专题19.2 立方根（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题19.2 立方根 教学目标 1. 知道立方根的概念，会用数学符号表示数的立方根； 2. 会求一个数的立方根；利用立方根解方程； 3. 掌握立方根的特点与性质； 4. 由被开方数与它的立方根的数量关系，到总结立方根的小数点移动规律。 教学重难点 1.重点 （1）由立方到开立方；明确开立方与立方互为逆运算； （2）立方根的概念、表示；求一个数的立方根； （3）立方根的特点，并与平方根、算术平方根的特点对比理解。 2.难点 （1）立方根的性质及其应用； （2）立方根小数点移动问题； （3）立方根的综合应用。 知识点1 立方根 1.问题引入：有一个体积为1000 cm³的正方体纸盒，它的棱长是多少? 设这个正方体纸盒的棱长是x cm, 根据已知条件，得 z³=1000. 因为10³=1000,所以这个正方体纸盒的棱长是10cm. 这实际上是“已知一个数的立方，求这个数”的问题. 2.立方根 ①立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a, 即x³=a, 那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a 叫作被开方数. ②开立方：求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对64进行开立方运算，64是被开方数. 开立方和立方互为逆运算. ③立方根的表示：类似平方根，一个数a的立方根用符号“”表示. 【即学即练】 1．对于说法错误的是（    ） A．表示－8的立方根 B．结果等于－2 C．与的结果相等 D．没有意义 2．8的立方根是（    ） A．2 B． C． D．64 3．求下列各数的立方根： （1）；        （2）；        （3）；        （4）． 4．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 5．下列说法正确的是（    ）． A．是125的立方根 B．64的立方根是 C．是15.625的立方根 D．的立方根是 6．，则的值是（    ） A．8 B．2 C．9 D． 知识点2 立方根的特点与性质 1. 立方根的特点 ①正数的立方根是正数； ②0的立方根是0; ③负数的立方根是负数. ④任何一个数都有立方根，且只有一个立方根. 2.立方根的性质 3.立方根等于它本身的数是0或±1. 【即学即练】 1．下列说法中，正确的是（　　） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同 2．判断下列说法是否正确 （1）的立方根是-2． （2）是27的立方根． 李蕾认为（1）错误，（2）正确．请问李蕾的观点正确吗？如果不正确，请说明理由． 3．计算 ． 4．计算的正确结果是 A．-7 B．7 C．±7 D．无意义 5．一个数的立方等于它本身，这个数是 ． 6．如果一个数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（    ） A．0 B．正数 C．0和1 D．1 知识点3 立方根的小数点移动问题 1.被开方数与它的立方根的数量关系 问题： ( 1 ) 将 被 开 方 数 扩 大 为 原 来 的 1 0 0 0 倍 ，它的立方 根 如 何变 化 ? ( 2 ) 将 被 开 方 数 缩 小 为 原 来 , 它的立方根 如 何变 化 ? 2.立方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 . 【即学即练】 1．若，则 ， ． 2．（1）填表 （2）由上表可以发现：若被开方数扩大为原来的______倍，则他的立方根扩大为原来的______倍． （3）根据发现的规律填空：已知，则______，______． 题型01 求立方根 【典例1】．的立方根是（    ） A． B．2 C． D． 【变式1】．求下列各数的立方根： (1)－1000； (2)－343； (3)． 【变式2】．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)． 【变式3】．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型02 根据立方根解方程 【典例1】．求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【变式1】．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 立方根概念、表示综合辨析 【典例1】．表示（    ） A．5的负立方根 B．的立方根 C．5的立方根的相反数 D．的相反数 【变式1】．下列说法中，正确的是（   ） A．没有立方根 B．1的立方根是 C．是2的立方根 D．3的立方根是 【变式2】．下列说法正确的是（    ） A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．任何一个数的立方根都是非负数 D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根 【变式3】．下列语句正确的是（    ） A．的立方根是 B．是27的负的立方根 C．的立方根是2 D．的立方根是 题型04 求立方根的应用 【典例1】．－64的立方根是 ，－是 的立方根，－3的立方根是 ． 【变式1】．计算 ． 【变式2】．的立方根是 ，的立方根是 . 题型05 已知一个数的立方根，求这个数或参数 【典例1】．实数a的立方根是3，那么 ． 【变式1】．已知的立方根是，则 ． 【变式2】．若是的立方根，则的立方根是 【变式3】．根据如图中呈现的运算关系，可知的值为 ．    题型06 立方根等于它本身的数 【典例1】．一个数的立方根等于它本身，这个数是（   ） A．1 B． C．0或1 D．0或1或 【变式1】．平方根等于本身的数是 ． 算术平方根等于本身的数是 ． 立方根等于本身的数是 ． 题型07 立方根、平方根综合 【典例1】．填空： (1)1的平方根为 ，立方根为 ，算术平方根为 ； (2) 27的立方根是 ； (3) 的立方根为 ； (4) 的平方根为 ． 【变式1】．的算术平方根等于（    ） A．9 B． C．3 D． 【变式2】．16的平方根是 ，的立方根是 ． 【变式3】．下列说法中，错误的是（    ） A．8的立方根是±2 B．4的算术平方根是2 C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的数是±1，0 【变式4】．​的平方根是​，​的立方根是​，则的值为 ． 【变式5】．已知一个正数的平方根是和，则这个正数的立方根是 ． 【变式6】．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 【变式7】．已知x2＝1,求的值. 解：因为，所以 当时， 当时，无意义 所以的值是1 (1)错因: . (2)纠错: . 题型08 立方根的性质及其应用；含参问题 【典例1】．若，则的立方根是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．计算 ． 【变式2】．，则的值是（    ） A．8 B．2 C．9 D． 【变式3】．下列各数，立方根一定是负数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】．若，则m与n的关系是（    ）． A． B． C． D． 【变式5】．若和互为相反数，求的值． 【变式6】．若式子与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7】．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ． 题型09 立方根、平方根综合求参数问题 【典例1】．已知：的平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 【变式1】．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 题型10 立方根的实际应用 【典例1】．一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？扩大为原来的27倍呢？倍呢？ 【变式1】．小红做了棱长为5cm的一个正方体盒子，小明说：“我做的盒子的体积比你的大218 cm3”则小明的盒子的棱长为 cm 【变式2】．将这两个正方体按如图所示的方式叠放在一起．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，则小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为 ． 题型11 立方根小数点移动问题 【典例1】．若＝0.7160，＝1.542，则＝ ，＝ ． 【变式1】．(1)填表： a 0.000 001 0.001 1 1 000 1 000 000 0.01 0.1 1 10 100 (2)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：被开方数扩大_____； (3)根据你发现的规律填空： ①已知＝1.442，则＝______，＝______； ②已知＝0.076 97，则＝______． 【变式2】．(1)已知 , ， ，则 ； (2)已知 , ， ，则 ； (3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向 移动 位； (4)如果，则 ， ． 一、单选题 1．下面说法错误的是（    ） A．2是8的立方根 B．是64的立方根 C．是的立方根 D．的立方根是 2．若一个数的立方根是，则这个数是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算错误的是（  ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A．0 B．16 C．12 D．4 5． 的立方根是 （ ） A．2 B．2 C．8 D．-8 6．如果，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 7．若有个大的正方体木块，现把这个木块分割成个大小相同的小正方体木块，则的值可以是（    ） A．26 B．27 C．28 D．29 8．已知的算术平方根是12.3，的立方根是，的平方根是，的立方根是456，则和分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 9．的立方根是 ． 10．若，则 ． 11．若是的立方根，则的立方根是 12．若一个实数的平方根与立方根是相等的，则这个实数一定是 ． 13．有一个正方体集装箱，容积为，现准备将其改造扩充，以便放置更多的货物，其棱长增加 m，才能使容积达到． 14．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ． 三、解答题 15．求下列各式的值． (1) (2) (3) 16．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）． 18．已知2a+1的平方根是±3，1-b的立方根为-1． （1）求a与b的值； （2）求3a+2b的算术平方根． 19．一个长方体容器长20 cm，宽15 cm，在这个容器内放一立方体铁块，盛满水取出铁块后，水面下降了5 cm，求这个立方体铁块的棱长．(精确到0.01 cm) 20．如图，小明设计了一种程序图，根据程序图解决下列问题．    (1)当时，输出的y的值为______． (2)当输出的y的值为时，输入的x的值可以是______．（填写两个不同的x的值） (3)小明输入x的值后，发现得不到y的值，你能解释其中的原因吗？ 21．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ (2)①已知，则______； ②已知，则______； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，用含的代数式表示． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.2 立方根 教学目标 1. 知道立方根的概念，会用数学符号表示数的立方根； 2. 会求一个数的立方根；利用立方根解方程； 3. 掌握立方根的特点与性质； 4. 由被开方数与它的立方根的数量关系，到总结立方根的小数点移动规律。 教学重难点 1.重点 （1）由立方到开立方；明确开立方与立方互为逆运算； （2）立方根的概念、表示；求一个数的立方根； （3）立方根的特点，并与平方根、算术平方根的特点对比理解。 2.难点 （1）立方根的性质及其应用； （2）立方根小数点移动问题； （3）立方根的综合应用。 知识点1 立方根 1.问题引入：有一个体积为1000 cm³的正方体纸盒，它的棱长是多少? 设这个正方体纸盒的棱长是x cm, 根据已知条件，得 z³=1000. 因为10³=1000,所以这个正方体纸盒的棱长是10cm. 这实际上是“已知一个数的立方，求这个数”的问题. 2.立方根 ①立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a, 即x³=a, 那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a 叫作被开方数. ②开立方：求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对64进行开立方运算，64是被开方数. 开立方和立方互为逆运算. ③立方根的表示：类似平方根，一个数a的立方根用符号“”表示. 【即学即练】 1．对于说法错误的是（    ） A．表示－8的立方根 B．结果等于－2 C．与的结果相等 D．没有意义 【答案】D 【解析】略 2．8的立方根是（    ） A．2 B． C． D．64 【答案】A 【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案． 【详解】解：8的立方根是， 故选：A． 【点睛】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：的立方根是． 3．求下列各数的立方根： （1）；        （2）；        （3）；        （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先求解一个数的立方等于 利用立方根的含义可得答案； （2）先求解一个数的立方等于利用立方根的含义可得答案； （3）先求解一个数的立方等于利用立方根的含义可得答案； （4）利用立方根的含义表示的立方根，从而可得答案； 【详解】解：（1）因为， 所以的立方根是， 即； （2）因为， 所以的立方根是， 即； （3）因为， 所以的立方根是， 即； （4）的立方根是． 【点睛】本题考查的是求解一个数的立方根，掌握“立方根的含义”是解题的关键. 4．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)x＝1 【详解】（1）由，得 ，∴． （2）由，得 ，∴x＝1． 5．下列说法正确的是（    ）． A．是125的立方根 B．64的立方根是 C．是15.625的立方根 D．的立方根是 【答案】D 【分析】利用立方根的定义和性质依次判断即可； 【详解】解：A．是125的立方根，原选项计算错误； B. 64的立方根是，原选项计算错误； C. 是15.625的立方根，原选项计算错误； D. 的立方根是，原选项计算正确； 故选：D． 【点睛】本题考查立方根．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 6．，则的值是（    ） A．8 B．2 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，先根据立方根的定义得出关于a的方程，然后解方程即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 故选∶C． 知识点2 立方根的特点与性质 1. 立方根的特点 ①正数的立方根是正数； ②0的立方根是0; ③负数的立方根是负数. ④任何一个数都有立方根，且只有一个立方根. 2.立方根的性质 3.立方根等于它本身的数是0或±1. 【即学即练】 1．下列说法中，正确的是（　　） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同 【答案】D 【分析】立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．依此即可求解． 【详解】解：A、一个数的立方根只有1个，故选项错误； B、负数有立方根，故选项错误； C、一个负数有立方根，负数没有平方根，故选项错误； D、一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同是正确的，故选项正确． 故选D． 【点睛】考查了立方根．注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 2．判断下列说法是否正确 （1）的立方根是-2． （2）是27的立方根． 李蕾认为（1）错误，（2）正确．请问李蕾的观点正确吗？如果不正确，请说明理由． 【答案】李蕾的观点错误，理由见解析 【分析】根据立方根的定义进行计算即可得出答案. 【详解】李蕾的观点错误理由如下： 的立方根即8的立方根为2，故（1）错误； 27的立方根是3，故（2）错误. 综上所以李蕾的观点错误. 【点睛】本题考查的是立方根的知识，熟知立方根的计算方法是解题的关键. 3．计算 ． 【答案】 【分析】根据，即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查立方根的知识，解题的关键是掌握． 4．计算的正确结果是 A．-7 B．7 C．±7 D．无意义 【答案】A 【分析】根据开立方与立方互为逆运算的关系，求解即可. 【详解】因为=-7 ， 故本题答案应为：A. 【点睛】开立方与立方互为逆运算的关系是本题的考点，熟练掌握其关系是解题的关键. 5．一个数的立方等于它本身，这个数是 ． 【答案】0或±1． 【分析】根据立方的定义计算即可． 【详解】解：∵(﹣1)3＝﹣1，13＝1，03＝0， ∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1． 故答案为：0或±1． 【点睛】本题考查了乘方的定义，熟练掌握立方的定义是解题关键，注意本题要分类讨论，不要漏数． 6．如果一个数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（    ） A．0 B．正数 C．0和1 D．1 【答案】A 【分析】根据立方根和平方根的性质可知，只有0的立方根和它的平方根相等，解决问题． 【详解】0的立方根和它的平方根相等都是0；1的立方根是1，平方根是，一个数的平方根与它的立方根相等，则这个数是0． 故选：A. 【点睛】本题考查立方根；平方根，掌握立方根和平方根的定义是关键. 知识点3 立方根的小数点移动问题 1.被开方数与它的立方根的数量关系 问题： ( 1 ) 将 被 开 方 数 扩 大 为 原 来 的 1 0 0 0 倍 ，它的立方 根 如 何变 化 ? 扩大10倍 ( 2 ) 将 被 开 方 数 缩 小 为 原 来 , 它的立方根 如 何变 化 ? 缩 小 为 原 来 2.立方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 . 【即学即练】 1．若，则 ， ． 【答案】 【分析】根据立方根的性质，进行运算，即可求解． 本题考查了立方根的性质，解题的关键是：熟练掌握立方根的性质． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：12；． 2．（1）填表 （2）由上表可以发现：若被开方数扩大为原来的______倍，则他的立方根扩大为原来的______倍． （3）根据发现的规律填空：已知，则______，______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），． 【分析】本题考查立方根定义和性质； （1）根据立方根的定义进行计算即可求解． （2）由于被开方数的小数点的每移动三位，相应的立方根的小数点的相应移动一位，由此即可解决问题． （3）被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点就按同方向移动1位．利用此规律即可求解． 【详解】解：（1）填表 （2）由上表可以发现：若被开方数扩大为原来的倍，则他的立方根扩大为原来的倍． 故答案为：；． （3）根据发现的规律填空：已知，则，． 故答案为：，． 题型01 求立方根 【典例1】．的立方根是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】对﹣8进行开立方运算即可． 【详解】， －8的立方根是－2．     故选：A． 【点睛】本题主要考查立方根的定义，熟记一些常见的数的立方根是解题关键． 【变式1】．求下列各数的立方根： (1)－1000； (2)－343； (3)． 【答案】(1)－10 (2)－7 (3) 【解析】略 【变式2】．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查立方根的定义，熟练掌握定义是解题关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可； （2）根据立方根的定义进行计算即可； （3）根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）的立方根是，即； （2）的立方根是，即； （3）729的立方根是9，即． 【变式3】．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】利用立方根的定义解答． 【详解】解：（1）∵（0.3）3=0.027， ∴=-0.3； （2）∵， ∴=； （3）∵，， ∴=； （4）∵，， ∴=． 【点睛】此题考查求一个数的立方根，正确掌握立方根的定义是解题的关键． 题型02 根据立方根解方程 【典例1】．求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一个数的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把看做一个整体，再运用立方根的性质，得，即可作答． （2）方程两边同时乘上4，得，再把看做一个整体，再运用立方根的性质，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ 所以； （2）解：∵ ∴ ∴ 解得 【变式1】．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了利用立方根的性质解方程， （1）根据立方根的性质求解即可； （2）根据立方根的性质求解即可； （3）根据立方根的性质求解即可； （4）根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 题型03 立方根概念、表示综合辨析 【典例1】．表示（    ） A．5的负立方根 B．的立方根 C．5的立方根的相反数 D．的相反数 【答案】C 【分析】根据题意可知，表示5的立方根的相反数即可求解． 【详解】解：表示5的立方根的相反数 故选C 【点睛】本题考查了立方根，掌握立方根的表示方法是解题的关键． 【变式1】．下列说法中，正确的是（   ） A．没有立方根 B．1的立方根是 C．是2的立方根 D．3的立方根是 【答案】C 【分析】此题主要考查了立方根的定义，正确得出各数的立方根是解题关键．利用立方根的定义分别分析得出正确答案即可． 【详解】解：A、的立方根是，故此选项错误； B、的立方根是，故此选项错误； C、是2的立方根，故此选项正确； D、的立方根是，故此选项错误； 故选：C． 【变式2】．下列说法正确的是（    ） A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．任何一个数的立方根都是非负数 D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根 【答案】D 【分析】根据一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，结合选项即可作出判断． 【详解】A．一个数的立方根只有1个，故A错误； B．负数有立方根，故B错误； CD．正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，故C错误，D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了立方根的概念，解决本题的关键是熟练掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零． 【变式3】．下列语句正确的是（    ） A．的立方根是 B．是27的负的立方根 C．的立方根是2 D．的立方根是 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的概念，掌握如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于，那么这个数x就叫做a的立方根是解题的关键． 根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和立方根的概念解答即可． 【详解】解：A、的立方根是，故本选项错误，不合题意； B、是的立方根，一个数的立方根只有一个，故本选项错误，不合题意； C、，8的立方根是2，故本选项正确，符合题意； D、，1的立方根是1，故本选项错误，不合题意． 故选：C． 题型04 求立方根的应用 【典例1】．－64的立方根是 ，－是 的立方根，－3的立方根是 ． 【答案】 -4 【分析】根据立方根的定义分别进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， －64的立方根是－4；－是的立方根；的立方根是； 故答案为：－4；；． 【点睛】本题考查了立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根的定义进行解题． 【变式1】．计算 ． 【答案】 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【详解】∵（）3= ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查立方根，解题的关键是熟知立方根的定义． 【变式2】．的立方根是 ，的立方根是 . 【答案】 2 【分析】根据立方根的定义求解即可. 【详解】（1）83=512 ∴=8 又23=8 ∴的立方根=2； （2）-73=-343 ∴=-7 又（）3=-7 ∴的立方根= 【点睛】本题考查了立方根的定义. 题型05 已知一个数的立方根，求这个数或参数 【典例1】．实数a的立方根是3，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是已知一个数的立方根，求原数，根据立方根的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：∵实数a的立方根是3， ∴， 故答案为： 【变式1】．已知的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【变式2】．若是的立方根，则的立方根是 【答案】 【分析】先求出的值，即可进一步求解． 【详解】解：∵是的立方根 ∴ 即 ∴ 的立方根是 故答案为： 【点睛】本题考查了立方根的相关计算．掌握相关定义是解题关键． 【变式3】．根据如图中呈现的运算关系，可知的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，由图可知，左右数字变化为开立方运算，通过开立方为，而与为相反数且一个数的立方根只有一个进行分析判断，正确理解题意是解题的关键． 【详解】∵开立方为，与为相反数且一个数的立方根只有一个， ∴的立方根为， ∴， 故答案为：． 题型06 立方根等于它本身的数 【典例1】．一个数的立方根等于它本身，这个数是（   ） A．1 B． C．0或1 D．0或1或 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义，熟记一些特殊数的性质是解题的关键．根据特殊数的立方根直接找出，然后进行选择． 【详解】解：立方根等于它本身是0或． 故选：D． 【变式1】．平方根等于本身的数是 ． 算术平方根等于本身的数是 ． 立方根等于本身的数是 ． 【答案】 0 0和1 0和 【解析】略 题型07 立方根、平方根综合 【典例1】．填空： (1)1的平方根为 ，立方根为 ，算术平方根为 ； (2) 27的立方根是 ； (3) 的立方根为 ； (4) 的平方根为 ． 【答案】 ±1 1 1 3 －2 ±2 【分析】（1）由题意依次根据平方根和立方根以及算术平方根的性质进行分析计算即可； （2）由题意直接根据立方根的性质进行分析计算即可； （3）由题意直接根据立方根的性质进行分析计算即可； （4）由题意直接根据平方根的性质进行分析计算即可． 【详解】解：（1）1的平方根为，立方根为，算术平方根为， 故答案为：±1，1，1； （2）27的立方根是， 故答案为：3； （3）的立方根为， 故答案为：； （4）的平方根为， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查求一个数的平方根和立方根以及算术平方根，熟练掌握平方根和立方根以及算术平方根的性质是解题的关键． 【变式1】．的算术平方根等于（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据立方根、算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：因为， 所以=9， 因此的算术平方根就是9的算术平方根， 又因为9的算术平方根为3，即， 所以的算术平方根是3， 答案：C． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的定义，理解立方根、算术平方根的意义是得出答案的关键． 【变式2】．16的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 ±4 2 【分析】根据平方根和立方根的定义解答 【详解】16的平方根是，＝8，8的立方根是2， 故填：，2 【点睛】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【变式3】．下列说法中，错误的是（    ） A．8的立方根是±2 B．4的算术平方根是2 C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的数是±1，0 【答案】A 【解析】略 【变式4】．​的平方根是​，​的立方根是​，则的值为 ． 【答案】​或 【分析】利用平方根及立方根的定义求出​与​的值，即可确定出​的值． 【详解】解：​， ∴​的平方根​， ∵​的立方根是​， ∴​， ∴当时，； 当时，； ​或​． 故答案为：​或​． 【点睛】此题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解本题的关键． 【变式5】．已知一个正数的平方根是和，则这个正数的立方根是 ． 【答案】4 【分析】先根据一个数的两个平方根互为相反数得到的值，计算出这个正数，求得立方根即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得：， 则这个正数是， 即， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，正确理解概念是解答本题的关键． 【变式6】．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 【变式7】．已知x2＝1,求的值. 解：因为，所以 当时， 当时，无意义 所以的值是1 (1)错因: . (2)纠错: . 【答案】 错在认为负数没有立方根，漏掉了当x＝－1时，＝－1， 因为x2＝1，所以x＝±1.当x＝1时，＝＝1；当x＝－1时，＝＝－1，所以的值是1或－1. 【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可． 【详解】解：(1) 此题错在认为负数没有立方根，漏掉了当x＝－1时，＝－1； (2) 因为x2＝1，所以x＝±1. 当x＝1时，＝＝1； 当x＝－1时，＝＝－1， 所以的值是1或－1. 故答案为  (1). 错在认为负数没有立方根，漏掉了当x＝－1时，＝－1，    (2). 因为x2＝1，所以x＝±1.当x＝1时，＝＝1；当x＝－1时，＝＝－1，所以的值是1或－1. 【点睛】本题考查求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是解题的关键．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 像变式1、变式4中的算术平方根等于（ ）；的平方根是；它们有两层含义的数学运算：①数学符号的运算，如、；②数学文字语言的运算，如算术平方根、平方根等。 题型08 立方根的性质及其应用；含参问题 【典例1】．若，则的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义即可得出答案． 【详解】解：若，则的立方根是， 故选：A． 【变式1】．计算 ． 【答案】 【分析】根据，即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查立方根的知识，解题的关键是掌握． 【变式2】．，则的值是（    ） A．8 B．2 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，先根据立方根的定义得出关于a的方程，然后解方程即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 故选∶C． 【变式3】．下列各数，立方根一定是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：A．当时，，立方根不是负数，故本选项不符合题意； B．当a=0时，=0，立方根不是负数，故本选项不符合题意； C．当a为任意数时，则，所以立方根一定是负数，故本选项符合题意． C．当时，，则，立方根不是负数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了立方根，牢记“正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数”是解题的关键． 【变式4】．若，则m与n的关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的性质即可的解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查立方根的性质．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，． 【变式5】．若和互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据两个数的立方根互为相反数得出：2a－1=3b－1，推出2a=3b，即可得出答案． 【详解】∵和互为相反数， ∴+＝0， ∴2a－1+1－3b＝0， ∴2a－1＝3b－1， 2a＝3b， ∴=． 【点睛】本题考查了立方根和相反数的概念，关键是由两个数的立方根互为相反数得出两个数互为相反数． 【变式6】．若式子与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，即有，两边立方，即可得到一元一次方程，解方程即可求解x，问题随之得解． 【详解】根据题意可得：， 解得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数的定义，立方根以及解一元一次方程等知识，灵活利用立方根求解方程是解答本题的关键． 【变式7】．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ． 【答案】0或﹣1或﹣ 【分析】将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案. 【详解】∵﹣2x﹣1＝0， ∴＝2x+1， ∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣． 故答案为：0或﹣1或﹣． 【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键. 题型09 立方根、平方根综合求参数问题 【典例1】．已知：的平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义． （1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后利用立方根的定义即可求得答案． 熟练掌握其定义及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：的平方根是与，且的算术平方根是3， ，， 解得：，； （2）解：，， ， 的立方根是2． 【变式1】．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a、b，估算出的范围即可求出c； （2）将a、b、c的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答． 【详解】（1）∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴． （2）将，，代入得：， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握这三者的概念是关键． 题型10 立方根的实际应用 【典例1】．一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？扩大为原来的27倍呢？倍呢？ 【答案】2倍，3倍，倍 【分析】根据正方体的体积和棱长的关系以及立方根的定义可得答案． 【详解】解：设原正方体的棱长为，则体积为， 当其体积扩大到原来的8倍时，体积为，此时棱长为，比原来扩大了2倍， 当其体积扩大到原来的27倍时，体积为，此时棱长为，比原来扩大了3倍， 当其体积扩大到原来的倍时，体积为，此时棱长为，比原来扩大了倍． 【点睛】本题考查了立方根的定义及正方体体积与棱长之间的关系，熟练掌握立方根的定义是正确解答的关键． 【变式1】．小红做了棱长为5cm的一个正方体盒子，小明说：“我做的盒子的体积比你的大218 cm3”则小明的盒子的棱长为 cm 【答案】7 【分析】首先利用正方体的体积公式求出体积，再利用立方根的定义求值即可． 【详解】小红做的正方体的盒子的体积是53=125cm3． 则小明的盒子的体积是125+218=343cm3． 设盒子的棱长为xcm，则 x3=343 ∵73=343 ∴x=7 故盒子的棱长为7cm． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了正方体的体积等于边长的三次方和立方根的运算．解答本题的关键是要掌握好正方体的体积公式． 【变式2】．将这两个正方体按如图所示的方式叠放在一起．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，则小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了利用立方根的性质解决实际问题，利用正方体的体积公式，由立方根的定义分别求出大正方体和小正方体的棱长，再相加即可求解． 【详解】解：由题图可知，小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为大正方体的棱长和小正方体棱长的和，大正方体的棱长为，小正方体的棱长为， 所以小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为． 故答案为：7． 题型11 立方根小数点移动问题 【典例1】．若＝0.7160，＝1.542，则＝ ，＝ ． 【答案】 7.160 ﹣0.1542 【分析】利用立方根性质判断即可得到结果． 【详解】解：∵＝0.7160，＝1.542 ∴＝7.160，＝﹣0.1542 故答案为7.160；﹣0.1542 【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【变式1】．(1)填表： a 0.000 001 0.001 1 1 000 1 000 000 0.01 0.1 1 10 100 (2)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：被开方数扩大_____； (3)根据你发现的规律填空： ①已知＝1.442，则＝______，＝______； ②已知＝0.076 97，则＝______． 【答案】(2)被开方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍； (3)①14.42，0.1442；②7.697. 【分析】（2）由于被开方数的小数点的每移动三位，相应的立方根的小数点的相应移动一位，由此即可解决问题． （3）被开方数每移动3位，立方根就移动1位．利用此规律即可求解． 【详解】（2）被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．所以：被开方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍； （3）①14.42，0.1442，②7.697． 【点睛】本题考查立方根定义和性质，本题用到的知识点为：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位． 【变式2】．(1)已知 , ， ，则 ； (2)已知 , ， ，则 ； (3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向 移动 位； (4)如果，则 ， ． 【答案】 300； 0.04； 左(或右)， 1； 10a， 【详解】（1）根据已知等式确定出所求式子的值即可； （2）根据已知等式确定出所求式子的值即可； （3）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （4）根据得出的规律写出结果即可． 解：（1）已知，，，则300； （2）已知， ，，则 0.04； （3）从以上的结果可以看出，被开方数的小数点向左（或右）移动3位，立方根的小数点则向左（或右）移动1位； （4）如果，则10a，， 故答案为：（1）300；（2）0.04；（3）左（或右）；1；（4）10a；． 本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的关系．解题关键是根据所给式子的特征得到被开方数与其立方根的小数点变化规律． 一、单选题 1．下面说法错误的是（    ） A．2是8的立方根 B．是64的立方根 C．是的立方根 D．的立方根是 【答案】B 【分析】根据立方根的概念即可求出答案． 【详解】A．2是8的立方根，故①正确； B．4是64的立方根，故②错误； C．是的立方根，故③正确； D．由于，所以的立方根是，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根的概念，解题的关键是正确理解立方根的概念，本题属于基础题型． 2．若一个数的立方根是，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的立方等于，即，则这个数即为的立方根，据此即可求得答案． 【详解】解：一个数的立方根是， 这个数为， 故选：． 【点睛】本题考查立方根的定义，此为基础目重要知识点，熟练掌握立方根的定义是解答本题的关键． 3．下列计算错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用立方根知识对各选项进行求解、辨别． 【详解】解：， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项符合题意； ， 选项不符合题意， 故选：． 【点睛】此题考查了实数立方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算． 4．计算的结果是（    ） A．0 B．16 C．12 D．4 【答案】D 【分析】先计算算术平方根，立方根，再进行减法运算． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查求算术平方根，立方根，正确计算是解题的关键． 5． 的立方根是 （ ） A．2 B．2 C．8 D．-8 【答案】A 【详解】先根据算术平方根的意义，求得=8，然后根据立方根的意义，求得其立方根为2. 故选A. 6．如果，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据立方根的定义化简，再判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了立方根的意义，解题的关键是掌握． 7．若有个大的正方体木块，现把这个木块分割成个大小相同的小正方体木块，则的值可以是（    ） A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【分析】根据开立方运算，可得答案． 【详解】解；A、是无理数，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、是无理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根的应用，能开立方是解题关键． 8．已知的算术平方根是12.3，的立方根是，的平方根是，的立方根是456，则和分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题． 【详解】解：的算术平方根是12.3，的平方根是， ，， ， ， ， 的立方根是，的立方根是456， ，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解决本题的关键． 二、填空题 9．的立方根是 ． 【答案】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵， ∴-1的立方根是， 故答案为． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 10．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 11．若是的立方根，则的立方根是 【答案】 【分析】先求出的值，即可进一步求解． 【详解】解：∵是的立方根 ∴ 即 ∴ 的立方根是 故答案为： 【点睛】本题考查了立方根的相关计算．掌握相关定义是解题关键． 12．若一个实数的平方根与立方根是相等的，则这个实数一定是 ． 【答案】0 【分析】根据平方根和立方根的定义和性质，即可得出这个数． 【详解】解：∵一个实数的平方根与立方根是相等的， ∴这个实数一定是0． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，知道0的平方根与它的立方根相等． 13．有一个正方体集装箱，容积为，现准备将其改造扩充，以便放置更多的货物，其棱长增加 m，才能使容积达到． 【答案】4 【分析】先根据正方体的体积得出其棱长，再求出体积达到时的棱长，进而可得出结论． 【详解】解：设原正方体集装箱的棱长为， 原正方体集装箱的体积为， ； 设体积达到的棱长为， 所以 ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查认识立体图形、立方根，熟知正方体的体积公式是解答此题的关键． 14．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ． 【答案】 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数． 【详解】解：一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第个数应是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 三、解答题 15．求下列各式的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟知求立方根的方法是解题的关键． （1）根据立方根的概念求解即可； （2）根据立方根的概念求解即可； （3）根据立方根的概念求解即可． 【详解】（1）解：， （2） （3） 16．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据立方根的定义即可求解； （2）根据立方根的定义即可求解； （3）根据立方根的定义即可求解； （4）根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）∵， ∴的立方根是-8； （2）∵， ∴的立方根是0.2； （3）∵， ∴的立方根是； （4）∵， ∴的立方根是． 【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知立方根的定义． 17．求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）0.2；（2）；（3）5 【分析】（1）直接利用立方根的性质计算得出答案； （2）直接将-3移项，合并再利用立方根的性质计算得出答案； （3）直接利用立方根的性质计算得出x-1的值，进而得出x的值． 【详解】解：（1）x3=0.008， 则x=0.2； （2）x3-3= 则x3=3+ 故x3= 解得：x=； （3）（x-1）3=64 则x-1=4， 解得：x=5． 【点睛】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键． 18．已知2a+1的平方根是±3，1-b的立方根为-1． （1）求a与b的值； （2）求3a+2b的算术平方根． 【答案】（1）a=4,b＝2；（2）3a+2b的算术平方根4． 【分析】（1）根据平方根的定义，立方根的定义列式计算即可； （2）先计算3a+2b的值，再根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】（1）∵2a+1的平方根是±3， ∴2a+1＝＝9， 解得a＝4； ∵1-b的立方根为-1， ∴1﹣b＝＝-1， 解得b＝2． （2）∵a＝4，b＝2， ∴3a+2b ＝3×4+2×2 ＝16， ∴3a+2b的算术平方根为＝4． 【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，熟练掌握三个定义是解题的关键． 19．一个长方体容器长20 cm，宽15 cm，在这个容器内放一立方体铁块，盛满水取出铁块后，水面下降了5 cm，求这个立方体铁块的棱长．(精确到0.01 cm) 【答案】11.45cm. 【分析】分析可知,铁块的体积等于长、宽、高分别为20cm、15cm、5cm的长方体的体积， 根据长方体和正方体体积的计算方法，即可求解. 【详解】设立方体铁块的棱长为x cm，根据题意，可得x3＝20×15×5，即x3＝1 500，所以(cm)． 利用计算器，可算得x≈11.45(cm)． 故这个立方体铁块的棱长约为11.45cm. 故答案为11.45cm. 【点睛】本题考查体积计算,立方根，解题的关键是要认真分析题意,找出题目中存在的相等关系. 20．如图，小明设计了一种程序图，根据程序图解决下列问题．    (1)当时，输出的y的值为______． (2)当输出的y的值为时，输入的x的值可以是______．（填写两个不同的x的值） (3)小明输入x的值后，发现得不到y的值，你能解释其中的原因吗？ 【答案】(1) (2)2或8 (3)见解析 【分析】(1)按照程序，进行计算即可解答； (2)按照程序，进行计算即可解答； (3)根据1的立方根永远是1，的立方根永远是，0的立方根永远是0，即可解答． 【详解】（1）解：当时，64的立方根是4，4是有理数，当时，4的立方根是，是无理数． （2）解：当时，， ∴输入的x的值可以是2； ∵， ∴输入的x的值可以是8； 综上所述，当输出的y的值为时，输入的x的值可以是2或8； （3）解：∵1的立方根永远是1，的立方根永远是，0的立方根永远是0， 所以输入的x的值为-1或0或1时，始终输不出y值． 【点睛】本题考查了立方根，理解程序是解题的关键． 21．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ (2)①已知，则______； ②已知，则______； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，用含的代数式表示． 【答案】(1)数的小数点每移动两位它的算术平方根的小数点相应移动一位； (2)①0.447；②36800； (3)． 【分析】（1）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律； （2）根据规律即可得出答案； （3）先探讨被开方数与其立方根小数点移动规律，再根据规律解决此题． 【详解】（1）∵， ∴规律是：数a的小数点每每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位； （2）①∵， ∴； ②∵，， ∴． 故答案为：①0.447；②36800； （3）∵， ∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位； ∵， ∴． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根，规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$