答案】D 【分析】本题考查了圆周率的基本性质、有理数与实数的定义、数轴与实数的对应关系以及实数的大小比较，解题的关键是熟记无理数、实数的概念及数轴的性质，通过逐一验证每个选项的正确性得出答案． 先明确圆周率是无限不循环小数，属于无理数；再根据有理数、实数的定义判断选项A和D；依据“实数与数轴上的点一一对应”判断选项B；通过计算的近似值（约）与的近似值（约）比较，判断选项C． 【详解】解：A、∵是无限不循环小数，属于无理数，而有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，   ∴此选项不符合题意；   B、∵实数与数轴上的点一一对应，是实数，   ∴能在数轴上表示出来，此选项不符合题意；   C、∵，，且，   ∴，此选项不符合题意；   D、∵实数包括有理数和无理数，是无理数，   ∴是实数，此选项符合题意；   故选：D． 【变式6-3】（25-26七年级上·江西萍乡·期中）在，，，，，，，，，（每两个之间的个数逐次增加）中，正分数有个，非负整数有个，则_______． 【答案】 【分析】此题考查了实数的分类，有理数的分类，代数式求值，根据有理数的分类，分别求出非负整数和正分数的个数，再代入计算即可． 【详解】解：在给定的数中，正分数有，，，共个，故， 非负整数有，，共个，故； ， 故答案为：． 【题型7 实数的大小比较】 【例7】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在三个数中，最大的是__________． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，正数大于零，负数小于零；对于负数，绝对值大的反而小．据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 【变式7-1】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）实数与的大小关系是（    ） A． B． C．一样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查平方根与立方根的计算及实数的大小比较，关键是先计算出两个实数的值，再进行大小比较． 【详解】解：， ∴，即， ∵， ． 故选：A． 【变式7-2】比较大小：______（填“”“ ”“ ”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和无理数的估算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过比较分子的大小来确定分数的大小，由于分母相同，只需比较分子和1的大小，然后即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式7-3】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数：，并用“”把它们连接起来． 【答案】图见解析，． 【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴比较大小即可． 【详解】解：， 各数在数轴上表示为： 由数轴可得：． 【题型8 实数的混合运算与化简】 【例8】（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1)2 (2)3 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算：． 【答案】 【分析】利用算术平方根、立方根的定义先化简，再进行乘法运算，最后进行减法运算即可． 【详解】原式 ． 【变式8-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：． 【变式8-3】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考： 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如．善思小组的同学根据上述定义，求的值．解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：___________，___________． (2)求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据定义，直接可得到答案； （2）仿照例题求解，估算的大小，结合定义，即可求解； （3）根据进行化简，即可求解． 【详解】（1），； （2）， ． ， ． （3）据材料，得 ， ． 【题型9 实数运算的实际应用】 【例9】（25-26七年级下·陕西榆林·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 【变式9-1】如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 【答案】1.2平方米 【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。 【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则 剩下的木料的面积 ， ， ， ， （平方米） 答：剩下的木料的面积约为平方米． 【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系． 【变式9-2】用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 【答案】甲 【分析】根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【详解】∵ ∴ ∴，，该用电器是甲． 【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识． 【变式9-3】五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为________元． 【答案】25.2 【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可． 【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶 合计费用为：元 第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶 合计费用为：元 故选择第二种更划算，最低费用为25.2元 故答案为：25.2． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键． 考点3 科学记数法 知识点7 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，a是整数或小数，n是整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 【题型10 用科学记数法表示数】 【例10】（2026·安徽马鞍山·三模）人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，n的绝对值等于原数变为a时小数点移动的位数，原数绝对值小于1时，n为负整数，据此解答即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 【变式10-1】（2026·安徽蚌埠·一模）2025年上半年，国内生产总值亿元，同比增长，其中亿用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，形式为，其中，为原数的位数减一． 【详解】解：． 【变式10-2】（2026·河南开封·模拟预测）经过近年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒）．数据“百亿分之一”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定百亿的数值，再将百亿分之一转化为符合要求的科学记数法即可． 【详解】解：∵100亿， ∴百亿分之一为：， ∴． 【变式10-3】（2026·河南周口·一模）据相关消息，中央广播电视总台2026年春节联欢晚会收视数据亮眼，截至2月17日8时，晚会全国电视直播总收视份额达，创下13年来新高，境内全媒体总触达亿次，同比增长．若数据亿用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【详解】解：亿， ∴． 【题型11 将用科学记数法表示的数还原为原数】 【例11】（2026·安徽滁州·一模）2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（    ） A．9.51亿 B．95.1亿 C．951亿 D．9510亿 【答案】C 【分析】将科学记数法表示的数，换算为以亿为单位的数，利用亿的换算关系即可得到结果。 【详解】解：∵亿， 又 ， ∴元可表示为951亿元． 【变式11-1】（2026·河南新乡·二模）春季是树木花粉的散播高峰期，杨树、柏树等风媒花花粉颗粒小、质量轻、产量大、传播远，极易被吸入呼吸道诱发过敏．一颗柏树花粉的直径仅约为．的原数为（     ） A．280000 B．2800000 C．0.0000028 D．0.000028 【答案】D 【分析】利用的还原规则，将的小数点向左移动位即可得到原数． 【详解】解：对于科学记数法，还原为原数时，需要把的小数点向左移动位， 对于来说，只需将的小数点向左移动5位，即可得到原数为． 【变式11-2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达用科学记数法表示为米小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（    ）米/小时 A． B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法还原原数，掌握科学记数法中10的指数与小数点移动位数的关系是解题关键，将科学记数法表示的数还原，只需把a的小数点向右移动n位即可（n为10 的正指数）． 【详解】解：∵科学记数法（，n为正整数）还原原数时，需将a的小数点向右移动n位， ∴将中2.7648的小数点向右移动7位，得到27648000， 故选：C． 【变式11-3】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天事业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要 ．将数据用小数表示为_______． 【答案】 【详解】解：∵ ， ∴． 【题型12 科学记数法与乘方、乘除法的综合计算】 【例12】我国发射的海洋Ⅰ号气象卫星，进入预定轨道后，若地球运行的速度为米/秒，则运行秒走过的路程是_________米（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】此题考查科学记数法，有理数乘法计算，正确掌握各计算法则是解题的关键，利用路程＝速度×时间得到答案． 【详解】解：运行秒走过的路程是米, 故答案为． 【变式12-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）芯片是指封装好的、包含完整电路的半导体微小基片（通常是硅片），广泛应用于电子设备．近几年我国一直在芯片的工艺上进行技术攻坚，其中某芯片内核面积仅有，集成了约69亿个晶体管，平均每个晶体管占有面积约为多少平方毫米（结果用科学记数法表示，保留两位小数）？ 【答案】约平方毫米 【详解】解：， 即平均每个晶体管占有面积约为平方毫米． 【变式12-2】（25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）通过“数控微雕”技术，技师们在一个直径只有一角硬币大小的金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一．若一根头发丝的直径大约为，且，则金属片上这个孔的直径为多少米？（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】先根据题意求出这个孔的直径，再利用科学记数法表示出金属片上这个孔的直径即可． 【详解】解：， ， 答：金属片上这个孔的直径为． 【变式12-3】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）据统计，某地区平均每人每天大约产生千克垃圾，垃圾处理厂把所有垃圾压缩做成棱长为米的立方体，每个这样的立方体约重千克． (1)若该地区共有万人口，则该地区一天将产生多少千克垃圾？可做成多少个这样的立方体（用科学记数法表示）？ (2)在（1）的条件下，该地区一天产生的垃圾被压缩后共有多少立方米（用科学记数法表示）？ 【答案】(1)该地区一天将产生千克垃圾，可做成个这样的立方体 (2)该地区一天产生的垃圾被压缩后共有立方米 【分析】本题考查有理数的乘法、除法、乘方运算，以及科学记数法，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意列式计算，再用科学记数法表示即可； （2）根据题意列式计算，再用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：千克， 个， 所以该地区一天将产生千克垃圾，可做成个这样的立方体； （2）解：立方米， 所以该地区一天产生的垃圾被压缩后共有立方米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $