第二章 实数全章综合检测卷（暑假预习举一反三单元自测）新八年级数学上册新教材北师大版

**基本信息** 北师大版初中数学第二章实数全章综合检测卷，120分钟120分，覆盖无理数、二次根式等核心知识，通过基础题、创新题及实际应用题，培养抽象能力、运算能力与应用意识，适配暑假单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数识别、二次根式定义、新定义运算|基础与创新结合，如第3题新定义运算发展创新意识| |填空题|5/15|同类二次根式、化简、正方形面积与边长|结合几何直观，如第13题面积问题体现空间观念| |解答题|9/75|计算、代数式求值、实际应用、规律探究|综合性强，如第22题物理下落公式应用培养应用意识，第23题规律探究发展推理能力|

第二章 实数（全章综合检测卷） 【新教材北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．在数0、、2025、、、（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 2025是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，仍含开方开不尽的部分，属于无理数； （相邻两个2之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数； 所以，无理数共4个． 故选：C． 2．下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：被开方数， ∴不是二次根式； 对于选项B：当时，，不满足要求， ∴不一定是二次根式； 对于选项C：根指数为2，被开方数，满足二次根式的定义， ∴一定是二次根式； 对于选项D：根指数为3，属于三次根式， ∴不是二次根式． 故选：C． 3．，为不相等的两个实数，定义运算如下：，例如，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算、，相加即可． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 4．若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 5．如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出，据此逐步计算即可． 【详解】解：输入81，则， 是有理数， 重新输入，则， 是有理数， 重新输入，取算术平方根得，是无理数， 输出． 故选：D． 6．实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（     ） A．b B． C． D． 【答案】B 【分析】先由图得出，，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简原式得，然后根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴ ． 故选：B． 7．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 8．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意得出半径，以及直角边，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图， 由图可知，网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵以为圆心，为半径画弧，交网格线于点， ∴ ， 在中，由勾股定理得： ． 故选：B． 9．若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件与二次根式的性质，先根据二次根式有意义确定的取值范围，再利用化简原式，最后解方程得到的值． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，即， 根据二次根式性质，化简原式 原等式左边 ∵，∴，∴ ， 原等式右边，∵，∴， 将化简结果代入原等式得 ， 移项得 ， 两边平方得 ， 解得． 故选：D． 10．已知 ，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．15 【答案】B 【分析】设，得，通过平方差公式展开化简，再代入即可求出结果； 【详解】解：设， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， ∴ 解得， 故． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则_____ ． 【答案】4 【分析】先把化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：依题意，， ∵是最简二次根式，且它与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：． 12．化简的结果是______________． 【答案】 【分析】先将第一个根号内的被开方数配方为完全平方形式，根据二次根式的性质化简，再通分求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 13．如图，把面积为50和18的两个正方形放入长方形中，若，则______________． 【答案】 【分析】设，根据面积求出两个正方形的边长，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，设， ∵面积为50和18的两个正方形， ∴两个正方形的边长分别为，， ∴， ∴， 解得． 故． 故答案为：． 14．观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为： 0． 15．如果，那么的值是_________． 【答案】 【分析】通过换元法，令，，（），将原方程中的用表示后代入等式，再通过配方将方程整理为三个平方项相加等于的形式，利用“非负数之和为则每一项均为”的性质求出的值，进而反推得到的值，最后计算的结果． 【详解】解：令，，（）， ∴，，， ∵， ∴， 移项整理得：， ， 即：， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 故答案为： 15． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分） 16．（8分）计算和解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先化简绝对值，计算乘方、算术平方根、立方根，再进行加减运算即可得到结果； （2）先化简绝对值，计算乘方、立方根，再进行加减运算即可得到结果； （3）（4）先将方程整理为乘方等于常数的形式，再根据平方根、立方根的定义开方求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：移项得：， 化系数为1得：， 开平方根得：， 解得； （4）解：化系数为1得：， 即， 开立方根得， 解得． 17．（8分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可求解； （2）先去括号计算二次根式的乘法和零指数幂，再计算加减即可求解； （3）先计算二次根式的乘除和化简二次根式，再计算加减即可求解； （4）先计算平方差和绝对值，再计算加减即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 18．（6分）已知，，求的值． 【分析】根据、可知，再根据二次根式的性质化简可得，最后将代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ． 19．（6分）已知，，求的值． 【分析】化简x、y的值，代入化简后的代数式即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ． 20．（6分）已知，x、y为实数，且，求的值． 【分析】通过去括号，移项，并配方得到，根据平方根的定义，可求得，所以或，再结合，即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 或， ， ． 21．（8分）已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． （1）求的平方根； （2）若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a，b的值，代入求出的值，再计算它的平方根． （2）先求出，再估算无理数得到整数部分和小数部分，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：的平方根是 解得 的立方根是 解得 ∴ 的平方根是； （2）解：是的算术平方根， ， ， 的整数部分，小数部分， ． 22．（9分）据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式 （不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间； （2）嘉琪说：“物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的倍．”通过计算判断她的说法是否正确； （3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（）．某质量为的小球经过落在地上，直接写出这个小球在下落过程中所带的能量． 【分析】（1）令，代入公式求解对应的值即可； （2）令，代入公式求解对应的值，与（1）中所求时间的倍比较即可； （3）令，代入公式求解对应的值，再代入题干计算公式即可； 【详解】（1）解：当时，， 即物体从的高空落到地面的时间为； （2）嘉琪的说法不正确，理由： 当时，， （1）中所求时间的倍为， ， 嘉琪的说法不正确； （3）解：， ， ， 解得， 这个小球在下落过程中所带的能量为． 23．（12分）【激活经验】小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 （1）________（，且为整数）． 【应用规律】 （2）_______ （3）如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 【分析】（1）根据题干的例题，总结出规律即可； （2）根据（1）中的规律，化简每个式子，再求和即可； （3）先仿照（2）的过程，将式子化简可得，结合可判断，小数部分为，从而求出的值，最后计算出整数部分即可． 【详解】（1）解：总结规律可得，； （2）解：利用（1）的规律可得， ； （3）解：同理（2）可得， ∵， ∴， ∴原数的小数部分为， ∴，解得， ∴原数的整数部分为． 24．（12分）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________（填“”，“”或“”） （3）计算：； （4）若，求的值． 【分析】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）根据分母有理化即可求解； （2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论； （3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可； （4）仿照题目的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：， ∴ ； （4）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数（全章综合检测卷） 【新教材北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．在数0、、2025、、、（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．，为不相等的两个实数，定义运算如下：，例如，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 5．如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 6．实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（     ） A．b B． C． D． 7．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．3 9．若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 10．已知 ，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．15 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则_____ ． 12．化简的结果是______________． 13．如图，把面积为50和18的两个正方形放入长方形中，若，则______________． 14．观察．推测：若，则_____． 15．如果，那么的值是_________． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分） 16．（8分）计算和解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17．（8分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（6分）已知，，求的值． 19．（6分）已知，，求的值． 20．（6分）已知，x、y为实数，且，求的值． 21．（8分）已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． （1）求的平方根； （2）若的整数部分是，小数部分是，求的值． 22．（9分）据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式 （不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间； （2）嘉琪说：“物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的倍．”通过计算判断她的说法是否正确； （3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（）．某质量为的小球经过落在地上，直接写出这个小球在下落过程中所带的能量． 23．（12分）【激活经验】小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 （1）________（，且为整数）． 【应用规律】 （2）_______ （3）如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 24．（12分）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________（填“”，“”或“”） （3）计算：； （4）若，求的值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $