四川眉山市仁寿县铧强中学2025-2026学年高二下学期第三次教学质量检测数学试题

**基本信息** 高二下学期数学月考试卷，涵盖概率统计、函数导数等模块，以跨学科融合（如太极八卦概率题）和实际应用（如肝病调查、宣传费回归分析）为特色，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正态分布、线性回归、二项式定理等|第7题结合太极八卦考条件概率，渗透文化传承| |多选题|3/18|条件概率、函数极值、分布列性质|第10题奖券抽取情境考全概率公式，强化逻辑推理| |填空题|3/15|概率公式、二项式系数、恒成立问题|第14题函数最值问题考转化思想，培养数学思维| |解答题|5/77|独立性检验、正态分布应用、导数综合|第16题肝病调查分析、18题宣传费回归模型，体现数学语言表达现实世界|

铧强中学2024级高二（下）第三次教学质量检测试题 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知某地青年男性的身高（单位：）服从正态分布，在该地区随机抽取1名青年男性，则该男性身高不低于的概率为（    ） A．0.05 B．0.15 C．0.25 D．0.35 2．已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（     ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A． 经验回归直线必过点 B．=1.8 C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为0.2 3．若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（     ） A． B． C． D． 4．下列命题中正确的是（    ） A．根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量没有关系 B．在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 C．在回归直线中，变量时，变量的值一定是15 D．决定系数越大，说明模型拟合效果越好 5 . 某班某日共5节课，计划安排上语文、数学、外语、美术、体育这5门课，若体育课必须安排在第4节或第5节，且语文课、数学课相邻，则不同的安排方案共有（ ） A． 12种 B．20 种 C．28 种 D．16 种 6．过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（跨学科融合）《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦、”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“▂”为阳爻，“▂ ▂”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中至少有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（  ） A． B． C． D． 8．若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的有（ ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则方差 C．从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D．已知随机变量的分布列为（，2，3），则 10．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两张1号奖券，一张2号奖券和一张3号奖券；2号盒子内装有两张1号奖券，一张3号奖券；3号盒子内装有三张1号奖券，两张2号奖券．若第一次先从1号盒子内随机抽取1张奖券，将取出的奖券放入与奖券同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一张奖券，则下列说法错误的是（   ） A．在第一次取到2号奖券的条件下，第二次取到1号奖券的概率为 B．第二次取到3号奖券的概率为 C．第二次取到2号奖券的概率为 D．现将21个相同的玩偶放入这3个编号的盒子中，每个盒子至少分得一个玩偶的分法共有210种 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数有2个极值点 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知随机事件，，若，，，则_________. 13．已知（）的展开式中第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为_____． 14．已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数，当时取得极小值0． (1)求的值； (2)求在的最大值和最小值． 16．某医学研究院为了解患肝病与长期持续饮酒的关系，随机抽取200名中老年人对其肝脏的状态和饮酒习惯进行调查，得到成对样本分类统计数据如下表： 肝病患者 非肝病患者 合计 长期持续饮酒 40 60 100 非长期持续饮酒 20 80 100 合计 60 140 200 (1)依据小概率值的独立性检验，分析长期持续饮酒与患肝病是否有关联； (2)从肝病患者样本中按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率.附：. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17.一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元）对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 18．椰树集团为确定下一年度投入椰树椰汁的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 298.8 1.6 1469 108.8 表中 (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)已知椰树椰汁的年利润与的关系为.根据（1）的结果求年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 19．已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)已知函数，有2个不同的零点，，且． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《铧强中学高二下学期数学第三次考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D B D D A ACD ACD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】由正态分布对称性结合题设可得答案． 【详解】由题可得：，则，， 则. 2．D 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 3．C 【分析】根据二项式展开式的各项的二项式系数和求得，结合展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】由题得，解得. 的通项为. 令，则系数为. 4．D 【分析】根据独立性检验、线性相关系数、线性回归方程、决定系数的定义逐一判断各选项正误即可. 【详解】对于A：若，且，则根据小概率值的独立性检验，没有充分理由说明原假设成立，可认为两个分类变量有关系，A错误； 对于B：线性相关系数的取值范围为，当所有样本点都在斜率为负的直线上时，样本数据完全负性相关，此时线性相关系数，故B错误； 对于C：回归直线计算得到的是预测值，当时，为变量的预测值，实际值不一定为15，故C错误； 对于D：决定系数可以刻画回归模型的拟合效果，越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D正确. 5． B 6． D 【详解】设切点为，，切线斜率. 切线方程：，即. 切线过，代入得：， 整理得：. 由分离参数，得. 令，原题等价于与的图象有两个交点. 求导：，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故， 当时，，当时，， 作出的大致图象： 由此可知要使得与的图象有两个交点.，需满足 综上所述时，原方程有两个零点. 7．D 【分析】设有1卦没有阳爻.设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件，然后根据古典概型和条件概率定义求解即可． 【详解】由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻．设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件． 因为，，所以 故选：D 8．A 【分析】由题意可得有唯一变号零点，即有唯一解，先讨论时，不满足题意，从而可得，令，进而得直线与函数的图象只有一个交点，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为，， 所以，有唯一变号零点， 当时，，不满足题意； 所以， 令，得， 令， 则直线与函数的图象只有一个交点， 又因为， 令，得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减； 又当时，，当时，， 所以函数在处取极小值，为0；在处取极大值，为， 作出函数、直线的图象，如图所示： 由此可得当时，满足题意； 当时，直线与函数的图象有两个交点， 一个点的横坐标为（此点为直线与函数的切点）， 且在此处不变号； 另一个点的横坐标，在此处变号，满足题意. 综上，. 9．ACD 【分析】本题结合正态分布、二项分布、古典概型、离散型随机变量分布列的性质，对各选项逐一计算判断即可。 【详解】对于A：随机变量，因与关于对称，故，故A正确. 对于B：随机变量，，则，故B错误； 对于C：“至少有一名女生”的对立事件为“选取的4人全是男生”，而全是男生的概率为， 故至少有一名女生的概率为，故C正确； 对于D：由离散型随机变量分布列性质，所有概率之和为，即， 裂项化简得，解得，因此，故D正确. 10．ACD 【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用全概率公式求解；对于D，相同元素的分配问题，利用隔板法即可求解. 【详解】记第一次抽到第号奖券的事件分别为，则有， 对于A，在第一次抽到2号奖券的条件下，将2号奖券放入2号盒子内，因此第二次抽到1号奖券的概率为，故A错误； 对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号奖券的事件分别为， 而两两互斥，和为，且， 记第二次抽到3号奖券的事件为， 则，故B正确； 对于C，记第二次在第号盒子内抽到2号奖券的事件分别为， 而两两互斥，和为，且， 记第二次抽到2号奖券的事件为， 则，故C错误； 对于D，将21个相同的玩偶放入这3个编号的盒子中，每个盒子至少分得一个玩偶的分法共有种不同的放法，故D错误. 11．ABD 【分析】对函数求导，再根据导数与函数的关系验证选项的答案，对于D选项验证与函数y的解有几个交点. 【详解】由题目可知， 令，因为，则，即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可得当时，为极小值，，故A选项正确； 有两个零点，故有2个极值点，故B选项正确； 减区间为，故实数的取值范围是，故C选项错误； 对于D选项，令，则 ， ，解得或， 由A知 ，作出的图象和直线，由图可知有5个交点， 则函数有5个零点，故D选项正确.    12． 【分析】根据题意，由条件概率公式可得，再由，再结合条件概率的公式即可得到结果. 【详解】由题意可得，，且，则， 又因为，则， 且，所以. 故答案为:. 13．240 14． 【分析】只需要满足在上恒小于等于在上的最大值，导根据导函数得出，再分离参数得出，令，求导判断单调性即可. 【详解】由已知可知，只需满足对任意的，总存在， 只需要满足在上恒小于等于在上的最大值. ，令，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在单调递减，， ，化简得，即 对任意的恒成立，6 令，即，令，解得或， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故的最大值为， . 15．(1) (2)最大值为2，最小值为0 【分析】（1）先对进行求导，再根据题意列式求解即可； （2）利用导数判断函数的单调性即可求出最大值和最小值． 【详解】（1）， 由取得极小值0，可知，即， 由时取得极小值，可知，即， 所以； （2）由（1）得， 令，得，或， 2 （2，3） + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当时，有极大值； 所以当时，有极小值0； 又因为， 所以的最大值为2，最小值为0. 16．(1)认为长期持续饮酒与患肝病有关联 (2) 【分析】（1）计算的值，由此作出判断. （2）利用超几何分布的概率计算公式求得这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率. 【详解】（1）零假设为：长期持续饮酒与患肝病之间无关. 根据列联表中的数据，得， ∴根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为长期持续饮酒与患肝病有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. （2）由题意知，抽取的6人中，长期持续饮酒的有4人，非长期持续饮酒的有2人， 再从这6人中随机抽取3人，记这3人中长期持续饮酒的人数为， 则. 17．(1) (2)（i）万人（ii） 0 1 2 3 【分析】（1）先确定符合条件的频数区间，得出符合条件的总人数，再用组合数分别计算总情况数和符合条件的情况数，进而求出概率； （2）（i）根据已知条件确定正态分布的两个参数，确定分布，利用正态分布的对称性结合附表计算概率，再利用概率乘以该市总人口，得出对应人数；（ii）将独立重复试验转化为二项分布，求出单次成功概率，进而确定分布类型，再利用二项分布概率公式求出分布列及期望． 【详解】（1）由频数分布表知，旅游支出不低于元的市民人数为：人， 则从人中随机抽取人的总情况数为：； 符合条件的情况数为：； 符合条件的概率为：． （2）由频数分布表，结合题意可得各组中间值为：， 则样本平均数为， 已知，则； （i）元即为千元，则， 由正态分布的性质：， 则， 该市万市民中，支出在元以上的市民人数约为： 万人． （ii）元即千元，正态分布关于对称，则， 随机变量表示支出在元以上的人数，故， 则，，， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为： ． 18．(1) (2)644.6；258.3 【分析】（1）根据散点图分析得出回归方程类型，结合非线性回归模型转化线性回归方程分析求解即可； （2）根据（1）中的方程代入相关变量计算分析即可. 【详解】（1）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型， 令，先建立关于的线性回归方程， 由于 ， 则， 所以关于的线性回归方程为， 因此关于的回归方程为. （2）当时，年销售量的预报值， 年利润的预报值. 19．(1)当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减 (2)（i）； （ii）由，是的2个不同的零点，且， 则，， 即，， 所以，即， 要证，只需证， 由（ⅰ）知，，， 所以即证，即证． 设，则，只需证． 设，， 则，则在区间上单调递增， 所以，即，即． 【分析】（1）根据函数解析式得到该函数的定义域，再求，分和两种情况分析的符号，进而即可讨论的单调性； （2）（i）根据函数解析式得到该函数的定义域，再求，分和两种情况分析的符号，从而分析的单调性来判断的零点个数，进而结合的最值即可求解； （ii）根据零点的性质，将需证的结论转化为即证，从而构造函数，求导，结合函数的单调性，最值即可证明． 【详解】（1）由，则的定义域为，， 当时，，则在区间上单调递增； 当时，， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）（ⅰ）由题知，，定义域为，则， 当时，，则在区间上单调递增， 所以在区间上最多有一个零点，不符合题意； 当时，， 当时，；当时，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又有2个不同的零点，且当时，，当时，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 答案第2页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $