精品解析：四川雅安市天立学校2025-2026学年高二下学期第三次月考数学试题

高中2025-2026学年度春季高2024级第三次月考 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以下求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】选项A，，故选项A错误； 选项B，，故选项B正确； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，故选项D正确. 2. 记数列为等比数列，已知，，则（ ） A. 32 B. 34 C. 38 D. 31 【答案】A 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，，， 所以， 因为，而，， 所以，所以， 即， 而，，所以. 3. 有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A. 12 B. 14 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】按工厂接收的女生人数分两类，求出每类情况数，相加后得到答案. 【详解】按工厂接收的女生人数分类， 第一类：工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有种选择， 再把剩余的3人分为两组，和两工厂进行全排列，有种选择， 故有种分配方法； 第二类：工厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列， 有种分配方法． 综上，不同的分配方法有种． 故选： 4. 已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此​，故选项A、B错误；  由正态分布的对称性：，，C正确；  ，而，所以，因此，D错误 5. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用，结合等比数列定义求出通项即可得解. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，即，而，即， 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，， 所以. 故选：A 6. 函数在区间上的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合三角恒等变换化简导函数，讨论导函数的符号后得函数的单调性，从而可求最大值. 【详解】已知函数， 所以. 因为，所以，故. 当时，，即； 当时，，即， 所以在上为单调递增，在为单调递减， 故在上的最大值为. 7. 设随机变量的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 随机变量的数学期望可以等于 C. 当时， D. 数列的通项公式可以为 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率和为可判断A选项；当时，期望为，可判断B选项；根据等比数列求和公式化简可判断C选项；D选项，利用裂项相消法可得的前项和，进而可判断D选项. 【详解】A选项：由已知，则，A选项正确； B选项：当时，期望为，B选项正确； C选项：由，则，C选项正确； D选项：由，则其前项和为，D选项错误； 故选：D. 8. 现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的表达式求出，从而得到函数的图象关于点成中心对称，再利用倒序相加法求出数列的通项公式，最后将不等式有解问题转化为函数最值问题，进而求出的取值范围. 【详解】，； ，即的图象关于点成中心对称. ，， ； ； . ，，整理得； ，； 根据题意，该不等式有解，等价于不小于函数在 上的最小值. 令，则对勾函数在上单调递减，在上单调递增； ，且； 当时，；当时，； ，，即； ，即的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. B. 第3行到第10行的各行的第4个数之和为． C. 第15行中，第7个数与第8个数相等． D. 第0行到第行所有数之和为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项位于第行，第个数可得；B选项利用组合数的性质判断；C选项由第7个数与第8个数分别为可判断；D选项利用等比数列的求和公式计算. 【详解】位于第行，第个数，故，故A正确； 第3行到第10行的各行的第4个数之和为，故B错误； 第15行中，第7个数与第8个数分别为，不相等，故C错误； 第行的所有数之和为，则第0行到第行所有数之和为，故D正确. 10. 下列说法正确的有（     ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则方差 C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D. 已知随机变量的分布列为（，2，3），则 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题结合正态分布、二项分布、古典概型、离散型随机变量分布列的性质，对各选项逐一计算判断即可。 【详解】对于A：随机变量，因与关于对称，故，故A正确. 对于B：随机变量，，则，故B错误； 对于C：“至少有一名女生”的对立事件为“选取的4人全是男生”，而全是男生的概率为， 故至少有一名女生的概率为，故C正确； 对于D：由离散型随机变量分布列性质，所有概率之和为，即， 裂项化简得，解得，因此，故D正确. 11. 已知函数有三个极值点，，（），则（ ） A. B. C. 若，，成等差数列，则，，成等比数列 D. 若，，成等差数列，则数列，，的公差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A导函数零点个数转化为方程的实根个数，由在取最小值且时有一根；B由和得，利用对数平均不等式得到；C等差条件代入相乘得，即成等比；D设公差，由C得，再对得到的等式取对数得. 【详解】函数有三个极值点，等价于导函数有三个不同零点， 即有三个不同实根，令，即与有三个不同的交点. 由于， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 在处取最小值，要使有三个不同解，需，A正确. 已知，​，取对数相减得， 由对数平均不等式得​​，得，B错误. 若​成等差数列，则​. 因为​，​，​， 两式相乘得， 代入得， 满足等比中项性质，故成等比数列，C正确. 设等差数列公差为，则，， 由C的结论得，舍去得. 又，代入，​得， 两边取对数得，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量服从两点分布，其中，则______． 【答案】 【解析】 【详解】随机变量服从两点分布，，则， ，. 13. 的展开式中的常数项是第________项. 【答案】676 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，令的幂次为求解参数，即可得到常数项对应的项数。 【详解】二项式的展开式通项为： 化简得： 令的指数为，即： ，解得，满足取值范围要求， 由于展开式项数为， 因此常数项为第 项. 14. 若有两个不同的零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】研究原函数单调性，转化不等式为证明，构造函数，求导并证明在区间上单调性，反向回推得出结论． 【详解】（i）函数的定义域为， 对求导得， 因， 则当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值为， 当时，，当时，. 要使函数有两个零点，需使，解得， 故的取值范围是； （ii）不妨设，要证，即证， 因为在上单调递减，所以只需证， 又因为，所以只需证，即证， 令， 对求导，得， 令，， 对求导得， 当时，，则，，故，， 故，所以在上单调递增， 则，故，则在上单调递增，故， 即，所以，所以，即， 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）1 （2）243 【解析】 【小问1详解】 令，得，即， 令，得， 则. 【小问2详解】 令，得， 则 . 16. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有6道题目，随机抽取2道让学生回答．已知某同学只能答对其中的3道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差． 【答案】（1） 分布列如下： 0 1 2 （2） ， 【解析】 【分析】（1）先确定随机变量X服从超几何分布，求出X的所有可能取值及对应概率得到分布列. （2）根据期望、方差的定义公式计算结果即可. 【小问1详解】 由题意可知，从6道题中抽2道，该同学会答3道、不会答3道， 抽到的能答对题目数X的所有可能取值为0,1,2. 则， ， . 故X的分布列为 0 1 2 【小问2详解】 . ，因此. 17. 已知数列为等差数列，，，． （1）若，，成等比数列，求正整数的值； （2）记（），求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件解得等差数列的通项公式，结合等比数列性质求参数的值； （2）利用错位相减法计算前项和； 【小问1详解】 因为数列为等差数列，设公差为， 由 或6， 当时，，当时，，不满足，故舍去； 所以，，；． 若，，成等比数列， 则， 当时，，解得；因为是正整数，所以舍掉； 当时，，解得； 【小问2详解】 ， 则①， 得②． ①－②得 ； 所以． 18. 某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． （1）随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； （2）若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； （3）现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式整合不同生产线的次品率，计算整体次品概率； （2）利用贝叶斯公式，结合全概率结果计算次品来自甲生产线的条件概率； （3）通过二项分布的相邻概率比值分析，确定使最大的的取值范围，进而得到最值. 【小问1详解】 设表示“零件来自第条生产线”（，对应甲、乙、丙），表示“零件为次品”. 由题意，，，，，，. 由全概率公式，. 【小问2详解】 由贝叶斯公式，. 【小问3详解】 由题意，，故（）. 要使最大，需满足且. 由，得， 化简得，解得，故. 由，得， 化简得，解得，故. 综上，正整数的最小值为，最大值为. 19. 设函数（，且），． （1）当时，求展开式中二项式系数最大的项； （2）对，证明：； （3）已知是定义在区间D上的可导函数，其导函数为，、在上的值域分别为A，B，若且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的性质可求得展开式中二项式系数最大的项； （2）利用基本不等式结合放缩法可证得原不等式成立； （3）首先根据题意求得，再由在区间上单调递减，求出的范围，即可得答案． 【小问1详解】 当时，展开式中二项式系数最大的项为第项， 该项为； 【小问2详解】 ， 因此，对任意的实数，都有； 【小问3详解】 ， ， 又因为，，所以不恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，， 当时，， 则， 所以在区间上单调递减，且， 若，则， 则存在，使得时，单调递减， 当时，，即，不满足题意； 若，则，则存在， 使得时，单调递增， 当时，，即，不满足题意； 若，则，则，即，满足题意； 综上，； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 所以， 所以， 当时，， 因为，所以在区间上单调递减， 且 所以或， 解得或， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中2025-2026学年度春季高2024级第三次月考 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以下求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 记数列为等比数列，已知，，则（ ） A. 32 B. 34 C. 38 D. 31 3. 有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A. 12 B. 14 C. 22 D. 24 4. 已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ） A. 且 B. 且 C. D. 5. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 设随机变量的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 随机变量的数学期望可以等于 C. 当时， D. 数列的通项公式可以为 8. 现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. B. 第3行到第10行的各行的第4个数之和为． C. 第15行中，第7个数与第8个数相等． D. 第0行到第行所有数之和为 10. 下列说法正确的有（     ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则方差 C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D. 已知随机变量的分布列为（，2，3），则 11. 已知函数有三个极值点，，（），则（ ） A. B. C. 若，，成等差数列，则，，成等比数列 D. 若，，成等差数列，则数列，，的公差为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量服从两点分布，其中，则______． 13. 的展开式中的常数项是第________项. 14. 若有两个不同的零点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 16. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有6道题目，随机抽取2道让学生回答．已知某同学只能答对其中的3道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差． 17. 已知数列为等差数列，，，． （1）若，，成等比数列，求正整数的值； （2）记（），求数列的前项和． 18. 某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． （1）随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； （2）若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； （3）现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 19. 设函数（，且），． （1）当时，求展开式中二项式系数最大的项； （2）对，证明：； （3）已知是定义在区间D上的可导函数，其导函数为，、在上的值域分别为A，B，若且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $